高中物理 第2章 研究圆周运动 2.3 圆周运动的案例分析学案 沪科版必修2

2.3 圆周运动的案例分析
[学习目标] 1.通过向心力的实例分析，体会匀速圆周运动在生活、生产中的应用.2.能应用向心力和向心加速度公式分析过山车问题和火车转弯问题.3.熟练掌握应用牛顿第二定律和向心力知识分析两类竖直面内圆周运动模型的步骤和方法．
一、过山车
1．向心力：过山车到达轨道的顶部时，人与车作为一个整体，所受到的向心力是重力跟轨道对车的弹力的合力，方向向下．
2．临界速度：当轨道对车的弹力为零时，过山车通过圆形轨道顶部时的速度．此时m v 2
R
＝mg ，
得v 临界＝gR .
(1)v ＝v 临界时，重力恰好等于过山车做圆周运动的向心力，车不会脱离轨道． (2)v <v 临界时，所需的向心力小于车所受的重力，过山车有向下脱离轨道的趋势． (3)v >v 临界时，弹力和重力的合力提供向心力，车子不会掉下来． 二、运动物体的转弯问题
1．自行车在水平路面转弯，地面对车的作用力与重力的合力提供转弯所需的向心力． 2．汽车在水平路面转弯，所受静摩擦力提供转弯所需的向心力．
3．火车转弯时外轨高于内轨，如图1所示，向心力由支持力和重力的合力提供．
图1
[即学即用]
1．判断下列说法的正误．
(1)汽车在水平路面上正常转弯时所需要的向心力是滑动摩擦力提供的．(×) (2)火车转弯时，内、外轨道一样高．(×)
(3)若铁路弯道的内、外轨一样高，火车通过弯道时向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损．(√)
(4)汽车行驶至凸形桥顶部时，对桥面的压力等于车重．(×)
(5)汽车行驶至凹形桥底部时，对桥面的压力大于车重．(√)
(6)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员处于完全失重状态，故不再具有重力．(×) 2．飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可看成一段圆弧，如图2所示，飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径为r ＝180 m 的圆周运动，如果飞行员质量m ＝70 kg ，飞机经过最低点P 时的速度v ＝360 km/h ，则这时飞行员对座椅的压力大小约为________．(g 取10 m/s 2
)
图2
答案 4 589 N
解析 飞机经过最低点时，v ＝360 km/h ＝100 m/s.
对飞行员进行受力分析，飞行员在竖直面内共受到重力G 和座椅的支持力N 两个力的作用，
根据牛顿第二定律得N －mg ＝m v 2r ，所以N ＝mg ＋m v 2r ＝70×10 N＋70×100
2
180
N≈4 589 N，由牛
顿第三定律得，飞行员对座椅的压力为4 589 N.
一、分析游乐场中的圆周运动
[导学探究] 如图3所示，过山车能从高高的圆形轨道顶部轰然而过，车却不掉下来，这是为什么呢？是因为过山车的车轮镶嵌在轨道的槽内、人被安全带固定的原因吗？
图3
答案 当过山车在最高点的速度大于gR 时，重力和轨道对车向下的弹力提供向心力，所以车不会掉下来，与其它因素无关．
[知识深化] 竖直平面内“绳杆模型”的临界问题 1．轻绳模型(如图4所示)
图4
(1)绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)．
(2)在最高点的动力学方程T ＋mg ＝m v 2
R
.
(3)在最高点的临界条件T ＝0，此时mg ＝m v 2
R
，则v ＝gR .
①v ＝gR 时，拉力或压力为零． ②v >gR 时，小球受向下的拉力或压力． ③v <gR 时，小球不能到达最高点． 即轻绳的临界速度为v 临界＝gR . 2．轻杆模型(如图5所示)
图5
(1)杆(双轨道)施力特点：既能施加向下的拉力(或压力)，也能施加向上的支持力． (2)在最高点的动力学方程
当v ＞gR 时，N ＋mg ＝m v 2
R ，杆对球有向下的拉力，且随v 增大而增大．
当v ＝gR 时，mg ＝m v 2
R
，杆对球无作用力．
当v ＜gR 时，mg －N ＝m v 2
R
，杆对球有向上的支持力．
当v ＝0时，mg ＝N ，球恰好能到达最高点． (3)轻杆的临界速度为v 临界＝0.
