高中数学 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等

2017-2018学年高中数学第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域（2）学案新人教A 版必修5
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3．3。

1 二元一次不等式(组)与平面区域(二)
学习目标1。

巩固对二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域的理解。

2。

能根据实际问题中的已知条件,找出约束条件．
知识点一二元一次不等式组所表示的平面区域
1．因为同侧同号，异侧异号,所以可以用特殊点检验，判断Ax＋By＋C〉0的解集到底对应哪个区域？当C≠0时,一般取原点（0，0)，当C＝0时,常取点(0,1）或(1，0)．
2．二元一次不等式组的解集是组成该不等式组的各不等式解集的交集．
知识点二约束条件
思考一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10%,假设信贷部用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元．那么x和y应满足哪些不等关系？
答案分析题意,我们可得到以下式子
错误!
梳理很多生产生活方案的设计要受到各种条件限制．这些限制就是所谓的约束条件．
像思考中的“用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元”称为决策变量．要表达约束条件，先要找到决策变量,然后用这些决策变量表示约束条件．同时还有像思考中的“x≥0，y≥0"在题目中并没有明确指出，但是在生产生活中默认的条件，也要加上．
类型一含参数的约束条件
例1 已知约束条件错误!表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的值为（)
A．1 B．－1
C．0 D．0或1
答案A
解析条件｛x≥1x＋y－4≤0表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，
要使约束条件表示直角三角形区域，
直线kx－y＝0要么垂直于直线x＝1，
要么垂直于直线x＋y－4＝0，
∴k＝0或k＝1。

当k＝0时，
直线kx－y＝0即y＝0,交直线x＝1，
x＋y－4＝0于B（1,0），C（4,0)．
此时约束条件表示△ABC及其内部，
其面积S△ABC＝错误!·|BC|·｜AB｜＝错误!×3×3＝错误!≠1。

同理可验证当k＝1时符合题意．
反思与感悟平面区域面积问题的解题思路．
(1)求平面区域的面积：
①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域;
②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．
跟踪训练1 已知不等式组错误!表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．
答案1 3
解析由题意可得A（0，1)，B（1，0）,C(2,3)．
则不等式组错误!表示的平面区域为△ABC及其内部．
直线y＝kx＋1过点A。

要把△ABC分成面积相等的两部分,需过BC中点M(错误!，错误!)．此时k＝错误!＝错误!＝错误!.类型二不等式组表示平面区域在生活中的应用
命题角度1 整数解
例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
错误!A规格B规格C规格
第一种钢板211
第二种钢板123
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，用数学关系式和图形表示上述要求．解设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
则错误!
用图形表示以上限制条件，得到如图所示的平面区域（阴影部分)内的整点(横坐标、纵坐标均为整数）．
反思与感悟求解不等式组在生活中的应用问题．首先要认真分析题意，设出未知量；然后根据题中的限制条件列出不等式组．注意隐含的条件如钢板块数为自然数．
跟踪训练2 某人准备投资1 200万兴办一所民办中学,对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：
学段
班级学生人
数
配备教师
数
硬件建设/万
元
教师年薪/万
元
初中45226/班2/人
高中40354/班2/人
因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件．
解设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间,所以有20≤x＋y≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1 200，即x＋2y≤40。

另外,开设的班数应为自然数x∈N，y∈N。

把上面的四个不等式合在一起，得到错误!
用图形表示这个限制条件，得到如下图中阴影部分（含边界）的平面区域．
命题角度2 实数解
例3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料．列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,则满足以下条件
错误!（＊)
在直角坐标系中画出不等式组(*）所表示的平面区域，如图阴影部分（含边界）所示．
跟踪训练3 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐,已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C。

另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.列出满足上述营养要求所需午餐和晚餐单位个数的数学关系式．
解设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，则依题意x,y满足
错误!即错误!
1．在平面直角坐标系中，不等式组错误!（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为（)
A．32＋2 B．－3错误!＋2
C．－5 D．1
答案D
解析平面区域如图阴影部分（含边界）所示，
易求得A（－2,2）,B(a,a＋4），
C（a，－a）．
S
＝错误!｜BC｜·|a＋2|
△ABC
＝(a＋2)2＝9,
由题意得a＝1（a＝－5不满足题意，舍去）．
2．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元,现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________________．
答案错误!
3．画出二元一次不等式组错误!表示的平面区域，则这个平面区域的面积为________．
答案错误!
解析平面区域如图阴影部分(含边界）所示．S阴＝1
2
×1×1＝
1
2
.
1．平面区域的画法：二元一次不等式的标准化与半平面的对应性．对于A〉0的直线l：Ax＋By＋C＝0，Ax＋By＋C>0对应直线l右侧的平面;Ax＋By＋C〈0对应直线l左侧的平面．
2．由一组直线围成的区域形状常见的有三角形、四边形、多边形以及扇形域和带状域等．3．找约束条件的关键是先找到决策变量,然后准确地用决策变量表示约束条件，并注意实际含义对变量取值的影响．
40分钟课时作业
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，若点（－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是（）A．(－∞，1) B．（1,＋∞）
C．(－1,＋∞）D．（0，1)
答案B
解析将x＝－2代入直线x－2y＋4＝0中，得y＝1。

