2023-2024学年安徽省黄山市高一上册期末数学质量检测模拟试题合集2套(含解析)

2023-2024学年安徽省黄山市高一上册期末数学质量检测
模拟试题
一、单选题
1．()cos 510-=
（
）
A ．
2
B ．
C ．1
2
D ．12
-
【正确答案】B
【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值求解.
【详解】()cos(360150)cos150cos(9060)sin 60cos 510cos510︒︒=︒+︒=︒=︒+︒-==-︒=故选：B
2．设集合}{0,2,4,6,8,10A =，{}2
|3B x x x =<，则下列说法正确的是（
）
A ．{}4,6,8,10A
B ⋃=B ．A B ⋂=∅
C ．A B ⊆
D ．}
{R 0,2A B ⋂=ð【正确答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合{|3B x x =>或0}x <，然后根据集合的运算和基本关系逐项判断即可求解.
【详解】由题意可得：2{|3}{|3B x x x x x =<=>或0}x <，
对A ，又因为{0,2,4,6,8,10}A =，所以{|0B x A x =≤ 或2x =或3}x >，故选项A 错误；对B ，{4,6,8,10}A B = ，故选项B 错误；对C ，集合,A B 不存在包含关系，故选项C 错误；
对D ，因为R {|03}B x x =≤≤ð，所以}{R 0,2A B ⋂=ð，故选项D 正确，故选.D
3．已知“p :一元二次方程20x bx c ++=有一正根和一负根；q :0c <.”则p 是q 的（）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【分析】根据根与系数的关系及充分条件、必要条件
【详解】因为方程2
10x ax ++=有一正根和一负根，则有2Δ40
00
b c c c ⎧=->⇔<⎨
<⎩，所以,p q q p ⇒⇒，故p 是q 的充分必要条件.故选：C
4．方程3lg x x =-的根所在的区间为（）
A ．()1,2
B ．()
2,3C ．()
3,4D ．()
4,5【正确答案】B
【分析】构造函数()lg 3f x x x =+-，利用零点存在定理求出函数()f x 的零点所在的区间即可得方程
3lg x x =-的根所在的区间.
【详解】设函数()lg 3f x x x =+-，易知()f x 在()0,∞+上单调递增，且()2lg 223lg 210f =+-=-<，()3lg 333lg 30f =+-=>，所以函数()lg 3f x x x =+-的零点所在的区间为()2,3，即方程3lg x x =-的根所在的区间为()2,3.故选:B.
5．已知()()()2sin ,0,f x x ωφφπ=+∈是定义在R 上的偶函数，且最小正周期4T π=，则3f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（
）
A
B ．
C ．1-
D ．1
【正确答案】A
【分析】根据正弦型三角函数最小正周期与偶函数得出ω与φ，即可代入求值.【详解】 函数()()2sin f x x w f =+的周期4T π=，
24π
πω∴
=，解得12
ω=±， 函数()()2sin f x x w f =+是定义在R 上的偶函数，
2
k π
φπ∴=
+，
()0,φπ∈ ，
2
π
φ∴=
，
()112sin 2cos 222f x x x π⎛⎫⎛⎫=±+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴，
12cos 2cos 2336f πππ⎛⎛⎫⎫⎛⎫
±⨯=±= ⎪ ⎪⎝⎭=⎝ ⎝⎭
∴⎪⎭故选：A.6．已知2
4cos 2
122cos sin 2
α
αα-=
+，则tan 2α=（）
A ．1
2
B ．1
C ．45
D ．43
-
【正确答案】D
【分析】根据二倍角余弦公式、正切公式，同角三角函数的基本关系求解.【详解】由
2
4cos 2
2cos 2122cos sin 2cos sin 2tan 2α
αααααα-===
+++，解得tan 2α=，2
2tan 44
tan 21tan 143
ααα=
==---，故选：D
7．已知函数()()
2
0.5log f x x ax b =-++的单调递增区间是[)2,3,则()2f =（
）
A ．1
-B ．1C ．0D ．2
【正确答案】C
【分析】利用函数的定义域和复合函数的单调性求解即可.
【详解】设2
u x ax b =-++，则u 为开口向下，对称轴为()
21a
x =-⨯-的抛物线，
因为函数0.5log y u =在定义域内单调递减，函数()f x 的单调递增区间是[)2,3,
所以由复合函数单调性的定义可得()22
21330
a a
b ⎧
-=⎪⨯-⎨⎪-++=⎩
，解得43a b =⎧⎨=-⎩，
所以()()
2
0.5log 43f x x x =-+-，
所以()()
2
0.50.52log 2423log 10f =-+⨯-==，
故选：C
8．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x =+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“类指数”．若正实数a 与b 为函数()()0f x kx k =>的一对“类指数”，4a b +的最小值为9，则k 的值为（
）
A ．1
2B ．1C ．
43
D ．2
【正确答案】B
【分析】根据正实数a 与b 为函数()()0f x kx k =>的一对“类指数”，得到11
k a b
+=，再利用“1”的代换，由基本不等式求解.
【详解】因为正实数a 与b 为函数()()0f x kx k =>的一对“类指数”，所以()()()f a f b f a b =+，
所以()ka kb k a b ⋅=+，即a b kab +=，即11
k a b
+=，
所以()1111419
44552b a a b a b k a b k a b k k ⎛⎛⎫⎛⎫+=
++=++≥+= ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当
4b a
a b
=，即2a b =时，等号成立，又4a b +的最小值为9，所以k 的值为1，故选：B 二、多选题
9．已知正数x ，y ，z 满足等式236x y z ==，下列说法正确的是（）
A ．x y z >>
B ．32x y =
C ．
1110x y z
+-=D ．
1110x y z
-+=【正确答案】AC
【分析】令()2361x y z
k k ==>=，可得236111
log ,log ,log log 2log 3log 6
k k k x k y k z k ==
====，根据对数的运算逐项判断即可.