例1 公园里的过山车驶过最高点时，乘客在座椅里面头朝下．若轨道半径为R ，人的质量为m ，重力加速度为g .
(1)若过山车安全通过最高点，必须至少具备多大的速度？
(2)若过最高点时人对座椅的压力为2mg ，则过山车在最高点时的速度是多大？ 答案 (1)gR (2)3gR
解析 (1)人恰好通过最高点时，座椅对人的压力为零，只有重力提供向心力．根据牛顿第二
定律，mg ＝m v 12
R
得：v 1＝gR ，即为安全通过最高点的最小速度
(2)若人对座椅的压力N ′＝2mg ，在最高点人受座椅向下的弹力和重力，两个力的合力提供
向心力，有：mg ＋N ＝m v 22
R
由牛顿第三定律得N ＝N ′＝2mg 得：v 2＝3gR
例2 如图6所示，质量为m 的小球固定在长为l 的细轻杆的一端，绕轻杆的另一端O 在竖直平面内做圆周运动．球转到最高点时，线速度的大小为
gl
2
，此时( )
图6
A ．杆受到1
2mg 的拉力
B ．杆受到1
2mg 的压力
C ．杆受到3
2mg 的拉力
D ．杆受到3
2
mg 的压力
答案 B
解析 以小球为研究对象，小球受重力和杆的弹力，设小球所受弹力方向竖直向下，则N ＋
mg ＝mv 2
l
，将v ＝
gl
2代入上式得N ＝－12mg ，即小球在A 点受杆的弹力方向向上，大小为1
2
mg ，由牛顿第三定律知杆受到1
2mg 的压力．
二、研究运动物体转弯时的向心力
[导学探究] 设火车转弯时的运动为匀速圆周运动．
(1)如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？
(2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，试从向心力的来源分析这样做有怎样的优点． (3)当轨道平面与水平面之间的夹角为α，转弯半径为R 时，火车行驶速度多大轨道才不受挤压？
(4)当火车行驶速度v >v 0＝gR tan α时，轮缘受哪个轨道的压力？当火车行驶速度v <v 0＝
gR tan α时呢？
答案 (1)如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供(如图甲)；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，会使铁轨和车轮极易受损．
(2)如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力N 的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G 的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力(如图乙)，从而减轻轮缘与外轨的挤压．
(3)火车受力如图丙所示，
则F ＝mg tan α＝mv 2
R
，所以v ＝gR tan α.
(4)当火车行驶速度v >v 0＝gR tan α时，重力和支持力的合力提供的向心力不足，此时外侧轨道对轮缘有向里的侧向压力；当火车行驶速度v <v 0＝gR tan α时，重力和支持力的合力提供的向心力过大，此时内侧轨道对轮缘有向外的侧向压力． [知识深化]
1．自行车在转弯处，地面对自行车的作用力与重力的合力提供向心力．其表达式为mg tan θ
＝m v 2R ，即tan θ＝v 2
gR
.自行车倾斜的角度与自行车的速度和转弯半径有关．
2．汽车在水平路面上转弯时，地面的静摩擦力提供向心力，其表达式为f ＝m v 2
R
.由于地面的
静摩擦力不能大于最大静摩擦力，因此汽车在转弯处的速度不能大于μgR . 3．火车转弯
(1)向心力来源：在铁路的弯道处，外轨高于内轨，火车在此处依据规定的速度行驶，转弯时，向心力几乎完全由重力G 和支持力N 的合力提供，如图7所示，即F ＝mg tan θ.
