1.1命题及其关系(文科重点班)

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命题及其关系

命题及其关系知识点：1. 命题:1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类：真命题假命题 1.3 关系：原命题逆命题:对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.若原命题为“若p ，则q”，它的逆命题为“若q ，则p”否命题:对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题若原命题为“若p,则q”，则它的否命题为“若 p ，则 q”逆否命题：对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个命题称为互为逆否命题若原命题为“若，则 ”，则它的逆否命题为“若，则 ” 1,4 四种命题的真假性：(有且仅有一下四种情况)原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假规律：1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系2. 充分必要条件： 2.1 概念：若p q ⇒,则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．全称量词：“∀” 短语“对所有的”、“对任意一个"在逻辑中通常称为全称量词存在量词：“∃” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词全称命题：含有全称量词的命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ” 特称命题:含有特称量词的命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．2.2 命题之间关系： 1）“且" p q ∧ 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时,p q ∨是假命题 3）“非” p ⌝若p 是真命题,则p ⌝必是假命题若p 是假命题，则p ⌝必是真命题2。

1.1命题及其关系

命题及其关系【学习目标】1、掌握命题、真命题及假命题的概念；2.四种命题的内在联系，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命题和逆否命题.【重点难点】重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假。

【学法指导】自主探究，小组合作。

【导学流程】一、基础感知导入：阅读课本第2页（1）若直线//a b，则直线a和直线b无公共点；（2）247+=（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若21x=，则1x=；（5）两个全等三角形的面积相等；（6）3能被2整除.二、深入学习探究1.命题的概念：定义：在数学中,我们把用、、或表达的，可以的叫做命题.分类：的语句叫做真命题，的语句叫做假命题探究2.命题的数学形式:形式：“若p，则q”命题中的p叫做命题的，q叫做命题的.探究三.四种命题:（1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的原命题为：“若p，则q”，则逆命题为：“”.(2)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“”（3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p ，则q ”，则逆否命题为：“” 相互关系：真假关系：否命题三、迁移运用例1．下列语句中哪些是命题是真命题还是假命题（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a 是素数，则a 是奇数；（3）指数函数是增函数吗（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行；（52=；（6）15x >.命题有，真命题有假命题有.例2.指出下列命题中的条件p 和结论q ：（1）若整数a 能被2整除，则a 是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分.练习：把下列命题写成“若P ，则q ”的形式，并判断各命题的真假（1）面积相等的两个三角形全等.（2）负数的立方是负数.（3）对顶角相等.例3.命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若,a b c d ==，则a c b d +=+”.写出逆命题、否命题、逆否命题.例4.以“若2320xx -+=，则2x =”为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假并总结其规律性.练习：判断下列命题的真假：(1)命题“在ABC ∆中，若AB AC >，则C B ∠>∠”的逆命题；（2）命题“若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠”的否命题；（3）命题“若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠”的逆否命题；（4）命题“若0a ≠且0b ≠，则220ab +>”的逆命题. 例5、证明：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2．四.当堂检测1.把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断它们的真假： (1)等腰三角形两腰的中线相等；(2)偶函数的图象关于y 轴对称；(3)垂直于同一个平面的两个平面平行.2.如果x 2＝1，则x ＝1的否命题为3.命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是4.已知命题：“若m>0，则方程2+-=x x m o 有实根”，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.五．课堂小结六．课外作业：优化设计。