【详解】设()2361x y z
k k ==>=，则236log ,log ,log x k y k z k ===.
因为236111
log log ,log log 2log 3log 6
k k k x k y k z k ==
====,且0log 2log 3log 6k k k <<<,所以
111log 2log 3log 6
k k k >>，即x y z >>，故A 正确；
3ln 2ln 3,2ln 2ln 3
k k
x y =
=,则33ln 3122ln 2x y =>,故B 错误；111
log 2log 3log 6k k k x y z +=+==,故C 正确；111
log 2log 3log 6log 40k k k k x y z
-+=-+=≠,故D 错误.故选:AC.
10．已知函数()()πsin ,0,0,2f x A x x A ωϕωϕ⎛
⎫=+∈>>< ⎪⎝
⎭R 的部分图像如图所示，则下列说法正确的
是（
）
A ．()f x 的图像关于点1,06⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称
B ．()f x 的图像关于直线4
3
x =
对称C ．()f x 在11,23⎡⎤
-⎢⎣⎦
上为增函数
D ．把()f x 的图像向右平移23
个单位长度，得到一个奇
函数的图像【正确答案】ABC
【分析】根据函数图像求出函数解析式：()2sin()6
f x x π
π=+
，然后利用三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】由已知2A =，514()263T =⨯-=，22π
ωπ=
=，2sin()23
πϕ+=，2,32
k k Z ππϕπ+=+∈，又2π
ϕ<，
∴6
π
ϕ=，∴()2sin()6
f x x ππ=+，
显然12sin 0666f ππ⎛⎫⎛⎫
-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 正确；
62x k ππππ+=+，13
x k =+，Z k ∈，1k =时，4
3x =，B 正确；
11[,]23x ∈-时，[,632t x ππππ=+∈-，sin y t =在[,32
ππ
-上递增，因此C 正确；
把()f x 的图像向右平移2
3
个单位长度，得函数表达式为
2()2sin 2sin()2cos 362
g x x x x ππ
πππ⎡⎤⎛
⎫=-
+=-=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，它是偶函数，D 错误．故选：ABC ．
本题考查了三角函数的图像求解析式、三角函数的性质，掌握正弦函数的性质是解题的关键，属于基础题.
11．已知0a >、0b >，2a b ab +=，则下列说法正确的是（）
A ．2a >，1b >
B ．ab 的最小值为8
C ．a b +的最小值为3
D ．22(2)(1)a b -+-的最小值为4
【正确答案】ABD
【分析】对于A ，将2a b ab +=化为2a b a =
-与21
b
a b =-；对于B ，直接利用基本不等式构造一元二次不等式可求出ab 的最小值；对于C ，2a b ab +=化为21
1a b
+=，利用乘“1”法可求a b +的最小值；对于D ，将2
a
b a =
-代入22(2)(1)a b -+-，利用基本不等式即可求解.【详解】因为2a b ab +=，所以02
a
b a =>-且a >0，可得2a >.又201
b
a b =
>-且b >0，可得1b >，故A 正确；2ab a b =+≥即8ab ≥，当且仅当2,4b a ==
时等号成立，故B 正确；
因为2a b ab +=，所以
211a b
+=.
所以()2123332b a a b a b b a a b ⎛⎫
+=++≥++ ⎪⎝⎭
+=+
当且仅当21a b ==时等号成立，故C 错；将2
a
b a =
-代入22(2)(1)a b -+-，可得()()
()2
2
2
2
21212a b a a a ⎛⎫-+--+- ⎝-⎪⎭
=()()()
2
222422222a a a a ⎛⎫
-+-+ ⎪⎝⎭=-=-
4≥,
当且仅当2a =时等号成立，此时1b =，故D 正确.故选：ABD.
12．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()1
32
,01
68,1x x f x x x x ⎧
⎪≤<=⎨⎪-+≥⎩
，则下列说法正确的
是（）
A ．函数()f x 在[][)2,34,∞⋃+上单调递增
B ．函数()()4log 2g x x =+的图象与函数()f x 的图象仅有4个交点
C ．不等式()3f x ≥的解集为(][)
,55,-∞-+∞ D ．方程()()()2
240f x a f x a ⎡⎤-⋅+-=⎣⎦有6个不相等的实数根，则实数5a >【正确答案】BD
【分析】作出函数的图象，利用数形结合的思想对选项一一判断即可得出答案.
【详解】由函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()1
32
,01
68,1x x f x x x x ⎧
⎪≤<=⎨⎪-+≥⎩
，
所以()f x
的图象如下图所示，
函数()f x 在[][)2,34,∞⋃+上单调递增，不满足增函数的定义，说法不正确，
应该为：函数()f x 在[][)2,34,∞+，
上单调递增，所以A 错误；由图中可知，函数()()4log 2g x x =+的图象与函数()f x 的图象仅有4个交点，所以B 正确；当01x ≤<时，()13
3f x x =<，不满足；
当1x ≥时，()2
683f x x x =-+≥，解得：5x ≥或1x =，
因为()f x 是定义域为R 的偶函数，
所以不等式()3f x ≥的解集为(][){},55,1,1∞∞--⋃+⋃-，故C 不正确；令()t f x =，则方程()()()2
240f x a f x a ⎡⎤-⋅+-=⎣⎦等价于
()2240t at a -+-=，解得：2t =或2t a =-，
当2t =时，即2t =与()f x 的图象有4个交点，
要使方程()()()2
240f x a f x a ⎡⎤-⋅+-=⎣⎦有6个不相等的实数根，
当2t a =-与()f x 的图象有2个交点，则23a ->，解得：5a >，故D 正确.故选：BD.三、填空题
13．已知“命题:90p α∀> ，则α是钝角”，则命题p 的否定为_________.【正确答案】90α∃> ，使α不是钝角
【分析】根据全称命题否定的形式即可写出答案.