图7
(2)规定速度：若火车转弯时，火车轮缘不受轨道侧压力，则mg tan θ＝mv 02
R ，故v 0＝
gR tan θ，其中R 为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v 0为弯道规定的速度．
①当v ＝v 0时，F 向＝F ，即转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力，这时内、外轨均无侧压力，这就是设计的限速状态．
②当v >v 0时，F 向>F ，即所需向心力大于支持力和重力的合力，这时外轨对车轮有侧压力，以弥补向心力不足的部分．
③当v <v 0时，F 向<F ，即所需向心力小于支持力和重力的合力，这时内轨对车轮有侧压力，以抵消向心力过大的部分．
说明：火车转弯时受力情况和运动特点与圆锥摆类似．
例3 铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道所在平面与水平面的夹角为θ，如图8所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( )
图8
A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C ．这时铁轨对火车的支持力等于mg
cos θ
D ．这时铁轨对火车的支持力大于mg
cos θ
答案 C
解析 由牛顿第二定律F 合＝m v 2
R
，解得F 合＝mg tan θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力
作用，如图所示，N cos θ＝mg ，则N ＝mg
cos θ，内、外轨道对火车均无侧压力，故C 正确，
A 、
B 、D 错误．
例4 (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图9，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v 0时，汽车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )
图9
A ．路面外侧高、内侧低
B ．车速只要低于v 0，车辆便会向内侧滑动
C ．车速虽然高于v 0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D ．当路面结冰时，与未结冰时相比，v 0的值变小 答案 AC
解析 当汽车行驶的速率为v 0时，汽车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势，即不受静摩擦力，此时由重力和支持力的合力提供向心力，所以路面外侧高、内侧低，选项A 正确；当车速低于v 0时，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽车有向内侧运动的趋势，受到的静摩擦力向外侧，并不一定会向内侧滑动，选项B 错误；当车速高于v 0时，需要的向心力大于重力和支持力的合力，汽车有向外侧运动的趋势，静摩擦力向内侧，速度越大，静摩擦力越大，只有
静摩擦力达到最大以后，车辆才会向外侧滑动，选项C 正确；由mg tan θ＝m v 02
r
可知，v 0的值
只与路面与水平面的夹角和弯道的半径有关，与路面的粗糙程度无关，选项D 错误．
火车转弯的(或高速公路上汽车转弯的)圆轨道是水平轨道，所以合力的方向水平指向圆心.解决此类问题的关键是分析清楚向心力的来源.
1．(轻杆模型) (多选)如图10所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，细杆长0.5 m ，小球质量为3 kg ，现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点a 的速度为v a ＝4 m/s ，通过轨道最高点b 的速度为v b ＝2 m/s ，取g ＝10 m/s 2
，则小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是( )
图10
A ．在a 处为拉力，方向竖直向下，大小为126 N
B ．在a 处为压力，方向竖直向上，大小为126 N
C ．在b 处为拉力，方向竖直向上，大小为6 N
D ．在b 处为压力，方向竖直向下，大小为6 N 答案 AD
解析 在a 点设细杆对球的作用力为F a ，则有F a －mg ＝mv a 2R ，所以F a ＝mg ＋mv a 2R ＝(30＋3×4
2
0.5
) N
＝126 N ，由牛顿第三定律得，小球对细杆的拉力为126 N ，方向竖直向下，A 正确，B 错误．在
b 点设细杆对球的作用力向上，大小为F b ，则有mg －F b ＝mv b 2R ，所以F b ＝mg －mv b 2R ＝30 N －3×2
20.5
N ＝6 N ，由牛顿第三定律得，小球对细杆为压力，方向竖直向下，大小为6 N ，C 错误，D 正确．
2．(运动物体转弯问题)(多选)全国铁路大面积提速，给人们的生活带来便利．火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损．为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是( ) A ．适当减小内、外轨的高度差 B ．适当增加内、外轨的高度差 C ．适当减小弯道半径 D ．适当增大弯道半径 答案 BD
解析 设火车轨道平面的倾角为α时，火车转弯时内、外轨均不受损，根据牛顿第二定律有
mg tan α＝m v 2
r
，解得v ＝gr tan α，所以，为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，可
行的措施是适当增大倾角α(即适当增加内、外轨的高度差)和适当增大弯道半径r . 【考点】交通工具的转弯问题 【题点】倾斜面内的转弯问题
3．(运动物体转弯问题)汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须( ) A ．减为原来的1
2
B ．减为原来的1
4
C ．增为原来的2倍
D ．增为原来的4倍
答案 D
解析 汽车在水平地面上转弯，向心力由静摩擦力提供．设汽车质量为m ，汽车与地面的动
摩擦因数为μ，汽车的转弯半径为r ，则μmg ＝m v 2r
，故r ∝v 2
，故速率增大到原来的2倍时，
转弯半径增大到原来的4倍，D 正确．
4．(轻绳模型)一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图11所示，水的质量m ＝0.5 kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm.(g 取10 m/s 2
)
图11
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字) (2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小． 答案 (1)2.24 m/s (2)4 N
解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．
此时有：mg ＝m v 02
l
，
则所求的最小速率为：v 0＝gl ≈2.24 m/s.