因为点（－2,t)在直线上方，∴t>1. 2．若不等式组错误!所表示的平面区域被直线y＝kx＋错误!分为面积相等的两部分，则k的值是（）
A.错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!
答案A
解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示．
由于直线y＝kx＋错误!过定点（0,错误!)，因此只有直线过AB的中点时，
直线y＝kx＋4
3
能平分平面区域．
因为A(1,1），B（0，4）,所以AB的中点M(错误!,错误!）．
当y＝kx＋错误!过点(错误!，错误!）时，错误!＝错误!＋错误!，所以k＝错误!。

3．若平面区域错误!是一个梯形,则实数k的取值范围是( )
A．（1,3］B．［2，3］
C．(1,2］D．(2，＋∞）
答案D
解析如图，错误!表示的区域是一个正方形，当直线y＝kx－2与线段BC(不含端点)相交时，所给区域表示梯形，由图可得k＞错误!＝2。

4．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组错误!所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）
A．2 B．1 C．－错误! D．－错误!
答案C
解析由错误!得M（3,－1）．
此时直线OM的斜率最小且为－错误!.
5．若不等式组错误!表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( ）
A。

错误!B．(0,1］
C.错误!D．(0，1]∪错误!
答案D
解析 不等式组⎩⎨
⎧
x －y ≥0，，2x ＋y ≤2，
y ≥0
表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，
求得A ,B 两点的坐标分别为错误!和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥错误!。

6．设不等式组错误!表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x
的图象上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是（ ） A ．(1,3］ B ．[2，3］ C ．（1，2] D ．[3，＋∞)
答案 A
解析 作出不等式组表示的平面区域D ，为如图阴影部分所示．
由错误!
得交点A （2，9)．
对于y ＝a x
的图象，当0〈a 〈1时，没有点在区域D 上． 当a >1,y ＝a x
恰好经过A 点时， 由a 2
＝9，得a ＝3。

要满足题意，需满足a 2
≤9， 解得1〈a ≤3。

二、填空题
7．某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨;生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料
不超过18吨，设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨,那么该企业生产甲、乙两种产品的数量满足的关系式为__________________．
答案错误!
8．若不等式组错误!表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
答案［5，7）
解析不等式组错误!表示的平面区域如图中的阴影部分所示,用平行于x轴的直线截该平面区域，
若得到一个三角形,则a的取值范围是5≤a<7.
9．若A为不等式组错误!表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
答案错误!
解析如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形,当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．
又D(0，1)，B(0，2)，
E错误!，C(－2，0)．
S
＝S△OBC－S△BDE＝2－错误!＝错误!。

四边形ODEC
10．记不等式组错误!所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1）与D有公共点，则a的取值范围是________．
答案错误!
解析不等式组所表示的平面区域D为如图所示阴影部分(含边界）,
且A（1,1），B（0,4），C错误!.
直线y＝a(x＋1)恒过定点P(－1,0）且斜率为a。

由斜率公式可知k AP＝错误!，k BP＝4。

若直线y＝a（x＋1)与区域D有公共点，
数形结合可得错误!≤a≤4。

三、解答题
11．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．列出该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间的关系式，并画出相应的平面区域．
解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，
由题意得
错误!
用图形表示以上限制条件,得到如图的平面区域(阴影部分，含边界)．
12．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％，可能的最大亏损率分别为30%和10％.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，列出投资人对甲、乙两个项目投资数的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目,由题意知
⎩⎨⎧
x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1。

8，x ≥0，y ≥0， 上述不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分（含边界)．
13．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2
＋kx ＋my －4＝0相交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于直线x ＋y ＝0
对称，则不等式组错误!表示的平面区域的面积是多少?
解 P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，故PQ 与直线x ＋y ＝0垂直，直线PQ 即为直线y ＝kx ＋1，故k ＝1；
又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦，
故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上,
即为直线x ＋y ＝0，
又圆心为(－错误!，－错误!），∴m ＝－k ＝－1，
∴不等式组为错误!
它表示的平面区域如图所示,是一个三角形,直线x －y ＋1＝0与x ＋y ＝0的交点为(－错误!，12
)， ∴S △＝错误!×1×错误!＝错误!.
故平面区域的面积为14。