【详解】全称命题的否定为特称命题，依题意，命题p 的否定为：90α∃> ，使α不是钝角.故90α∃> ，使α不是钝角
14．cos346cos 419sin14sin121⋅+⋅= ________.
【正确答案】
2
【分析】利用诱导公式化简，再根据和与差的公式计算即可．
【详解】()cos346cos419sin14sin121145914595914cos cos sin sin cos ⋅+⋅=︒︒+︒︒=︒-
，
cos452=︒=
.
本题考查了诱导公式化简能力以及和与差的公式计算，比较基础．
15．写出一个同时满足下列三个性质的函数：()=f x ___________.①()f x 为偶函数；②(+1)f x 为奇函数；③()f x 在R 上的最大值为2.
【正确答案】()π
2cos 2
f x x =（答案不唯一）
【分析】由()f x 为偶函数，可考虑余弦型函数，故可设()cos f x A x ω=，然后通过余弦函数的性质求得,A ω即可.
【详解】从三角函数入手，由于()f x 为偶函数，可考虑余弦型函数，故可设()()cos 0f x A x A ω=>，由()1f x +为奇函数，且()1f x +是()f x 向左平移1个单位长度得到，
所以()1,0是()f x 的对称中心，则π
π,Z 2
k k ω=+∈，不妨令0k =，则π2
=
ω，由()f x 在R 上的最大值为2可得2A =，所以()π
2cos 2f x x =.
故()π
2cos 2
f x x =（答案不唯一）.
16．已知函数()21,0
1,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩
，若存在12x x <，满足()()12f x f x =，则()221log 1x x -+的取值范围
是___________.【正确答案】[)
1,+∞【分析】画出()f x 的图象，根据题意可得y b =与()y f x =的图象有两个交点，由此得到12,x x 的关系和取值范围即可求解.
【详解】根据题意作()f x
的图象如图所示，
若存在12x x <，满足()()12f x f x =，则y b =与()y f x =的图象有两个交点，
由图象可得01b <≤，此时110x -<≤，21121x
x +=-，即2122x x =+，
所以()()22
2212212221121log 1log 2log 1log log 1log 2111x x x x x x x ⎛⎫-+=-+==+≥= ⎪++⎝
⎭，故[)1,+∞四、解答题
17．已知函数2()3f x x bx =+-有两个零点12,x x ，且12,x x 的倒数和为2
3
-.
(1)求不等式()0f x ≤的解集P ；
(2)已知集合{|S x x m =<或}1x m >+.若()R S P =∅ ð，求实数m 的取值范围.
【正确答案】(1){}|13x x -≤≤(2)()()
,23,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据零点的概念得到12,x x 是方程230x bx +-=的两实根，从而利用韦达定理，结合题设条件得到关于b 的方程，求得b 后再解不等式()0f x ≤即可得解；
（2）先利用集合的补集运算求得R S ð，再利用集合交集为空集，结合数轴法得到关于m 的不等式，解之即可.
【详解】（1）因为函数2()3f x x bx =+-有两个零点12,x x ，所以12,x x 是方程230x bx +-=的两实根，
所以2Δ120b =+>恒成立，12x x b +=-，213x x ⋅=-，又因为121123x x +=-，1212121133
x x b b
x x x x +-+===⋅-，所以
2
33
b =-，解得2b =-，所以2()23f x x x =--，
故由()0f x ≤得2230x x --≤，即()()310x x -+≤，解得13x -≤≤，所以{}|13P x x =-≤≤.
（2）因为{|S x x m =<或}1x m >+，所以{}R |1S x m x m =≤≤+ð，
因为()R S P =∅ ð，{}|13P x x =-≤≤，所以11m +<-或3m >，解得2m <-或3m >，故m 的取值范围为()(),23,-∞-⋃+∞.
18．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角π02α⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，其终边与以原点为圆心的单位圆O 交
于点10P y ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
(1)将射线OP 绕点O 按逆时针方向旋转
2
π
弧度后交单位圆O 于点Q ，求点Q 的坐标；(2)若角π02γ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，且()3cos 5γα-=，求sin γ的值.
【正确答案】(1)1010⎛ ⎝⎭
2
【分析】（1）先求出点P 的坐标，然后利用三角函数的概念及诱导公式求解；（2）利用同角关系及两角和差的正弦公式求解即可.
【详解】（1）由题意可知，2
2
110y ⎛+= ⎝⎭
，又π02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，y ∴=-
cos 1010
αα∴=
=-
，易知，射线OQ 是角π2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的终边，由三角函数的定义可知：
π
sin cos cos sin 22Q Q y x παααα⎛⎫⎛⎫
∴=+==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
即点Q 的坐标为,1010⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭；
（2）π02γ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，则()0πγα-∈，，
()4
sin 5
γα∴-==，
()()()sin sin sin cos cos sin γγααγααγαα⎡⎤∴=-+=-+-⎣⎦435105102⎛⎫=
⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭.19．已知函数()()
244x
f x a a a =-+⋅是指数函数，函数()()()f x m
g x f x m
-=
+.
(1)求函数()()()()21y f x f x =-⋅+在[0,1]上的值域；
(2)若函数()g x 是定义域为R 的奇函数，试判断函数()g x 的单调性，并用定义证明.【正确答案】(1)[]2,4-(2)是R 上的增函数，证明见解析
【分析】（1）根据指数函数定义求出a ，3x t =换元后利用二次函数求值域即可；（2）根据奇函数定义求出m ，再由单调性的定义证明即可.