1.1命题及其关系 1.1.1命题

模块纵览课标要求在本模块中，学生将学习常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间矢量与立体几何，在这三章中要求学生做到：1．在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，从而更好地进行交流．2．在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，结合已学过的曲线与其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想．3．空间矢量为处理立体几何问题提供了新的视角，空间矢量的引入为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具．在学习平面矢量的基础上，把平面矢量及其运算推广到空间，运用空间矢量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会矢量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力．内容概述本模块第一章的主要内容是介绍——1.1命题及其关系、1.2充分条件与必要条件、1.3简单的逻辑联结词、1.4全称量词与存在量词．在本章引言中简要阐述学习常用逻辑用语的意义的基础上，在各节中介绍了命题、真命题、假命题、命题的条件和结论等基本概念以及原命题、逆命题、否命题、逆否命题的概念，归纳了四种命题之间的关系，借助互为逆否的命题具有相同的真假性，判断命题的真假，还简明扼要地介绍了充分条件、必要条件和充要条件，对于简单的逻辑联结词“且”“或”“非”，规定了判断由它们联结得到的新命题真假的法则，最后，简要介绍全称量词、存在量词以及含有一个量词的命题的否定．本模块第二章的内容主要分成两部分：曲线与方程、圆锥曲线的方程及其简单几何性质．要建立椭圆、双曲线、抛物线的方程，一方面，要建立适当的坐标系，了解曲线上的点所满足的几何条件，写出这条曲线上的点的集合，然后把动点坐标代入，化简后得到方程；另一方面，还要注意检查以这个方程的解为坐标的点是否在曲线上，即是否满足这个几何条件．通过方程研究曲线的性质是几何的主要内容．圆锥曲线的几何性质的研究是通过它列的方程展开的，这体现了解析几何通过代数方法研究几何图形性质的特点．这种思想方法应该贯穿于整个解析几何的教学当中．直线与圆锥曲线的位置关系的问题，反映在代数上就是它列的方程组成的方程组有无实数解的问题，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个公共点，方程组没有实数解，直线与圆锥曲线就没有公共点．本模块第三章的主要内容有空间矢量及其运算、立体几何中的矢量方法．空间矢量及其运算包括空间矢量的定义、空间矢量的加减运算、空间矢量的数乘运算、空间矢量的数量积运算、空间矢量的正交分解及其坐标表示、空间矢量运算的坐标表示等内容．注意让学生经历矢量由平面到空间推广的过程，体会其中的数学思想方法：类比与归纳，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，以及如何解决这些问题．“立体几何中的矢量方法”介绍了如何利用空间矢量表示点、直线、平面的位置关系，进而利用空间矢量研究空间直线与平面的平行、垂直、夹角、距离等，并通过解决立体几何问题，给出了利用空间矢量解决立体几何问题的“三部曲”．教学建议教学中要更加注意基本数学思想方法的教学，并努力使内容反映的思想方法显性化，及时提醒学生注意函数(方程)思想、优化思想、类比、归纳、对称、数形结合等思想方法的使用．常用逻辑用语的教学要重视命题、四种命题及其相互关系、充分条件、必要条件和充要条件的条件与结论，简单逻辑联结词的教学要通过学生熟悉的实例讲授，体会运用逻辑用语表述数学内容的准确性和简洁性，避免学生对这三个常用逻辑联结词的含义和用法的机械记忆与抽象解释．全称量词与存在量词的教学要通过丰富的实例使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词的含义，教会学生会判断含有一个量词的全称命题和含有一个量词的特称命题的真假；会正确地写出这两类命题的否定．圆锥曲线与方程的教学要通过初中所学简单的实例(如圆、角平分线)体会曲线与方程的关系，圆锥曲线的产生过程一定要充分展示，分析圆锥曲线上的点所满足的几何条件，从而为坐标系的选择和圆锥曲线方程的建立奠定基础，同时要注意类比思想方法的运用．在条件许可的情况下，可以在信息技术的帮助下进行，效果可能会更好．空间矢量与立体几何的教学要注意空间矢量分解定理的讲解，因为它是立体几何研究数量化的基础，要让学生在空间中一步步地验证运算法则和运算律，培养学生的空间观念，立体几何中的矢量方法，要通过例题的教学使学生对立体几何中的矢量方法的认识得到进一步的提高，提高抽象概括能力．本模块约需38课时，具体分配如下，仅供参考．第一章常用逻辑用语约10课时第二章圆锥曲线与方程约16课时第三章空间矢量与立体几何约12课时第一章常用逻辑用语本章概览教材分析正确的使用逻辑用语是现代社会应该具备的基本素质．无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确的运用逻辑用语表达自己的思维．在本章中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确的表达数学内容，从而更好地进行交流．通过本章的教学，使学生学会准确表达数学内容，形成自觉的利用逻辑知识对一些命题的逻辑关系进行分析和推理的意识，发展学生利用数学语言准确的描述、表达问题，规范简洁的阐述论证过程的能力．课标要求1．命题及其关系(1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题间的相互关系．(2)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．简单的逻辑联结词通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．3．全称量词与存在量词(1)通过生活和数学中的实例，理解全称量词与存在量词的意义．(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学建议1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，重点关注四种命题的相互关系和充分条件、必要条件、充要条件．2．应通过具体实例，使学生了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，学会用它们正确的表述相关内容，要避免抽象的讨论．3．对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们形式化的定义，在教学中，应通过生活和数学中的实例，理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．4．注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握逻辑用语的用法，纠正出现的错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性和简洁性，避免对逻辑用语的机械记忆和抽象表示．课时分配1.1命题及其关系1．1.1命题整体设计教材分析命题是逻辑学的基础知识，数学学科包含了大量的命题．了解命题的概念，对于掌握具体的数学学科知识有很大帮助．教材的设计与学生已学知识密切联系，使学生在复习旧知识的同时学习新知识，学以致用，体现了数学学科特有的连续性及知识的环环相扣特点．并能使学生对已学过的数学知识系统化、明晰化．教材内容从小处入手，以基础题目作为引例，使学生可以更快地进入角色，避免空泛地讲解数学知识，枯燥无味，能促进知识、方法、思维和情感的融合，能让学生充分体会数学的魅力．课时分配1课时教学目标知识与技能了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式；体会命题的逻辑性．过程与方法通过学生对命题的判定，总结命题的概念，培养学生的自主学习能力；引导学生学习判断命题的真假性，复习巩固以前所学内容，提高学生掌握知识的牢固性和熟练程度；教会学生改写命题，能从新知识的角度解释所学内容，提高学生对旧知识的理解程度．情感、态度与价值观培养学生严谨缜密的思维习惯，深化学生对数学意义的理解，激发学习兴趣，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；通过探究学习培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．重点难点教学重点：命题的改写．教学难点：命题概念的理解．教学过程引入新课提出问题下列语句的表达形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；(2)2＋4＝7；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)若x2＝1，则x＝1；(5)两个全等的三角形面积相等；(6)3能被2整除．活动设计：先让学生根据以前所学知识进行思考，然后小组讨论交流，教师巡视指导，并注意与学生的交流和指导．学情预测：学生可能认为这些知识较为简单，能较轻松地完成判断．教师提问：这些语句的表达形式有何特点？它们的正确性如何？学情预测：学生能判定出它们都是陈述句，(2)(4)(5)(6)可以能正确判定，(1)(3)可能会出错．活动结果：这些语句都是陈述句，其中语句(1)(3)(5)为真，语句(2)(4)(6)为假．设计意图：通过以前所学知识，自然合理的提出问题，使学生消除对新知识的陌生感，能够更快的理解和接受新知识；同时，也可以从问题中突破本节课的难点——命题概念．探究新知一、通过学生对上述问题的探究、求解，自行总结得到命题的定义．提出问题：你认为什么是命题？(学生自由发言)活动设计：先让学生根据以前所学知识进行思考，然后学生自由发言，教师根据回答情况，及时加以正确的引导．学情预测：学生的回答多种多样，但并不能用严格规范的语言来叙述问题，还有很多同学感觉到问题虽然很简单，但表达不出自己的见解，不知从何下手．活动结果：在教师的启发和引导下，学生逐步认识到，要给命题下定义需从两个方面入手，一方面是表达形式有何特点，另一方面是它的正确性如何．设计意图：在这一教学过程中，逐步培养学生归纳总结的能力及用数学语言准确表达问题的能力．二、形成概念命题的概念：一般的，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题；判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(教师板书) 注意：命题首先是一个陈述句，其次可以判定真假，只有这两个条件都具备，才可以称这个语句为命题．