(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为N ，则由牛顿第二定律有：N ＋mg ＝m v 2
l
，
代入数据可得：N ＝4 N.
由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小：N ′＝4 N. 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型
一、选择题 考点一 轻绳模型
1．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v 0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点．则下列说法中正确的是( ) A ．小球过最高点时速度为零 B ．小球过最高点时速度大小为gL
C ．小球开始运动时绳对小球的拉力为m v 02
L
D ．小球过最高点时绳对小球的拉力为mg 答案 B
【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型
2.如图1所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R ，人体重为mg ，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
图1
A ．0 B.gR C.2gR D.3gR
答案 C
解析 由题意知F ＋mg ＝2mg ＝m v 2
R
，故速度大小v ＝2gR ，C 正确．
【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型
3．某飞行员的质量为m ，驾驶飞机在竖直面内以速度v 做匀速圆周运动，圆的半径为R ，在圆周最低点飞行员对座椅的压力比在圆周最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)( ) A ．mg
B ．2mg
C ．mg ＋mv 2
R
D ．2mv 2
R
答案 B
解析 在最高点有：F 1＋mg ＝m v 2R ，解得：F 1＝m v 2R －mg ；在最低点有：F 2－mg ＝m v 2
R ，解得：F 2
＝mg ＋m v 2
R
.由牛顿第三定律得F 2′－F 1′＝2mg ，B 正确．
【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型
4．在游乐园乘坐如图2所示的过山车时，质量为m 的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，下列说法正确的是( )
图2
A ．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去
B ．人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg
C ．人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等
D ．人在最低点时对座位的压力大于mg 答案 D
解析 过山车上人经最高点及最低点时，受力如图，
在最高点，由mg ＋N ＝m v 12R ，可得：N ＝m (v 12
R －g )①
在最低点，由N ′－mg ＝m v 22R ，可得：N ′＝m (v 22
R
＋g )②
由支持力(由牛顿第三定律知，支持力大小等于压力大小)表达式分析知：当v 1较大时，在最高点无保险带人也不会掉下，且还可能会对座位有压力，大小因v 1而定，所以A 、B 错误．最高点、最低点两处向心力大小不等，向心加速度大小也不等，所以C 错误．由②式知最低点
N ′>mg ，根据牛顿第三定律得，D 正确．
【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型 考点二 轻杆模型
5．(多选)如图3所示，小球m 在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是( )
图3
A ．小球通过最高点时的最小速度是Rg
B ．小球通过最高点时的最小速度为零
C ．小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D ．小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力 答案 BD
解析 小球通过最高点的最小速度为0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab 以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故B 、D 正确．
6．长度为1 m 的轻杆OA 的A 端有一质量为2 kg 的小球，以O 点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图4所示，小球通过最高点时的速度为3 m/s ，g 取10 m/s 2
，则此时小球将( )
图4
A ．受到18 N 的拉力
B ．受到38 N 的支持力
C ．受到2 N 的拉力
D ．受到2 N 的支持力 答案 D
解析 设此时轻杆对小球的向下的拉力为F ，根据向心力公式有F ＋mg ＝m v 2
r ，代入数值可得
F ＝－2 N ，表示小球受到2 N 向上的支持力，选项D 正确．
7．如图5所示，质量为m 的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R 的匀速圆周运动，已知重力加速度为g ，空气阻力不计，则( )