【详解】（1）()()244x f x a a a =-+⋅是指数函数，则2441a a -+=,01a a >≠且，解得3a =，
()3x f x ∴=，令3,x t =则()()21y t t =-⋅+，[]1,3t ∈，
[]2,4y ∴∈-，即函数()()()()21y f x f x =-⋅+在[]0,1上的值域为[]2,4-；
（2）()33x x m
g x m -=+是定义域为R 的奇函数，则()(),
g x g x -=-由()()3133g 3133x x x
x x x
m m m g x x m m m ------===-=
+++解得1m =，
()312
13131
x x x
g x -==-++是增函数，下面用定义加以证明：设任意的12,R x x ∈且12x x <，则
()()(
)
(
)(
)
12
1
21
212233221131313131
x x x x x x g x g x -⎛
⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，
12x x < ，则12330x x -<，又()()
1
2
31310x x ++>，()()(
)
(
)(
)
12
121223303131
x x x x g x g x -∴-=
<++，
即()()12g x g x <，()31
31
x x g x -∴=
+是R 上的增函数.20．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式0ln
M
v v m
=计算火箭的最大速度()m /s v ，其中()0m /s v 是喷流相对速度，()kg m 是火箭(除推进剂外)的质量，()kg M 是推进剂与火箭质量的总和，
M
m
称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为()500m /s .(1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的1
2，若要使火箭的最大速度至少增加()500m /s ，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.（参考数据:ln 20.7≈，ln 5 1.6≈，2.718e 2.719<<）【正确答案】(1)2650m /s (2)11
【分析】（1）由0500v =，
200M
m
=代入已知公式即可求解；
（2）设材料更新和技术改进前总质量比为x ，列出不等式1000ln
500ln 5002
x
x -≥，解不等式即可.【详解】（1）由已知可得()()500ln 200500ln 2ln100500ln 22ln 2ln 5v ==+=++⎡⎤⎣⎦()5003ln 22ln 52650m /s =+≈.
（2）设在材料更新和技术改进前总质比为x ，且10ln 500ln v v x x ==，21000ln 2
x
v =，若要使火箭的最大速度至少增加500m /s ，所以211000ln
500ln 5002
x
v v x -=-≥，即2ln ln 12x x -≥，2
ln ln ln 124x x x ⎛⎫
-=≥ ⎪⎝⎭
，
所以
e 4
x
≥，解得4e x ≥，因为2.718e 2.719<<，所以10.8724e 10.876<<，所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为11.
21．已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于原点成中心对称，且对任意的,R a b ∈，当0a b +≠时，都有
()()0f a f b a b
+<+成立.
(1)试讨论()f a 与()f b 的大小；
(2)若关于x 的不等式()2270f x f x m ⎛⎫
++-≤
⎪-⎝⎭
在(),x m ∈+∞上恒成立，求实数m 的最小值.【正确答案】(1)答案见解析(2)3
2
【分析】（1）根据奇偶性和单调性的定义可得函数为单调递减的奇函数，然后根据函数单调性即得；（2）利用()f x 的奇偶性和单调性将原不等式转化为2
27x x m
+≥-在(),x m ∈+∞上恒成立，利用均值不等式求解即可.
【详解】（1）显然当a b =时，()()f a f b =，
当a b ¹时，因为函数()f x 的定义域为R ，且图象关于原点成中心对称，则()f x 为奇函数，即()()f b f b =--，()00f =，先考虑当任意的[),0,a b ∈+∞，由题可得
()()()
()()0f a f b f a f b a b a b
+--=
<+--，
由函数单调性的定义可知()f x 在[)0,∞+上单调递减，
又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在定义域R 上单调递减，
所以当a b <时，()()f a f b >；当a b >时，()()f a f b <；当a b =时，()()f a f b =；（2）由（1）知函数()f x 为R 上的减函数且为奇函数，
则()2270f x f x m ⎛⎫
++-≤
⎪-⎝⎭
，即()()2277f x f f x m ⎛⎫+≤--= ⎪-⎝⎭，即
2
27x x m
+≥-在(),x m ∈+∞上恒成立，
因为x >m ，则
()222242x m m m m x m +-+≥=+-，当且仅当
()2
2x m x m
=--，即1x m -=时等号成立，所以427m +≥，解得32
m ≥，所以实数m 的最小值为
32
.22．如图，扇形OPQ 的半径1OP =，圆心角3
POQ π
∠=
，点C 是圆弧PQ 上的动点（不与P Q 、点重合），
现在以动点C 为其中一个顶点在扇形中截出一个四边形，下面提供了两种截出方案，如果截出的两个四边形面积的最大值之差的绝对值不大于13
，则称这两个四边形为“和谐四边形”.试问提供的两种方案
截出的两个四边形是否是“和谐四边形”？请说明理由.
【正确答案】截出的这两个四边形为“和谐四边形”，理由见解析
【分析】方案一：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫
∠=∈ ⎪⎝⎭，用三角函数表示
ABCD S AB BC =⋅四边形2366πθ⎛
⎫=
+- ⎪⎝
⎭，由三角函数的性质即可求出ABCD S 四边形的最大值，方案二：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫
∠=∈ ⎪⎝⎭
，过点C 作CM OP ⊥，CN OQ ⊥，用三角函数表示出
ΔΔ1sin 23OPC OQC OPCQ S S S πθ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭四边形，由三角函数的性质即可求出OPCQ S 四边形的最大值，得出
1
3
ABCD OPCQ S S -<
四边形四边形即可得出结论.【详解】方案一：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫
∠=∈ ⎪⎝⎭，则sin cos AD BC OB θθ===，，
又tan 3AD OA
π
=
，所以tan 3
AD OA π==
cos AB OB OA θ∴=-=
，211cos2cos sin sin cos sin222ABCD
S AB BC θθθθθθ-⎛
∴=⋅=⋅=⋅= ⎝
四边形sin 2366πθ⎛
⎫=
+- ⎪⎝
⎭，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，6πθ∴=时，(
)max 6
ABCD S ∴四边形
；方案二：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫
∠=∈ ⎪⎝⎭
，过点C 作CM OP ⊥，CN OQ ⊥，
则sin CM θ=，sin 3CN πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1sin 23OPC OQC OPCQ S S S πθ⎛
⎫∴=+=+ ⎪⎝
⎭ 四边形，
0,3πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，6πθ∴=时，()
max
1
2
OPCQ
S ∴=
四边形
；1326ABCD OPCQ S S -=
-= 四边形四边形
103<，即1
3
ABCD OPCQ S S -<
四边形四边形，所以截出的这两个四边形为“和谐四边形
”.