提出问题问题1：看下面几个语句，判断其是否为命题，若是命题，判断真假．(1)3>12吗？(2)8是24的约数；(3)x2≠4；(4)正弦函数不是周期函数．活动设计：通过以上四个语句的判定，使学生对命题概念中的关键词能够透彻理解．学情预测：学生可以看出语句(2)(4)是命题，而(1)(3)不是命题．问题2：根据你的判断，你认为命题概念中应该注意哪些条件？学情预测：学生不一定把这两个条件说的简练，但可以说出大体意思．活动成果：判定一个语句是否为命题需满足两个条件：①陈述句，②可判断真假；另一个需要注意的问题是：假命题也是命题．设计意图：通过对这四个语句的判断，加强学生对命题概念的理解，并能掌握定义中的关键词，从而纠正对定义理解的偏差．并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题，一般来说疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.问题3：你能举出一些命题的例子吗？并判断它们的真假．(学生自由发言)设计意图：通过这个活动，可以极大地调动学生自主学习的积极性，并在活动中加深对命题概念的理解．理解新知教师举例：偶函数的图象关于y轴对称．提出问题问题1：上述命题中的条件和结论分别是什么？学情预测：学生可以把这句话的条件和结论很轻松地说出．活动成果：(板书)也就是说我们可以把此命题写成“若条件则结论”的形式，即为：若一个函数是偶函数，则它的图象关于y轴对称．我们可以用p表示条件，用q表示结论，所以命题可以写成“若p，则q”的形式．问题2：把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．①等腰三角形两腰上的中线相等；②垂直于同一个平面的两个平面平行；③矩形的对角线相等．活动设计：先请学生以小组为单位集体讨论这三个命题，然后分别请三位学生到黑板上板演，并请其他小组成员对这三位同学的结果进行评价．学情预测：学生虽然可以找到条件和结论，但是语言叙述并不是太流畅，“若p，则q”的形式可能比较生硬．活动成果：①若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两腰上的中线相等．真命题②若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行.假命题③若一个四边形是矩形，则它的对角线相等．真命题教师：注意“若p，则q”的形式也可以写成“如果p，那么q”“只要p，就有q”的形式．设计意图：最大限度的让学生成为课堂的主人，使学生从被动学到主动学，愉快地接受新知识，在共同的学习中更深入的理解所学知识．并让学生表现出自身存在的缺点和不足，及时给予纠正．运用新知1判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？(1)空集是任何集合的子集；(2)若整数a是素数，则a是奇数；(3)指数函数是增函数吗？(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；(5)(－2)2＝2；(6)x>15.思路分析：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．解：上面6个语句中，(3)不是陈述句，所以它不是命题；(6)虽然是陈述句，但因为无法判断它的真假，所以它也不是命题；其余4个都是陈述句，且都可以判断真假，所以它们都是命题，其中(1)(5)是真命题，(2)(4)是假命题．点评：通过本题，使学生加深对命题概念的理解．巩固练习判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？1．奇函数的图象关于原点对称；2．平行四边形的对角线相等吗？3．0不是偶数．答案：1.是命题，是真命题；2．不是命题；3．是命题，是假命题．2指出下列命题中的条件p和结论q：(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．思路分析：命题“若p，则q”的形式中，p一定是条件，q一定是结论．解：(1)条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a是偶数；(2)条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分．点评：本题主要是使学生熟悉命题的“若p，则q”形式．巩固练习将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)负数的立方是负数；(3)对顶角相等．答案：(1)若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．(假命题)(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数．(真命题)(3)若两个角是对顶角，则这两个角相等．(真命题)达标检测1．判断下列语句是命题吗？(1)若a为正无理数，则a也是无理数；(2)x∈{1,2,3,4,5}．2．把下列命题改写成“若p，则q”形式，并判断真假．(1)实数的平方是非负数；(2)对角线互相垂直平分的四边形是正方形．答案：1.(1)是命题．因为该语句是陈述句，且可判断真假．(2)不是命题．因为该语句不能判断真假．2．(1)若一个数是实数，则这个数的平方是非负数；真命题．(2)若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是正方形；假命题．课堂小结1．知识收获：命题，命题的表达形式．2．方法收获：举一反三，旧知新用．3．思维收获：能站在另一个层面重新审视已学知识．布置作业1．本节练习1,2；2．实习作业：选择一本必修课本，找出某一章中的内容，将其中的结论用命题的思维方式判定和改写．补充练习基础练习1．下面语句中，是命题的为()A．x2＋1>0，x∈R B．函数y＝x2是偶函数吗？C．a2＝aD．平行四边形2．下面的命题中，是真命题的为()A．若一个四边形的对角线互相平分，则该四边形为正方形B．集合M＝{x|x2＋x<0}，N＝{x|x>0}，则C．若a2＋b2≠0，则a，b不全为零D．x2＋x＋1<0，x∈R3．命题“若x＋y≥5，则x≥2且y≥3”的结论是()A．x＋y≥5B．x≥2C．y≥3D．x≥2且y≥34．“两个全等三角形的面积相等”改写为“若p，则q”的形式为________．5．命题“6是自然数且是偶数”的结论是________．答案：1.A 2.C 3.D4．若两个三角形全等，则它们的面积相等5．是自然数且是偶数拓展练习6．把下列命题改写为“若p，则q”形式，并判断真假．①等底等高的两个三角形是全等三角形；②被6整除的数既能被3整除又能被2整除．答案：①若两个三角形等底等高，则它们是全等三角形．假命题②若一个数能被6整除，则它既能被2整除又能被3整除．真命题设计说明设计思想本节课主要突出命题的概念，从学生原有的知识出发，在不断的探究讨论过程中得到新的知识结论．本节主要以学生的自行讨论总结为主，教师辅以说明和解释．设计意图给学生一个自由的发挥空间，使其在开放的、有个性的气氛中学习知识．教师不可以忽略学生自身的能力，要敢于让学生探讨，虽然他们得到的结论不一定正确、严密，但在老师的指导和纠正下，终究可以得到正确的结果，而且在这一学习过程中，学生对所学知识的印象会更加深刻．设计特点本节课的设计思路就是以学生的原有知识为基础，在此基础上找到它们所拥有的共同点，加以提炼，最终得到新结论的过程．在此过程中，基础题目就变成了本节课的主线，而学生对这些知识已经早有接触，自认为比较容易．基于这些特点，本节课完全可以放手让学生自己探究讨论，完成最后的结论．所以本节课最大的特点就是学生的自主学习．备课资料备选例题1下列语句是命题的有________．(1)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(2)一个数不是正数就是负数；(3)大角所对的边大于小角所对的边；(4)x＋y为有理数，则x，y也都是有理数．思路分析：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．解：先根据命题的概念，判断是否是命题，若是，再判断真假．答案：(2)(3)(4)点评：应该指出：①并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的陈述句才是命题；②在数学或其他科学技术中，还有一类陈述句经常出现，如“每一个不小于6的偶数都是两个奇质数之和”“在2020年前，将有人登上火星”等，虽然目前还不能确定这些语句的真假，但是随着科学技术的发展与实践的推移，总能确定它们的真假，人们把这一类猜想仍然算为命题．2把下列命题改写成“若p，则q”的形式．(1)末位是0的整数，可以被5整除；(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；(3)等式两边都乘以同一个数，所得结果仍然是等式．思路分析：要准确写出命题的“若p，则q”形式，必须理解好命题，找准条件和结论，再用通顺的文字语言连接起来．解：(1)若一个整数的末位是0，则它可以被5整除；(2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等；(3)若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式．点评：找准命题的条件和结论，是解这类题目的关键．3把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当ac>bc时，a>b；(2)已知x，y为整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m>14时，mx2－x＋1＝0无实根；(4)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1.思路分析：找准命题的条件和结论，改写时要注意大前提的写法．解：(1)若ac>bc，则a>b；假命题．(2)已知x，y为整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2；假命题．(3)若m>14，则mx2－x＋1＝0无实根；真命题．(4)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1；真命题．点评：数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述适当改写，也可以写成“若p，则q”的形式．(设计者：王丽丽)。

