新课标高中数学大一轮复习学习教案 第八章 立 体 几 何

第八章立体几何第一节
空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积
突破点(一)
空间几何体的三视图和直观图
1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征
多面体结构特征
棱柱有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台
(2)旋转体的形成
几何体旋转图形旋转轴
圆柱矩形矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线
圆台直角梯形或等腰梯形
直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点的连线
球
半圆或圆
直径所在的直线
2.空间几何体的三视图(1)三视图的名称
几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法
①在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°或135°，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴；平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半．
本节主要包括3个知识点：
1.空间几何体的三视图和直观图；
2.空间几何体的表面积与体积；
3.与球有关的切、接应用问题.
空间几何体的结构特征
[例1](1)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()
A．圆柱B．圆锥
C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体
(2)下列说法正确的是()
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
[解析](1)截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．
(2)A错，如图(1)；B正确，如图(2)，其中底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，可证明∠PAB，∠PCB，∠PDA，∠PDC都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图(3)；D错，由棱台的定义知，其侧棱的延长线必相交于同一点．
[答案](1)C(2)B
[方法技巧]
解决与空间几何体结构特征有关问题的三个技巧
(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；
(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，如例1(2)中的A，C两项易判断失误；
(3)通过反例对结构特征进行辨析．
空间几何体的三视图
1.画三视图的规则
长对正、高平齐、宽相等，即俯视图与正视图一样长；正视图与侧视图一样高；侧视图与俯视图一样宽．
2．三视图的排列顺序
先画正视图，俯视图放在正视图的下方，侧视图放在正视图的右方．
[例2](1)(2017·贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚
拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形，按正视图，侧视图，俯视图的顺序排列)()
A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤
(2)(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()
[解析](1)正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.
(2)先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧(左)视图．由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.
[答案](1)B(2)B
[方法技巧]
三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图
注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向；注意能看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图
解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状
要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
空间几何体的直观图
直观图与原图形面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：
(1)S直观图＝2
S原图形．
4
(2)S原图形＝22S直观图．
[例3]用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方
形，则原来的图形是()
[解析]由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2 2.
[答案]A
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是()
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
解析：选B因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C是真命题；且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D是真命题；B 是假命题，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．
2．[考点二]一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()
解析：选B由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓
线是一个矩形，矩形内部是一条水平线段连接两个三角形．
3．[考点二]已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧
视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()
解析：选C当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线，排除A，
D；当正视图是直角三角形时，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故答案为C.
4．[考点三]用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y
轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为22cm2，则原平面图形的面积为()
A．4cm2B．42cm2C．8cm2D．82cm2
解析：选C依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，
高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8cm2.
5．[考点二](2017·台州模拟)如图，在正四棱柱ABCD­A
1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P­BCD的正视图与侧视图的面积之比为() A．1∶1B．2∶1
C．2∶3D．3∶2
解析：选A根据题意，三棱锥P­BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P­BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.
突破点(二)空间几何体的表面积与体积
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱圆锥圆台
圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r
S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ――→r ′＝0
S 圆锥侧＝πrl .2．空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S 表面积＝S 侧＋2S 底V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)
S 表面积＝S 侧＋S 底
V ＝13
Sh
台体(棱台和圆台)
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
V ＝1
3
(S 上＋S 下＋S 上S 下)h
球
S ＝4πR 2
V ＝43
πR 3
空间几何体的表面积
[例1]
(1)(2017·温州十校联考)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，
则该几何体的表面积为(
)
A ．4π＋16＋43
B ．5π＋16＋43
C ．4π＋16＋23
D ．5π＋16＋23
(2)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(
)
A ．1＋3
B ．2＋3
C ．1＋22
D ．22
[解析]
(1)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之
和为2×4×2＝16，两个底面面积之和为2×1
2×2×3＝23；半圆柱的侧面积为π×4＝4π，两个底面面
积之和为2×1
2
×π×12＝π，所以几何体的表面积为5π＋16＋23，故选D.
(2)根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD ⊥底面BCD ，另两个侧面ABC ，ACD 为等边三
角形，则有S 表面积＝2×12×2×1＋2×3
4
×(2)2＝2＋ 3.