2023-2024学年安徽省黄山市高一上册期末数学质量检测
模拟试题
一、单选题
1．已知全集U =R ，集合{}16,{33}A x
x B x x =-≤≤=-<<∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（）
A ．{}36x x ≤≤∣
B ．{13}x
x -<≤∣C ．{13}x
x <≤∣D ．{31}x
x -<≤-∣【正确答案】A
【分析】由图可得阴影部分表示()U A B ð，然后用补集和交集的定义进行求解【详解】由图可得，图中阴影部分表示的集合为()U A B ð，
因为{}16,{33}A x
x B x x =-≤≤=-<<∣∣，所以{3U B x x =≤-ð或}3x ≥，(){}36U B A x
x ⋂=≤≤∣ð，故选：A
2．若函数()f x =，则()f x 的定义域为（
）
A ．[]2,4
B ．][(),24,⋃-∞+∞
C ．()2,4
D ．()()
,24,-∞⋃+∞【正确答案】B
【分析】由题意可得2680x x -+≥，解不等式即可得出定义域.
【详解】要使函数()f x =
有意义，则2680x x -+≥，
则()()240x x --≥，解得：2x ≤或4x ≥，
所以函数()f x =的定义域为][(),24,⋃-∞+∞，
故选：B
3．若命题“[]1,2x ∀∈，210x a +-≤”为真命题，则a 的取值范围是（）
A ．2a ≥
B ．2a ≤
C ．5a ≥
D ．5
a ≤【正确答案】C
【分析】利用分离参数法求解，把参数分离出来求解21y x =+的最大值即可.
【详解】由已知[]1,2x ∀∈，210x a +-≤，则()2
max 1a x ≥+，即5a ≥，
所以a 的取值范围是5a ≥.故选：C.
4．已知0.2log 3a =，0.20.3b =，ln πc =，则（）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b a c
<<D ．b<c<a
【正确答案】A
【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.【详解】由对数函数的图像与性质可得0.20.2log 3log 10a =<=，0.2,031).(0b ∈=，
ln π>lne=1c =，
所以a b c <<，故选：A.
5．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-，若11
33
f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则
133f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（）
A ．53-
B ．13
-C ．53D ．
1
3【正确答案】B
【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可.【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，
所以由()()()()()()()1212f x f x f x f x f x f x f x +=-=-⇒+=-+⇒+=，函数该函数的周期为2，
131111433333f f f f
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=+==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
故选：B
6．若π1tan 43⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭θ，则()()()
πsin 1sin22sin πcos πθθθθ
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭=-++（）
A ．3
B ．
3
5
C ．
15
D ．35
-
【正确答案】D
【分析】根据两角和的正切公式、二倍角公式，结合诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】π11tan 1tan tan 2431tan 3θθθθ+⎛⎫
+=-⇒
=-⇒=- ⎪-⎝⎭
，()()()()222
22
πsin 1sin2cos sin cos cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθ
⎛⎫
+- ⎪--⎝⎭==-=-++-+2tan 13tan 15θθ-==-+，故选：D
7．设二次函数()()2
232=-++f x a x ax 在R 上有最大值，最大值为()m a ，当()m a 取最小值时，a 的
值为（）
A ．0
B ．1
C
D ．4
【正确答案】A
【分析】根据二次函数分析可得()()
29816
,242m a a a a a -+-<-=
，换元令2t a =-，整理得()9474t t y ⎡⎤=
-+-⎢⎥-⎣⎦
，结合基本不等式运算求解.【详解】由题意可得：20a -<，即2a <，
且()()2
232=-++f x a x ax 的对称轴为()
322a
x a =
-，
故()()()239816
,22242a a a f a a a m a ⎛⎫-+-=< ⎪ ⎪--⎝⎭
=，令20t a =-<，则2a t =+，
可得()()()
2
928216949
772444
t t t t t y -+++-⎡⎤=-+-≥⨯-=⎢⎥-⎣⎦=，当且仅当4
t t
-=
-，即2,0t a =-=时，等号成立，即当0a =时，()m a 取最小值2.故选：A.
8．已知锐角α，β满足sin sin 2cos cos αβ
βα
+<，设tan tan =⋅a αβ，()log a f x x =，则下列结论正确的是（）
A ．π2
αβ+>
B ．sin cos αβ>
C ．()()sin cos f f αβ>
D ．()()
cos sin f f αβ>【正确答案】C
【分析】根据题意结合基本不等式分析可得()tan tan 0,1a αβ=∈，对A ：结合两角和的正切公式分析可得()tan 0αβ+>，即可得π0,2αβ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
；对B ：由π2αβ<-，结合正弦函数单调性以及诱导公式可
得sin cos αβ<；对C ：由sin cos αβ<，结合对数函数的单调性分析判断；对D ：根据选项B 、C 的思路，先证sin cos βα<，再结合对数函数的单调性分析判断.