1.1.1命题及其关系

【即时训练】已知x,y为正整数，当y=x+1时， y=3且x=2.试写出该命题的条件和结论. 【解析】根据题意，“若p,则q”的形式为：已知x,y为正整数，若y=x+1,则y=3且x=2. 其中条件p:y=x+1，结论q:y=3且x=2.
例3. 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并
判断真假：
（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；
（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等。
P4 3
（1）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条
直线平行。它是假命题；
（2）若一个数是负数，则这个数的立方是负数。
它是真命题；
（3）若两个角是对顶角，则这两个角相等。
三、命题的形式 “若p,则q”
P
命题的条件；q
命题的结论
例2 指出下列命题中的条件p和结论q：
（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；
P
q
（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相
垂直且平分.P
q
（1）P:整数a能被2整除，q:整数a是偶数.
(2) P:四边形是菱形，q:四边形的对角线互相垂直且平分.
P8 A1
二、命题的分类
P4 2
判断为正确的语句叫做真命题;
判断为错误的语句叫做假命题。
注：对命题真假的理解与判断方法
一个命题要么是真的，要么是假的，不能模棱两可，要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可，而要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证.在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断.数学中的定义、定理、公理和公式都是真命题.
1.1.1 命题
一、命题的概念
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题。

1.1命题及其关系 1.1.2四种命题

1.1.2四种命题整体设计教材分析本节依次介绍了四种命题：原命题、逆命题、否命题和逆否命题．命题“若p，则q”反映了条件p对于结论q的因果关系．为了更深入的掌握p与q之间的关系，往往不仅研究原命题“若p，则q”，而且还要研究它的各种形变．要注意的是，对于一个一般的数学命题，由于命题的条件和结论可能未清楚的给出，写出其逆命题就是一个容易混淆的问题．在此，只要求考虑明确地给出条件和结论的命题．课时分配1课时教学目标知识与技能让学生理解四种命题的概念，掌握命题的表示形式．能写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题．过程与方法通过实例分析及类比方法进行探索研究．提高学生分析问题、解决问题的能力，让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识．情感、态度与价值观增强数学美学意识，培养唯物主义世界观．重点难点教学重点：逆命题、否命题、逆否命题的概念及写法．教学难点：不容易区分条件和结论的简单命题和较复杂的命题(一个条件多个结论型的命题和多个条件一个结论型的命题)的逆命题、否命题和逆否命题的改写方法．教学过程引入新课请听故事(多媒体)歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高兴地往前走，一边大声说道：“我从来不给傻子让路！”而对如此尴尬的局面，歌德只是笑容可掬，谦恭地闪在一旁，一边有礼貌地回答道：“呵呵，我可恰相反．”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣．同学们能分析此故事中歌德与批评家的言行语句吗？活动设计：学生独立思考，然后小组交流．学情预测：学生容易分析出歌德的语句含义：(1)我给傻子让路；(2)批评家是傻子；(3)我给批评家让路．教师提问：批评家的语句含义是什么？学情预测：学生会很快给出结果：(1)我不给傻子让路；(2)歌德是傻子；(3)我不给歌德让路．教师：同学们分析得很好．设计意图：通过创造愉悦的情景，使学生了解逻辑在生活中的应用，引起学生的学习兴趣，在轻松欢快的气氛中探索问题，解决问题．探究新知请同学们观察下面四个命题：命题(1)：若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；命题(2)：若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；命题(3)：若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；命题(4)：若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．提出问题问题1：命题(1)(2)的条件、结论有何关系？活动设计：鼓励先完成思考的同学将结果和全班同学交流，其他学生补充．学情预测：课堂宁静，学生在积极思考，片刻，有学生举手回答且回答准确．活动结果：命题(2)的条件是命题(1)的结论，而命题(2)的结论恰好是命题(1)的条件．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，则称这两个命题为互逆命题；如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆命题，如把(1)命题叫做原命题，则(2)叫做它的逆命题．这样一来，将一个已知命题的条件和结论互换，就可以得到一个新的命题，它是已知命题的逆命题.注：1.互逆命题有几个命题？2．怎样理解“互”？互就是互相的意思．我们回顾一下，哪些概念中也出现过“互”？互为倒数，互为相反数；例如：2与－2互为相反数，就是指2的相反数是－2，－2的相反数是2，这里的“互”也是一样的意思．命题②是命题①的逆命题，命题①是命题②的逆命题．设计意图：在具体实例分析的基础上进行抽象提炼，使学生掌握逆命题的概念．问题2：同学们再观察(1)和(3)的条件、结论有何关系？活动设计：学生观察、归纳、概括，发表自己的看法.学情预测：学生在积极思考，片刻，有学生举手回答且回答准确．活动结果：在命题(1)与命题(3)中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称互否命题，把其中一个称为原命题，另一个就是原命题的否命题．如，把命题(1)称为原命题，那么命题(3)就是它的否命题．设计意图：在具体实例分析的基础上进行抽象提炼，使学生掌握否命题的概念．同学们继续观察命题(1)(4)的条件与结论的关系．活动设计：学生观察、归纳、概括，发表自己的看法.学情预测：学生积极思考，片刻，有学生举手回答且回答准确．活动结果：在命题(1)和(4)中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．设计意图：在具体实例分析的基础上进行抽象提炼，使学生掌握逆否命题的概念．问题3：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q 的否定，同学们能写出命题的四种形式吗？活动设计：鼓励学生独立思考，教师引导，个别交流，培养学生的自主探索意识，合作学习的精神；推举代表叙述结论并板演，其他同学补充．学情预测：给学生思考的空间，让学生自主探索，有的同学回答不完全正确，有的同学回答完全正确．活动结果：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若p，则q ；逆否命题：若q ，则p.设计意图：教科书给出了典型的具有互逆、互否、互为逆否关系的四个命题，学生通过观察，对于四种命题有一个初步的认识，有利于后继内容的教学．理解新知问题4：1.举出一些互逆命题的例子，并判断原命题与逆命题的真假.2.如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？活动设计：一学生举例，另一学生说出逆命题，并判断命题的真假．教师强调要分清条件和结论，把原命题写成“若p，则q”的形式．学情预测：学生的回答多种多样，有的同学可能举出不是命题的例子．活动结果：学生举出了很多例子，如：1.命题“若a>b，则b<a”的逆命题为若b<a，则a>b.2.命题“中国北京是2008年奥运会的举办城市”的逆命题为2008年奥运会的举办城市是中国北京.3.命题：“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”．并得出结论：若原命题是真命题，则它的逆命题不一定是真命题．设计意图：通过举例让学生掌握逆命题的概念，能求一般命题的逆命题．问题5：1.举出一些互否命题的例子，并判断原命题与否命题的真假.2.如果原命题是真命题，那么它的否命题一定是真命题吗？活动设计：一学生举例，另一学生说出否命题，并判断命题的真假．教师在练习中重复否命题的概念，强调分清条件和结论，把原命题写成“若p，则q”的形式．教师也可给出一些例子让学生回答，如：“平行线相交”的否命题是“平行线不相交”吗？学情预测：学生的回答多种多样，有的同学可能举出不是命题的例子．活动结果：学生举出了很多例子，如：1.命题：“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”.2.命题“对顶角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角是对顶角，则这两个角相等．它的否命题为：不是对顶角的两个角不相等.3.命题“在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若b2－4ac≥0，则该二次函数的图象与x轴有公共点”的否命题为：在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若b2－4ac<0，则该二次函数的图象与x轴没有公共点．注：指出“≥”的否定是“<”．并得出结论：若原命题是真命题，则它的否命题不一定是真命题．设计意图：通过举例让学生掌握否命题的概念，能求一般命题的否命题．问题6：1.