[答案]
(1)D
(2)B
[方法技巧]
求空间几何体表面积的常见类型及思路
(1)求多面体的表面积，只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积．
(2)求旋转体的表面积，可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系．
(3)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积．
空间几何体的体积
柱体、锥体、台体体积间的关系
[例2](1)(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()
A.
16
B.
13
C.
12D ．1
(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)
A.1
3＋2π B.
13π6
C.
7π3
D.
5π2
[解析]
(1)通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥P ­ABC ，
通过侧视图得
高h ＝1，通过俯视图得底面积S ＝12×1×1＝12，所以体积V ＝1
3
Sh ＝
13×12×1＝16.(2)由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为
π×12×2＋12×13π×12×1＝13π
6
.
[答案]
(1)A
(2)B
[方法技巧]
求空间几何体体积的常见类型及思路
(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．
(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
1．[考点二](2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)
A.13＋23π
B.13＋2
3πC.13＋26πD ．1＋
26
π解析：选C
由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为
22
，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×4π3×＝13＋2
6
π.故选C.
2．[考点二]已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)
A.
5π
3
cm 3B ．2πcm 3 C.
7π3
cm 3D ．3πcm 3
解析：选C 该几何体为一个圆柱挖去半个球得到的几何体，其体积V ＝π×12
×3－12×4π×13
3
＝
7π
3
(cm 3)．3.[考点一](2017·金华模拟)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为(
)
A ．125＋20
B ．242＋20
C ．44
D ．125
解析：选A 由三视图得，这是一个正四棱台，且上、下底面的边长分别为2,4，则侧面梯形的高h
＝
＝5，所以该正四棱台的表面积S ＝(2＋4)×5
2
×4＋22＋42＝125＋20.
4．[考点一](2017·嘉兴模拟)如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________，该几
何体的表面积为________．
解析：由题可得，该几何体是一个水平放置的三棱柱，其底面是一个底边长为2、高为a 的等腰三角形，高为3.因为其体积为33，所以V ＝1
22a ×3＝3a ＝33，解得a ＝ 3.所以该三棱柱的底面是边长为
2的等边三角形，则该几何体的表面积为S ＝2×1
2
×2×3＋2×3×3＝23＋18.
答案：3
23＋18
5．[考点二]中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)：
若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 的值为________．
解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4－x )×3×1＋x ＝12.6，解得x ＝1.6.
答案：1.6
突破点(三)与球有关的切、接应用问题
1.球的表面积和体积是每年高考的热点，且多与三视图、多面体等综合命题，常以选择题、填空题的形式出现.解决此类问题时，一是要善于把空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中处理；二是要将变化的模型转化到固定的长方体或正方体中.
2.与球有关的组合体问题主要有两种，一种是内切问题，一种是外接问题.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关“元素”间的数量关系，并作出合适的截面图.
多面体的内切球问题
[例1]若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1
S2＝________.
[解析]设正四面体棱长为a，
则正四面体表面积为S1＝4×3
4
·a2＝3a2，其内切球半径为正四面体高的1
4，
即r＝1
4×
6
3
a＝6
12
a，
因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa2 6，
则S1
S2＝
3a2
π
6
a2
＝
63
π
.
[答案]63
π
[方法技巧]
处理与球有关内切问题的策略
解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．
多面体的外接球问题
处理与球有关外接问题的策略
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
[例2](1)(2017·杭州模拟)已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC
＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为(
)
A.3172B ．210
C.132
D ．310
(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()
A.
81π4
B ．16π
C ．9π
D.27π4
(3)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．
[解析](1)如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .
又AM ＝12BC ＝52，OM ＝1
2AA 1＝6，
所以球O 的半径R ＝OA ＝
＝13
2
.
(2)如图所示，设球半径为R ，底面中心为O ′且球心为O ，
∵正四棱锥P ­ABCD 中AB ＝2，∴AO ′＝ 2.∵PO ′＝4，
∴在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2，∴R 2＝(2)2＋(4－R )2，解得R ＝9
4
，
∴该球的表面积为4πR 2＝4π＝81π
4
.
(3)依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，球的直径就是正方体的体对角线，∴2R ＝23(R 为球的半径)，∴R ＝3，∴球的体积V ＝4
3πR 3＝43π.
[答案]
(1)C
(2)A
(3)43π
[方法技巧]
1．[考点一]一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于(
)
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B
该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到
的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r ＝2S a ＋b ＋c ＝2×1
2×6×86＋8＋10
＝2，故选B.