【详解】因为π,0,2
αβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
为锐角，则sin ,cos ,sin ,cos ααββ均为正数，即sin sin 0,0cos cos αββα>>，又∵2
sin sin cos cos sin sin tan tan cos cos 4
αββααβαβαβ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭=≤
，
当且仅当sin sin cos cos αββα
=，即αβ=时等号成立，结合
sin sin 2cos cos αβ
βα
+<，可得0tan tan 1αβ<<，即01a <<，对A ：∵tan 0,tan 0,0tan tan 1αβαβ>><<，则()tan tan tan 01tan tan αβ
αβαβ
++=
>-，且()0,παβ+∈，
∴π0,2αβ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，A 项不正确；
对B ：∵π02αβ<+<，则π
2
αβ<-，
注意到π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则ππ0,22β骣琪-Î琪琪桫，且sin y x =在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，∴πsin sin cos 2αββ⎛⎫
<-= ⎪⎝⎭
，B 错误；
对C ：由01a <<，则()log a f x x =在定义域内是减函数，且0sin cos αβ<<，所以()()sin cos f f αβ>，C 正确；对D ：∵π
02αβ<+<
，则π2
βα<-，注意到π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ0,22α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
，且sin y x =在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，
∴π0sin sin cos 2βαα⎛⎫
<<-= ⎪⎝⎭
，
结合()log a f x x =在定义域内是减函数，则()()sin cos f f βα>，D 不正确.故选：C.
结论点睛：对于锐角α，β，则有：（1）若π
2
αβ+<，则sin cos <αβ；（2）若π
2
αβ+=，则sin cos αβ=；（3）若π
2
αβ+>
，则sin cos αβ>；此结论在三角形中应用较多.
二、多选题
9．下列说法正确的是（
）
A ．0,1x x >≠，则1
lg lg y x x
=+的最小值是2B ．0x ≥，则
y =
的最小值是
52
C ．0x ≥，则1
242x
x
y =+
⋅的最小值是1D ．2214
sin cos y x x
=
+的最小值为9【正确答案】BD
【分析】对于A ，B ，C ，利用换元法及对勾函数的性质，结合函数单调性与最值的关系即可求解；对于D ，利用同角三角函数的平方关系及商数关系，结合正余弦齐次式及基本不等式即可求解.
【详解】对于A,令()lg 0t x t =≠，则1
()f t t t
=+
()0t ≠，由对勾函数知，()f t 在()(),1,1,-∞-+∞单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减；所以当0t <时，()()
1
()(1)121f t f ≤-=-+=--，当0t >时，1
()(1)121
f t f ≥=+=，故A 错误；
对于B ，令)2t t =≥，则2
4x t =-，2451
()t f t t t t
-+==+，
由对勾函数的性质知，()f t 在[)2,+∞单调递增，当2t =时，()f t 取得最小值为15
(2)2
22f =+=，所以当0x ≥时，则y =52，
故B 正确；
对于C ，令()21x t t =≥，则1()4f t t t =+⋅，由对勾函数的性质知，()f t 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
单调递增，当12t =时，()f t 取得最小值为1115()122242
f =+=⨯，所以当0x ≥时，则1242x x y =+⋅的最小值是52，故C 错误；对于D ，()
22222222224sin cos 14sin cos 14tan 5sin cos sin cos tan x x x x y x x x x x x ++=+=+=+
+59≥=，当且仅当2214tan tan x x =
，即tan 2
x =±时，等号成立，所以2214sin cos y x x
=+的最小值为9，故D 正确.故选：BD.
10．下列命题中正确的是（）
A ．命题：“0x ∀≥，20x ≥”的否定是“0x ∃<，20x <”
B ．函数(
)41x f x a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点()4,2C ．已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()f x 的定义域为[]
1,3-D
．若函数
)
1=-f x ，则()()221f x x x x =--≥-【正确答案】BCD
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可判断A ，根据指数函数的性质可判断B ，根据抽象函数的定义域可判断C ，根据配凑法可判断D.
【详解】A 选项，“20,0x x ∀≥≥”的否定是“20,0x x ∃≥<”，A 错误；
B 选项，0a >且1a ≠，当4x =时，0(4)12f a =+=，故函数4()1x f x a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点(4,2)，
B 正确；
C 选项，由[1,1]x ∈-得：[]211,3x +∈-，故函数()f x 的定义域为[]1,3-，C 正确；
D
选项，
))
21)112f x =-=----
11≥-，故()()221f x x x x =--≥-，D 正确.
故选：BCD.
11．已知定义在R 上的函数()f x 在(],2-∞上单调递增，且()2f x +为偶函数，则（
）
A ．直线2x =是()f x 的对称轴
B ．()2,0是()f x 的对称中心
C ．()()
14f f ->D ．不等式()()34f x f x +>的解集为()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝
⎭ 【正确答案】AD
【分析】由题意可得()f x 图象的对称轴为直线2x =，即可判断A ，B ；结合对称性可得()f x 在[)2,+∞上单调递减，从而()()()154f f f -=<，即可判断C ；由不等式()()34f x f x +>结合()f x 的对称性及单调性，可得3242x x +-<-，解不等式即可判断D ．
【详解】因为()2f x +为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以()f x 图象的对称轴为直线2x =，故A 正确，B 错误；
又()f x 在(],2-∞上单调递增，所以()f x 在[)2,+∞上单调递减，所以()()()154f f f -=<，故C 错误；由不等式()()34f x f x +>结合()f x 的对称性及单调性，得3242x x +-<-，即22(32)(42)x x +-<-，即(51)(33)0x x -->，解得15x <
或1x >，所以不等式()()34f x f x +>的解集为()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，故D 正确，
故选：AD ．
12．把函数()()cos 0πf x x x ωωω=+<<的图象向左平移
π6个单位长度，得到的函数图象恰好关于y 轴对称，则下列说法正确的是（
）
A ．()f x 的最小正周期为π
B ．()f x 关于点5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称C ．()f x 在ππ,124⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．若()f x 在区间π,12a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上存在最大值，则实数a 的取值范围为π,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【正确答案】ABD
【分析】先利用辅助角公式化简()f x ，再通过图像平移求得新的函数，从而利用图象关于y 轴对称求得2ω=，由此得到()f x 的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断.