举出一些互为逆否命题的例子，并判断原命题与逆否命题的真假.2.如果原命题是真命题，那么它的逆否命题一定是真命题吗？活动设计：一学生举例，另一学生说出逆否命题，并判断命题的真假．教师强调要分清条件和结论，把原命题写成“若p，则q”的形式．学情预测：学生的回答多种多样，有的同学可能举不出例子．活动结果：学生举出例子，如：1.命题“三角形的内角和等于180°”写成“若p，则q”的形式为：若一个图形是三角形，则它的内角和等于180°.它的逆否命题为：内角和不等于180°的图形不是三角形．2．命题“正方形的四条边相等”的逆否命题为：四条边不相等的四边形不是正方形．并得出结论：若原命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题．设计意图：通过举例让学生掌握逆否命题的概念，能求一般命题的逆否命题．运用新知1写出命题“负数的平方是正数”的逆命题、否命题与逆否命题．思路分析：解答本题应先分清命题的条件和结论，改写成“若p，则q”的形式，再写出它的逆命题、否命题与逆否命题．解：原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．点评：这一类题型的基本步骤是：原命题→改写成“若p，则q”形式→写出p，q→得逆命题，否命题，逆否命题．巩固练习1．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1答案：D2写出命题“若a和b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆命题、否命题和逆否命题．思路分析：(1)“a和b都是偶数”是条件，“a＋b是偶数”是结论．(2)“a和b都是偶数”的否定包含三种情况，“a是偶数，b不是偶数”或“a不是偶数，b是偶数”或“a不是偶数，b也不是偶数”．所以综合起来它的否定即为“a和b不都是偶数”．解：逆命题为：若a＋b是偶数，则a和b都是偶数；否命题为：若a和b不都是偶数，则a＋b不是偶数；逆否命题为：若a＋b不是偶数，则a和b不都是偶数．点评：本例是两个条件一个结论的类型，让学生了解“且”的否定是“或”．变练演编变式1、写出命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆命题、否命题和逆否命题．变式2、写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．变式3、写出命题“若x，y都是奇数，则x＋y是奇数”的否命题．变式4、自己写出一个命题，并写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题．活动设计：学生思考，很快发现和例2是同一实质，可用同样的方法解决．活动成果：变式1、逆命题为：若a＝0或b＝0，则ab＝0；否命题为：若ab≠0，则a≠0且b≠0；逆否命题为：若a≠0或b≠0，则ab≠0.变式2、逆命题为：若x，y全为零，则x2＋y2＝0；否命题为：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零；逆否命题为：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0.变式3、若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数．变式4、答案不唯一，要注意学生写的是否是命题．设计意图：给学生提供相对复杂的问题，在探讨中使思维更严谨，视野更开阔．变式4通过让学生自己设计命题，激发学生的潜能，培养学生的发散思维能力和创新意识．达标检测1．填空：(1)命题“线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是________________________________．(2)命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是_______________________________________________________________________．(3)命题“若xy≠0，则x≠0且y≠0”的逆否命题为__________________．(4)把命题“弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对应的弧”写成“若p，则q”的形式为____________________________．2．把命题“等式的两边都乘以同一个数，所得的结果仍是等式”写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆否命题．1．答案：(1)与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上(2)圆的切线到圆心的距离等于圆的半径(3)若x＝0或y＝0，则xy＝0(4)若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧2．解：原命题为“在等式的两边分别乘以一个数，若这两个数是同一个数，则所得的结果是等式”或“在一个式子两边都乘以同一个数，若这个式子是等式，则所得的结果是等式”或“若一个式子是等式且两边都乘以同一个数，则所得的结果为等式”相应的逆否命题分别为“若等式两边乘以一个数所得的结果不是等式，则这两个数不相同”或“若在一个式子两边都乘以同一个数，所得的结果是不等式，则这个式子是不等式”或“若一个式子两边分别乘以一个数，所得的结果是不等式，则这个式子是不等式或两边乘的不是同一个数”．课堂小结1．知识收获：四种命题的概念；命题的逆命题、否命题、逆否命题．2．方法收获：类比方法．3．思维收获：类比思想．布置作业1．课本本节练习2．课本习题1.1A组2,3补充练习基础练习1．命题“若a>b，则a－5>b－5”的逆否命题是()A．若a<b，则a－5<b－5 B．若a－5>b－5，则a>bC．若a≤b，则a－5≤b－5 D．若a－5≤b－5，则a≤b2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．以上均不对3．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题4．命题“△ABC中，如果∠C＝90°，那么c2＝a2＋b2”的逆否命题是________．答案：1．D 2.A 3.C4．△ABC中，如果c2≠ a2＋b2，那么∠C≠90°.(注：“△ABC中”是大前提，在写这类命题的逆命题、否命题和逆否命题时，一般保持不变)拓展练习5．小红、小芳、小新三个同学中有一个帮助生病的小青补好了笔记，当小青问起谁干的好事时，小红说：“小芳干的”，小芳说：“不是我干的”，小新说“也不是我干的”．如果知道三个人中有两人说假话，有一人说真话，能判断是谁做的好事吗？6．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数答案：5.小新做的 6.B设计说明设计思想使学生在学习的过程中，体会数学的应用意识，增强用数学的意识，提高学生分析问题解决问题的能力．设计意图高中数学学习过程，是知识与技能形成的过程，是体验过程掌握方法的过程，更是获得正确的人生观与价值观的过程．设计特点在新课程理念的指导下，从学生的学习实际和需要出发，以促进学生“怎样有效地学”为设计核心，重点解决学生“学什么”“怎么学”“学到什么程度”“采用什么方式学”等问题，并使学生在课堂上带着一定的情感、态度、价值观去主动地学习、主动地发展．备课资料当代逻辑的新领域——制约逻辑二千三百年前，古希腊的伟大思想家亚里士多德(Aristotelés前384～前322年)以《工具论》创立了传统形式逻辑，为逻辑发展史树起了第一座丰碑．从19世纪中叶到20世纪初，经过英国数学家布尔、德国数学家弗雷格、英国哲学家、数学家罗素等人接连不断的努力，吸收莱布尼兹的成果，建立了后来作为电子计算机理论基础的“正统数理逻辑”的现代公理系统，这是逻辑学发展史上的第二座里程碑.1968年，中国形式逻辑研究会理事、北京开关厂工程师林邦谨创立了一门新的逻辑学说——制约逻辑，向前两座丰碑提出了挑战.1978年，在我国逻辑学界元老沈有鼎教授的举荐下，经华裔美籍逻辑学家王浩教授推荐，林邦谨在美国数学会刊物《文摘》上发表论文《制约逻辑简介》.1985年12月，林邦谨的专著《制约逻辑》在国内正式出版．制约逻辑独树一帜，震动了逻辑学界，引起了国内外学者的关注.制约逻辑是传统的形式逻辑与正统数理逻辑(现代逻辑)有机结合的产物，它运用现代逻辑提供的严格精密的数学方法，去构造一个能确切地体现传统形式逻辑的深刻正确的主导思想的非正统的逻辑制约系统．林邦谨认为，传统形式逻辑密切结合人类普通思维和自然语言实际，把从已知进入未知的推理格式作为自己的主要研究对象，坚持贯彻不许循环论证，这是它的深刻而正确的主导思想．但它对一些极简单的推理却不能从理论上加以分析，演算技术也十分简陋、陈旧，远不能满足现代的需要．正统数理逻辑系统地采用了现代数学方法，论证严谨，演算精密，但它却舍弃了推理格式中起决定作用的非数学的逻辑含义这一精髓，将其处理成真值函数、个体—真值函数关系，因而远离了传统形式逻辑的主导思想．林邦谨大胆地综合融汇了上述两种逻辑的优点而摈弃二者之缺陷，创造出自外于传统两家的新逻辑体系——制约逻辑学说，即继承形式逻辑的正确主导思想和有效的推理格式，并采用数理逻辑所提供的数学方法来处理科学研究和社会生活中的各种逻辑问题．它是久盛不衰的传统形式逻辑的现代发展.制约逻辑学说指出，制约关系就是刻划清楚后的充分条件关系．制约关系事实上构成了传统形式逻辑中可据以进行不循环论证的推理格式的理论核心：推理式的前后件之间必定满足普遍有效的制约关系，而在前件或后件中也必定出现制约关系．制约逻辑体系由语义学、语构学、语用学三者组成．制约逻辑语义学研究客观世界的逻辑结构和逻辑规律，而以其中的客观的制约关系和有关制约关系的客观的逻辑规律为主要研究对象．制约逻辑语构学研究刻划客观的逻辑结构和规律的表意的人工符号的机械的排列结构和变形规则．制约逻辑语用学研究在指谓同一的原则下符号语言与自然语言的互相翻译．总的说来，制约逻辑所研究的领域是：现实世界对象域上的个体、集、一元或多元函数、一元或多元关系、关系间的真值函数关系、关系间的充分条件(即制约) 关系，和上述种种关系的客观规律，以及它们在意识中的反映——概念(词)、命题和推理．其中，制约(充分条件)关系为研究核心．(设计者：李海水)。