2．[考点二]如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为(
)
A ．200π
B ．150π
C ．100π
D ．50π
解析：选D
由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去4个角后得到，此长方体的长、宽、高分
别为5,4,3，所以外接球半径R 满足2R ＝42＋32＋52＝52，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π＝50π，故选D.
3．[考点二](2016·宁波模拟)如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′­BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′­BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为(
)
A ．3π B.
32
πC ．4π D.
34
π解析：选A
由图示可得BD ＝A ′C ＝2，BC ＝3，△DBC 与△A ′BC 都是以BC 为斜边的直角三
角形，由此可得BC 中点到四个点A ′，B ，C ，D 的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为3，所以该
外接球的表面积S ＝4π＝3π.
4．[考点二]设一个球的表面积为S 1，它的内接正方体的表面积为S 2，则S
1S 2的值等于(
)
A.2π
B.6π
C.π6
D.π2
解析：选D 设球的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则易知R 2＝34a 2，即a ＝233R ，则S
1S 2
＝
2
＝π
2
.
[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．下列结论正确的是()
A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥
D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D
A 错误，如图①是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角
形，但它不是三棱锥；B 错误，如图②，若△ABC 不是直角三角形，或△ABC 是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；C 错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．
2.如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是由边长为4和6
的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是(
)
A.41π3
B.62π3
C.83π3
D.
104π3
解析：选D
由题意得，此几何体为球与圆柱的组合体，其体积V ＝43π×23＋π×22×6＝104π
3
.
3．(2017·嘉兴模拟)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(
)
A ．12＋42
B ．18＋82
C ．28
D ．20＋82
解析：选D 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形
的直三棱柱，
如图．
则该几何体的表面积为S ＝2×1
2×2×2＋4×2×2＋22×4＝
20＋82，故
选D.
4．《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为(
)
A ．2
B ．4＋22
C ．4＋42
D ．6＋42
解析：选C
由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为2，腰长为2，
棱柱的高为2.所以其侧面积S ＝2×2＋22×2＝4＋42，故选C.
5．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为
9π
2
________．解析：设正方体棱长为a ，球半径为R ，则43πR 3＝9π2，∴R ＝3
2，∴3a ＝3，∴a ＝ 3.
答案：3
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知圆锥的表面积为a ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()
A.a 2
B.3πa 3π
C.23πa 3π
D.23a 3π
解析：选C 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意知2πr ＝πl ，∴l ＝2r ，则圆锥的表面积S 表
＝πr 2＋12π(2r )2＝a ，∴r 2＝a 3π，∴2r ＝23πa
3π
.
2．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π
2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋
转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(
)
A.2π3
B.4π3
C.5π3
D ．2π
解析：选C
过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD
所在直线旋转
一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V
圆柱
－V
圆锥
＝
π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π
3
，故选C.
3．(2017·杭州高级中学模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)
A ．1 B.32
C.12
D.
34
解析：选C 由题可得，该几何体是一个四棱锥，底面是上下底边分别为1和2，高为1的直角梯形，
四棱锥的高为1.所以该几何体的体积为V ＝13×12×(1＋2)×1×1＝1
2
.
4．已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为()
A ．8π
B ．12π
C.32
πD ．3π
解析：选D
如图所示，过顶点A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，
则O 为正三角
形BCD 的中心，连接DO 并延长交BC 于E ，又正四面体的棱长为2，所以DE ＝
62
，OD ＝23DE ＝63，所以在直角三角形AOD 中，AO ＝AD 2－OD 2＝23
3
.
设正四面体外
解得R ＝
3
2
，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝3π.5．(2017·台州质检)如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为(
)
A ．8π
B ．16π
C ．32π
D ．64π
解析：选C
还原三视图可知该几何体为一个四棱锥，将该四棱锥补成一个长、宽、高分别为22，
22，4的长方体，则该长方体外接球的半径r ＝(22)2＋(22)2＋42
2
＝22，则所求外接球的表面积为4πr 2
＝32π.