【详解】由题意可得：()πcos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，对A ：函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到πππππ2sin 2sin 66666y f x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，∵ππ2sin 66y x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭关于y 轴对称，即ππ2sin 66y x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭为偶函数，则()21πππ,662
k k ω-+=∈Z ，则64,k k ω=-∈Z ，注意到0πω<<，则1,2k ω==，
故()f x 的最小正周期为2π
πT ω==，A 正确；
对B ：由A 可知：()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，由5π5ππ2sin 22sin π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，B 正确；对C ：令222,26πππππ2k x k k -
≤+≤+∈Z ，解得,3πππ6
πk x k k -≤≤+∈Z ，故()f x 的递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z ，令0k =，且ππ,124x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得ππ6,12x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦
，故()f x 在6ππ,12⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，C 错误；对D ：∵π,12x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则ππ20,266x a ⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，若()f x 在区间π,12a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上存在最大值，则ππ262a +>，解得π6a >，即实数a 的取值范围为π,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 正确.故选：ABD.
方法定睛：求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质问题的三种意识
（1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．
（2）整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．
①令ωx ＋φ＝k π＋π2
(k ∈Z )，可求得对称轴方程．②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标．
③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号．
三、填空题
13．已知0a >，且1a ≠，函数()log 23a y x =-的图象恒过点P ，若P 在幂函数()f x 图像上，则()8f ＝__________．
【正确答案】
【分析】由log 10a =，知231x -=，即2x =时，y ，由此能求出点P 的坐标．用待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，即可求得答案.
【详解】 log 10a =，
∴231x -=，
即2x =时，y
∴点P 的坐标是P 由题意令()a y f x x ==，
图象过点
2,a =解得：12a =
12()y f x x
∴==1
2(8)8f ==
故答案为.本题主要考查了求幂函数值，解题关键是掌握判断对数函数恒过定点的方法和幂函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
14．()2sin50sin101cos10⎡⎤+=⎣⎦
______.
【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、辅助角公式以及三角恒等变换的知识求得正确答案.
【详解】()
2sin50sin101cos10⎡⎤++⎣⎦
cos 2sin50sin101cos1010⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦
= 10cos
cos 02sin50sin10cos1010⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎭⎣=⎝⎦
⎥ ()102sin50sin10cos10102sin 30cos +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
⨯= 2sin 40co 2sin50sin10cos100s1⎡+=⎤⎢⎥⎣
⎦⨯ cos sin 40sin5010sin 2co 10cos1010
s =+⨯⨯ cos cos50sin5010sin 2co 10cos1010
s =+⨯⨯
()
sin 50201=⨯+ 6sin 20=
.
15．已知正数,m n 满足320m n mn +-=，则m n +的最小值为__________.
【正确答案】2+2
【分析】首先将条件变形为132m n
+=，再利用“1”的妙用，结合基本不等式求m n +的最小值.【详解】因为320m n mn +-=，所以
132m n +=，0,0m n >>，
所以()113131442222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
当3n m n m =，即n =，即m =n =
所以m n +的最小值是2+
故2+16．若[]0,2πx ∈，()sin ,sin cos cos ,sin cos x x x f x x x x
≥⎧=⎨<⎩，则关于x 的方程()()()22120+-+-=f x a f x a a 恰好有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______.
【正确答案】⎫⎪⎪⎝⎭
【分析】由原方程可得()f x a =或()1f x a =-，从而得到y a =和1y a =-与()y f x =的图象共有6个不同的交点，画图可建立不等式求解即可.
【详解】由()()()22120+-+-=f x a f x a a ，得()f x a =或()1f x a =-，
因为关于x 的方程()()()22120+-+-=f x a f x a a 有6个不同的解，
所以y a =和1y a =-与()y f x =的图象共有6
个不同的交点，
由图可知11a a <<⎨⎪-<⎪⎩
1a <<，所以a
的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭
.
故2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
四、解答题
17．设全集是R ，集合{}()225|,1,A x a x a B =<<-=．
(1)若A B ⊆，求实数a 的取值范围；
(2)条件:p x A ∈，条件:q x B ∈，若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【正确答案】
(1)1a -≤≤
(2)a ≤【分析】（1）分A =∅和A ≠∅讨论，特别是A ≠∅时，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解；
（2）根据q 是p 的充分不必要条件得到B
A ，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解.
【详解】（1）若A B ⊆,
当A =∅时，22a a ≥-，解得12a -≤≤，
当A ≠∅时，222125a a a a ⎧<-⎪≥⎨⎪-≤⎩
，解得2a <≤，
综合得1a -≤≤（2）条件:p x A ∈，条件:q x B ∈，若q 是p 的充分不必要条件，
则B A ，2125
a a ≤⎧∴⎨-≥⎩且等号不能同时成立，
解得a ≤18．已知α，β为锐角，35=cos α，(
)cos αβ+=-(1)求sin2α的值；
(2)求cos β的值.
【正确答案】(1)24sin225
α=
【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；
（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】（1）因为α为锐角，35=cos α
，所以4sin 5
α===，则3424sin22sin cos 25525
==⨯⨯=ααα；（2）由于α，β为锐角，则0αβ<+<π，
又(
)()
cos sin 55
αβαβ+=-⇒+===，所以()cos cos βαβα⎡⎤=+-⎣⎦()()cos cos sin sin αβααβα=++
+3455=+=19．已知函数()()
221R f x x mx m m =+-+∈(1)若[)1,x ∈-+∞，求函数()f x 的最小值；
(2)解不等式()21f x x <+.
【正确答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置分类讨论即可；
（2）利用因式分解法，结合一元二次方程两根的大小关系分类讨论求解即可.