图5
A ．若盒子在最高点时，盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为2π
R g
B ．若盒子以周期π
R
g
做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O 点位于同一水平面位置时，小球对盒子左侧面的力为4mg C ．若盒子以角速度2g
R
做匀速圆周运动，则当盒子运动到最高点时，小球对盒子下面的力为3mg
D ．盒子从最低点向最高点做匀速圆周运动的过程中，球处于超重状态；当盒子从最高点向最低点做匀速圆周运动的过程中，球处于失重状态 答案 A 解析 由mg ＝m
4π
2
T
2
R 可得，盒子运动周期T ＝2π
R g ，A 正确．由N 1＝m 4π
2
T 12R ，T 1＝πR
g
，得N 1＝4mg ，由牛顿第三定律可知，小球对盒子右侧面的力为4mg ，B 错误．由N 2＋mg ＝m ω2
R
得，小球以ω＝2
g
R
做匀速圆周运动时，在最高点小球对盒子上面的力为3mg ，C 错误．盒子由最低点向最高点运动的过程中，小球的加速度先斜向上，后斜向下，故小球先超重后失重，D 错误．
【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型 考点三 运动物体转弯问题
8.如图6所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f 甲和f 乙．
以下说法正确的是
( )
图6
A ．f 甲小于f 乙
B ．f 甲等于f 乙
C ．f 甲大于f 乙
D ．f 甲和f 乙的大小均与汽车速率无关 答案 A
解析 汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即f ＝F
向心
＝m v 2
r
，由于r 甲＞r 乙，则f 甲＜f 乙，A 正确．
9．摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图7所示．当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜；行驶在直轨上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样．假设有一摆式列车在水平面内行驶，以360 km/h 的速度转弯，转弯半径为1 km ，则质量为50 kg 的乘客，在转弯过程中所受到的火车给他的作用力为(g 取10 m/s 2
)( )
图7
A ．500 N
B ．1 000 N
C ．500 2 N
D ．0
答案 C
解析 乘客所需的向心力F ＝m v 2
R
＝500 N ，而乘客的重力为500 N ，故火车对乘客的作用力大
小F N ＝F 2
＋G 2
＝500 2 N ，C 正确． 【考点】交通工具的转弯问题 【题点】倾斜面内的转弯问题
10．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图8所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看做是半径为R 的圆周运动．设内、外路面高度差为h ，路基的水平宽度为d ，路面的宽度为L .已知重力加速度为g .要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
图8
A.gRh L
B.gRh d
C.
gRL h
D.
gRd h
答案 B
解析 设路面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mg tan θ＝m v 2
R
，又由数学知识可知tan θ
＝h d ，联立解得v ＝gRh
d
，选项B 正确． 二、非选择题
11．(运动物体转弯问题)如图9所示为汽车在水平路面做半径为R 的大转弯的后视图，悬吊在车顶的灯左偏了θ角，则：(重力加速度为g )
图9
(1)车正向左转弯还是向右转弯？ (2)车速是多少？
(3)若(2)中求出的速度正是汽车转弯时不打滑允许的最大速度，则车轮与地面间的动摩擦因数μ是多少？ 答案 (1)向右转弯 (2)gR tan θ
(3)tan θ 解析 (1)向右转弯
(2)对灯受力分析知mg tan θ＝m v 2
R 得v ＝gR tan θ
(3)车刚好不打滑，有μMg ＝M v 2
R
得μ＝tan θ.
12．(轻杆模型)质量为0.2 kg 的小球固定在长为0.9 m 的轻杆一端，杆可绕过另一端O 点的水平轴在竖直平面内转动．(g ＝10 m/s 2
)求：
(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？
(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s 和1.5 m/s 时，球对杆的作用力． 答案 (1)3 m/s (2)6 N ，方向竖直向上 1.5 N ，方向竖直向下
解析 (1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg ＝m v 02
R
，解得v 0＝3
m/s.
(2)v 1＞v 0，由牛顿第二定律得：mg ＋F 1＝m v 12
R
，由牛顿第三定律得：F 1′＝F 1，解得F 1′＝6 N ，
方向竖直向上．
v 2＜v 0，由牛顿第二定律得：mg －F 2＝m v 22
R
，由牛顿第三定律得：F 2′＝F 2，解得：F 2′＝1.5 N ，
方向竖直向下．。