1.1.1 命题及其关系1

课题内容命题及其关系（1）教学目标分析知识与技能1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p ，则q ”的形式.2.学生通过学习掌握原命题、逆命题、否命题、逆否命题的概念，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题过程与方法通过学习,学生分析问题解决问题的能力得到提高，初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，学生初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识．通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力；情感态度与价值观通过对四种命题的存在性和相对性的认识，进行辩证唯物主义观点教育；重点分析命题的改写，四种命题的概念及其相互关系．难点分析命题概念的理解.主要教学方法启发式教学，半开放式教学．教学过程一、复习准备：阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；；（2）312>吗？（3）312（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.二、讲授新课：1. 教学命题的概念：①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数,则a是奇数；（3）2小于或等于2；（4）指数函数是增函数吗？x<；（5）215（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行.（学生自练→个别回答→教师点评）④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.2. 将一个命题改写成“若p ，则q ”的形式：①例1中的（2）就是一个“若p ，则q ”的命题形式，我们把其中的p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论.②试将例1中的命题（6）改写成“若p ，则q ”的形式. ③例2：将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式. （1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行。

高中数学第一章常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)[自主预习·探新知]1．四种命题的概念及表示形式名称定义表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题原命题为“若p，则q”；否命题为“若p，则q”互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若q，则p”2.四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )【导学号：97792008】A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.][合作探究·攻重难]四种命题把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：原词语等于(＝)大于(>)小于(<)是都是至多有一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有两个原词语至少有一个至多有n个任意的任意两个所有的能否定词语一个也没有至少有(n＋1)个某一个(确定的)某两个某些不能1．(1)命题“若y ＝kx ，则x 与y 成正比例关系”的否命题是( )【导学号：97792009】A ．若y ≠kx ，则x 与y 成正比例关系B ．若y ≠kx ，则x 与y 成反比例关系C ．若x 与y 不成正比例关系，则y ≠kxD ．若y ≠kx ，则x 与y 不成正比例关系D [条件的否定为y ≠kx ，结论的否定为x 与y 不成比例关系，故选D.] (2)命题“若ab ≠0，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________．若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0 [“ab ≠0”的否定是“ab ＝0”，“a ，b 都不为零”的否定是“a ，b 中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0”．]四种命题的关系及真假判断(1)对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个(2)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． (2)思路一写出原命题的逆否命题→判断其真假思路二原命题与逆否命题同真同假即等价关系→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假[解析] (1)当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则a >b ”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.[答案] C(2)法一：原命题的逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴对于方程x 2＋x －a ＝0，根的判别式Δ＝1＋4a >0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．[规律方法]判断命题真假的方法1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.[跟踪训练]2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．等价命题的应用1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.【导学号：97792010】[思路探究] (1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．[解析](1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．若a≠0，由题意知{a<0Δ＝4a2＋12a≤0，即{a<0－3≤a≤0，∴－3≤a<0综上知，a的取值范围是－3≤a≤0.[答案][－3,0](2)证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．[规律方法] 1.若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.[证明]“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．[当堂达标·固双基]1．命题“若a∉A，则b∈B”的逆命题是( )A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉AC[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a∉A”．]2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.【导学号：97792011】若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．。

高中数学知识点精讲精析命题及其关系

1.1 命题及其关系1.命题的构成――条件和结论定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．2．命题的分类――真命题、假命题的定义．真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．强调：(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。

3．定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．小结：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

4．四种命题的形式原命题：若P，则q．则：逆命题：若q，则P．否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢P．5．①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