【详解】（1）因为函数()221f x x mx m =+-+的对称轴为2
m x =-，所以ⅰ）当12m -≥-，即2m ≤时，()2min 4824--⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
m m m f x f ，ⅱ）当12
m -<-，即m>2时，()()min 123=-=-f x f m ；（2）由()21f x x <+，可得22121x mx m x +-+<+，
即()2220x m x m +--<，所以()()20
-+<x x m 所以ⅰ）当2m =-时，不等式()21f x x <+的解集为∅，
ⅱ）当2m >-时，不等式()21f x x <+的解集为(),2m -，
ⅲ）当2m <-时，不等式()21f x x <+的解集为()2,m -.
20．已知函数9()log (91)(R)x f x kx k =+-∈是偶函数.
(1)求k 的值；
(2)若方程9()log 13x m f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
有解，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1
2(2)3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】（1）利用偶函数的性质()()f x f x -=，得到关于k 的方程，由x 的任意性可求得k 的值；
（2）先将问题转化为方程13133
x x x m +=+有解，再利用换元法将问题转化为y m =与()21g t t t =-+在()0,∞+上有交点，从而得解.
【详解】（1）因为9()log (91)(R)x f x kx k =+-∈，910x +>在R 上恒成立，所以()f x 的定义域为R ，
又因为()f x 是偶函数，所以R x ∀∈，有()()f x f x -=，
即99log (91)log (91)x x kx kx -++=+-对R x ∀∈恒成立，则9999912log (91)log (91)log log 991x x x
x x kx x --+=+-+===+对R x ∀∈恒成立，即(21)0x k -=对R x ∀∈恒成立，
因为x 不恒为0，所以12
k =.（2）由（1）得()()12
9999191()log 91log 91log 9log 23
x x x x x f x x +=+-=+-=91log 33x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则方程9()log 13x m f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有解，即方程991log 3log 133x x x m ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
有解，又因为对数函数9log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以方程13133x x x m +=+有解，令3x t =，则0t >，方程化为11m t t t
+=+，即方程21m t t =-+在()0,∞+上有解，令()21g t t t =-+，则y m =与()g t 在()0,∞+上有交点，
因为()g t 开口向上，对称轴为12
x =，所以()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()1324g t g ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以34m ≥，即3,4⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
m .
.
21．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示.
(1)写出函数()y f x =的解析式；
(2)将函数()y f x =图象上所有的点向右平移
π4
个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.当13π0,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()y g x =的单调递增区间.【正确答案】(1)()π2sin 233f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭(2)π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π13π,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.【分析】（1）根据()f x 的图象，依次求得,,,A B ωϕ的值，从而求得()f x .
（2）根据三角函数图象变换的知识求得()g x ，根据三角函数单调区间的求法求得()g x 的单调递增区间.
【详解】（1）由图可知51512,322
A B -+====，7πππ2π,π,2212122T T ωω
=-====，则()()2sin 23f x x ϕ=++，由ππ2sin 35126
f ϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得ππππsin 1,2π,2π6623k k ϕϕϕ⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭，Z k ∈,由于π2ϕ<，所以π3ϕ=，则()π2sin 233f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭.（2）()y f x =图象上所有的点向右平移π4
个单位长度，得到πππ2sin 232sin 23436y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，将所得图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得到()π2sin 436g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，当13π0,24x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，ππ4,2π66x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
，所以当πππ4662
x -
≤-≤以及3ππ42π26x ≤-≤时函数单调递增，即()g x 单调递增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π13π,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22．已知函数()f x ，若在其定义域内存在实数0x 和t ，使得()()()00f x t f x f t +=+成立，则称()f x 是“t 跃点”函数，且称0x 是函数()f x 的“t 跃点”.
(1)求证：函数()23x f x x =+是“1跃点”函数；
(2)若函数()323g x x ax =--在()0,∞+上是“1跃点”函数，求实数a 的取值范围；
(3)是否同时存在实数m 和正整数n ，使得函数()cos2=-h x x m 在[]0,n π上有2023个“
6
π跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m 和n ，若不存在，请说明理由.
【正确答案】(1)证明见解析(2)9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(3)32m =或12-，2023n =；1m =，1011n =；【分析】（1）根据题意令0
0000()(1)()(1)2323x F x f x f x f x =+--=⋅+-，利用零点存在定理即可证明；（2）由题意可得2(1)()(1)3(32)30g x g x g x a x +--=+-+=，可整理得13(33)2a x x
=⨯++，然后用基本不等式求解即可；
（3）根据题意可得到1πsin 226m x ⎛⎫-=+ ⎪⎝
⎭，然后依据112m -=或1-，1122-=m ，11122-<-<m 或11122
<-<m ，分类讨论求解即可.【详解】（1）()()002
1200001313321
x x f x x x x ++=++=⋅+++，所以()02003x f x x =+，()14f =，令()()()()00000112323x F x f x f x f x =+--=⋅+-，
因为()010F =-<，()150=>F ，所以由零点存在定理可得()00F x =在[]0,1有解，
所以存在[]00,1x ∈，使得()()()0011f x f x f +=+，
即函数()23x f x x =+是“1跃点”函数.
（2）由题意得()()()11+--g x g x g ()()32
3211332=+-+--++++x a x x ax a ()233230=+-+=x a x ，
因为()0,x ∈+∞，所以1319333222
⎛⎫⎛⎫=⨯++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a x x ，
当且仅当1x =取等号，所以a 的取值范围为9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.（3）()ππππcos 2cos 2cos 06633h x h x h x m x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+--+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，即1πsin 226m x ⎛⎫-
=+ ⎪⎝
⎭，令πππ22π666x n μ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，即1sin 2-=m μ在ππ,2π66n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上关于μ要有2023个解；①当112m -
=或1-时，即32m =或12-时，2023n =；②当1122
-=m ，即1m =时，1011n =；③当11122-<-
<m 或11122<-<m ，即112m -<<或312m <<时，方程1sin 2
-=m μ关于μ在每个周期内有两个解，故不可能满足有2023个解，综上，32m =或12-，2023n =；1m =，1011n =.方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。