6．已知四棱锥P ­ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ­ABCD 的四个侧面中面积的最大值是(
)
A ．6
B ．8
C ．25
D ．3
解析：选A
四棱锥如图所示，作PN ⊥平面ABCD ，交DC 于点
N ，PC ＝PD ＝
3，DN ＝2，则PN ＝32－22＝5，AB ＝4，BC ＝2，BC ⊥CD ，故BC ⊥平面PDC ，即BC ⊥PC ，同理AD ⊥PD .设M 为AB 的中点，连接PM ，MN ，则PM ＝3，S △PDC ＝12×4×5＝25，S △PBC ＝S △PAD ＝12×2×3＝3，S △PAB ＝1
2×4×3＝6，所以四棱锥
P ­ABCD 的四个侧面中面积的最大值是6.
二、填空题
7．在棱长为3的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且BP PD 1＝1
2
，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M ­PBC 的体积为________．
解析：∵
BP PD 1＝12，∴点P 到平面BC 1的距离是D 1到平面BC 1距离的1
3
，即三棱锥P ­MBC 的高h ＝D 1C 1
3
＝1.M 为线段B 1C 1上的点，∴S △MBC ＝12×3×3＝9
2
，
∴V M ­PBC ＝V P ­MBC ＝13×92×1＝3
2.
答案：
3
2
8．(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.
解析：
由三视图知该几何体是一个组合体，左边是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2cm,4cm,2cm ，右边也是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2cm ，2cm ，4cm.
几何体的表面积为(2×2＋2×4＋2×4)×2×2－2×2×2＝72(cm 2)，体积为2×2×4×2＝32(cm 3)．答案：72
32
9.如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为a ，它是一个水平放置的平面图形的直
观图，则原图形OABC 的周长是________．
解析：由斜二测画法的规则可知，原图形OABC 是一个平行四边形．
在原图形OABC 中OB ＝22a ，OA ＝a ，且OA ⊥OB ，∴AB ＝3a ，
∴原图形OABC 的周长为2(a ＋3a )＝8a .答案：8a
10．(2017·镇海期中)一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体体积的最大值为________．
解析：由题可得，要使正方体可以在纸盒内任意转动，则只需该正方体在正四面体的内切球内即可．因为正四面体的棱长为6，所以其底面正三角形的高为33，正四面体的高为26，则该正四面体的内切球的半径为6
2
，设该正方体的边长为a ，要满足条件，则3a ≤6，即a ≤ 2.所以正方体的最大体积为V ＝a 3≤2 2.
答案：22三、解答题
11．已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？
解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h ，底面半径为r ，侧面积为S ，
则＋r 2＝R 2，即h ＝2R 2－r 2.
因为S ＝2πrh ＝4πr ·R 2－r 2＝4πr 2
·(R 2
－r 2
)≤4π
(r 2＋R 2－r 2)2
4
＝2πR 2，当且仅当r 2＝R 2－r 2，即r ＝
2
2
R 时，取等号，即当内接圆柱底面半径为
2
2
R ，高为2R 时，其侧面积的值最大，最大值为2πR 2.12．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S .
解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为
1的正方形，高为3.
所以V ＝1×1×3＝ 3.
(2)由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形．S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋23.
第二节
空间点、直线、平面之间的位置关系
本节主要包括2个知识点：1.平面的基本性质；
2.空间两直线的位置关系.
突破点(一)平面的基本性质
1．公理1～3
2．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．点、线、面的位置关系
1．证明点共线问题的常用方法
(1)公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上；
(2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．2．证明线共点问题的方法
先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．3．证明点、直线共面问题的常用方法
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；
(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
[典例]
已知：空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F 分别是AB ，
AD 的中点，
G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝1
3
DC .求证：
(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)三直线FH ，EG ，AC 共点．[证明]
(1)连接EF ，GH ，
∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD .
又∵CG ＝13BC ，CH ＝1
3DC ，
∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ，∴E ，F ，G ，H 四点共面．
(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面，∴设FH ∩AC ＝M ，
∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC .又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ，∴M ∈EG ，
∴FH ，EG ，AC 共点．[方法技巧]
平面的基本性质的应用
公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．
1．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(
)
解析：选D A 、B 、C 图中四点一定共面，D 中四点不共面．
2．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值()
A ．至多等于3
B ．至多等于4
C ．等于5
D ．大于5
解析：选B
n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，
为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，这种情况不可能出现，所以正整数n 的取值至多等于4.。