高中数学选修1-1 专题1.1 命题及其关系-高二数学(文)人教版

1．命题一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_______叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.在本章中，我们只讨论具有“若p，则q”这种形式的命题，通常把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.注意：（1）一个数学命题要么是真命题，要么是假命题，但不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假.数学中的定义、定理、公理都是真命题（2）有一些语句，虽然目前还不能判断它的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假.我们把这一类语句也算作命题，如“神农架野人”，虽然目前还不能确定有没有野人，但是随着时间的推移，人们是能够考察清楚的.（3）数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式.关键是分清命题的条件和结论.2．四种命题（1）原命题与逆命题一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”.（2）否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的___________，我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q ”，那么它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”. （3）逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的__________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题. 也就是说，如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.提示：在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或重复.3．四种命题间的相互关系一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示：一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：（1）两个命题互为逆否命题，它们有________真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________.注意：（1）互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一. （2）在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0，2，4.（3）互为逆否命题的两个命题同真同假，可以用此来检验写出的命题是否正确，或证明原命题（或逆否命题）为真命题等.K 知识参考答案：1．陈述句 2．（1）结论和条件（2）条件的否定和结论的否定（3）结论的否定和条件的否定3．（1）相同的（2）没有关系K —重点四种命题及其关系，命题真假的判断 K —难点涉及命题真假判断的多选型试题K —易错对于含有大前提的命题，改写时，易忽略大前提1．命题的概念及真假判断判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一，是否是“陈述句”；第二，是否“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．命题真假的判断方法：（1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法. （2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法. 另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断. 【例1】下列命题中的假命题是A ．在ABC △中，若sin sin AB =，则A B = B ．函数为奇函数C ．D ．对于任意的，直线与圆都相交【答案】C【解析】A ．在ABC △中，若sin sin A B =，则A B =，显然是正确的；B ．函数则故为奇函数；C ．，故不正确；D ．对于任意的，直线与圆都相交是正确的，因为直线化为，过定点，这个点在圆内部，故直线和圆总会有交点.故答案为C ．【例2】把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假. （1）能被9整除的数是偶数; （2）当x 2+(y-1)2=0时,有x =0,y =1;（3）如果a >1,那么函数f (x )=(a-1)x 是增函数.2．四种命题由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论. （1）将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题.（2）将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题.否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词.（3）先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题.也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.【例3】把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假： ①负数小于零.②在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行.【解析】①原命题：若一个数是负数，则它小于零.是真命题. 逆命题：若一个数小于零，则它是负数.是真命题. 否命题：若一个数不是负数，则它不小于零.是真命题. 逆否命题：若一个数不小于零，则它不是负数.是真命题.②原命题：在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行.是假命题. 逆命题：在空间中，若两条直线平行，则它们平行于同一个平面.是假命题.否命题：在空间中，若两条直线不平行于同一个平面，则这两条直线不平行.是假命题. 逆否命题：在空间中，若两条直线不平行，则它们不平行于同一个平面.是假命题.【名师点睛】对于①，“小于”的否定是“不小于”，而不是“大于”，因为“不小于”包括了“大于和等于”. 3．四种命题间的相互关系由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题较困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题. 【例4】判断命题“若a >0,则x 2+x-a =0有实根”的逆否命题的真假.4．由命题的真假性求参数的值对于此类问题，若由已知条件可以得出一个真命题，即可据此建立相应的不等式或方程求解.解题时要善于从条件中寻找解题思路，善于构造性质、定理等运用的条件.【例5】命题p ：若0x >，则x a >；命题q ：若2m a ≤-，则()sin m x x <∈R 恒成立.若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[)0,1【解析】命题p 的逆命题：若x a >，则0x >，故0a ≥；命题q 的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则21a -<-，即1a <. 故实数a 的取值范围是)[01，. 5．改写命题时，忽略大前提【例6】将命题“当0a >时，函数y ax b =+的值随x 的减小而减小”写成“若p ，则q ”的形式，并写出其逆命题、否命题和逆否命题.【错解】“若p ，则q ”的形式：若0a >，则函数y ax b =+的值随x 的减小而减小. 逆命题：若函数y ax b =+的值随x 的减小而减小，则0a >. 否命题：若0a ≤，则函数y ax b =+的值随x 的不减小而不减小. 逆否命题：若函数y ax b =+的值随x 的不减小而不减小，则0a ≤.【错因分析】原命题有两个条件：0a >和x 减小，其中0a >是大前提，将原命题改写为“若p ，则q ”的形式时，要把0a >置于“若”字的前面，把x 减小作为条件.【正解】“若p ，则q ”的形式：当0a >时，若x 减小，则函数y ax b =+的值也减小. 逆命题：当0a >时，若函数y ax b =+的值减小，则x 也减小. 否命题：当0a >时，若x 不减小，则函数y ax b =+的值也不减小. 逆否命题：当0a >时，若函数y ax b =+的值不减小，则x 也不减小.【名师点睛】（1）有大前提的命题改写成“若p ，则q ”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若p ，则q ”.（2）对于含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变.1．命题“若a M ∈,则b N ∈”的逆命题是 A ．若a M ∈,则b N ∉ B ．若a M ∉,则b N ∈ C ．若b N ∈,则a M ∈ D ．若b N ∉,则a M ∉2．下列语句中是命题的是 A ．周期函数和是周期函数吗？ B ．sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？3．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中A ．假命题与真命题的个数相同B ．真命题的个数是奇数C ．真命题的个数是偶数D ．假命题的个数是奇数 4．下列命题中为真命题的是A ．命题“若1x >，则21x >”的逆命题B ．命题“若1x =，则220x x +-=”的否命题C ．命题“若20x >，则1x >-”的逆否命题D ．命题“若x y >，则x y >”的逆命题5．原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．46．命题“若，则”的逆否命题是__________．7．命题“若,a b R 且a b ，0b ≠，则2()0a b b”的条件为__________，结论为__________.8．若命题“a 满足2111a a -≤+”为真命题，则实数a 的取值范围是__________. 9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)能被6整除的数一定是偶数；(2)120a b -+=时，a ＝1，b ＝－2； (3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x 2时，y ＝1，x ＝1.10．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.(1)若一个三角形的两条边相等,则这两条边所对的角相等;(2)奇函数的图象关于原点对称;(3)已知a ,b ,c ,d 是实数,若a =b ,c =d ,则a+c =b+d ; (4)若q <1,则方程x 2+2x+q =0有实根.11．已知原命题“若，则、中至少有一个不小于1”，原命题与其逆命题的真假情况是A ．原命题为假，逆命题为真B ．原命题为真，逆命题为假C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题12．命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“若一个数a 的平方根不等于0，则a 是正数”的A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定命题13．能够说明“设是实数，若，则”是假命题的一个实数的值为________．14．已知a ,b ∈R ,求证:若a 3+b 3+3ab ≠1,则a+b ≠1.15．已知两个命题2:sin cos ,:10r x x xm s x x mx ，如果对任意的,x r x R 与s x 有且仅有一个是真命题，求实数m 的取值范围.16．（山东）设m ∈R ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m >B ．若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m >D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 17．（陕西）原命题为“若12n n n a a a ++<，n N *∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假18．（2018北京）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．1 2 3 4 5 11 12 16 17 CBCDCBADA1．【答案】C【解析】因为将原命题的结论当条件，条件当结论即可到其逆命题，所以命题“若a M ∈,则b N ∈”的逆命题是“若b N ∈,则a M ∈”，故选C ． 2．【答案】B【解析】命题是可以判断真假的陈述句，4个选项中只有B 满足. 3．【答案】C【解析】一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以为0，2，4个，所以选C ． 4．【答案】D5．【答案】C【解析】原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，当c =0时显然不成立，所以是假命题；由于原命题是假命题，所以其逆否命题也是假命题；逆命题为：若ac 2>bc 2，则a >b ,是真命题；由于逆命题和否命题互为逆否命题，所以其真假性是一样的，所以其否命题也是真命题. 所以在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2，故答案为C. 6．【答案】若，则【解析】“若，则”的逆否命题是：若，则.7．【答案】,a bR 且a b ，0b ≠ 2()0a b b【解析】由命题的定义易得. 8．【答案】(]1,2- 【解析】2111a a -≤+即21101a a --≤+，即201a a -≤+，解得12a -<≤. ∴实数a 的取值范围是](12-，.9．【解析】(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数.真命题．(2)若120a b -++=，则1a ＝且2b ＝－.真命题．(3)已知x ，y 为正整数，若2y x =，则1y ＝且1x ＝.假命题．10．【解析】(1)逆命题:若一个三角形的两个角相等,则这两个角所对的边相等.显然该命题是真命题.否命题:若一个三角形的两条边不相等,则这两条边所对的角不相等.由于原命题的逆命题是真命题,所以原命题的否命题也是真命题.逆否命题:若一个三角形的两个角不相等,则这两个角所对的边不相等.由于原命题为真命题,所以其逆否命题也是真命题.(3)逆命题:已知a ,b ,c ,d 是实数,若a+c =b+d ,则a =b ,c =d .是假命题.否命题:已知a ,b ,c ,d 是实数,若a ≠b 或c ≠d ,则a+c ≠b+d .是假命题.逆否命题:已知a ,b ,c ,d 是实数,若a+c ≠b+d ,则a ≠b 或c ≠d .是真命题.(4)逆命题:若方程x 2+2x+q =0有实根,则q <1.是假命题.否命题:若q ≥1,则方程x 2+2x+q =0无实根.是假命题.逆否命题:若方程x 2+2x+q =0无实根,则q ≥1.是真命题.11．【答案】B【解析】逆否命题为：a ，b 都小于1，则a +b ≤2，是真命题，所以原命题是真命题.逆命题为：若、中至少有一个不小于1，则a +b ＞2，例如，当a =2，b =﹣2时，满足条件，此时a +b =2+（﹣2）=0，与a +b ＞2矛盾，故为假命题.故选B ．12．【答案】A【解析】命题“正数的平方根不等于0”的条件为，结论为；命题“若一个数的平方根不等于0，则是正数”的条件为，结论为. ∴命题“正数的平方根不等于0”是命题“若一个数的平方根不等于0，则是正数”的逆命题.故选A ．13．【答案】2【解析】因为，所以，11113,11x x x x +=-++≥-- 等号成立的条件为112,01x x x -=⇒=-，故当时函数值等于3.此时不满足题干.故答案为2.14．【解析】原命题证明较困难，故可改证它的等价命题(逆否命题)：已知a ,b ∈R ，若1a b +=，则a 3+b 3+3ab =1.因为1a b +=,所以()()()23322223331a b ab a b a ab b ab a ab b ab a b ++=+-++=-++=+=, 所以原命题成立.16．【答案】D【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D.17．【答案】A 【解析】由12n n n a a a ++<1{}n n n a a a +⇒<⇒为递减数列，所以原命题为真命题. 逆命题：若{}n a 为递减数列，则12n n n a a a ++<，n N *∈. 若{}n a 为递减数列，则1n n a a +<，即12n n n a a a ++<，所以逆命题为真命题. 因为逆否命题的真假和原命题的真假相同，否命题的真假和逆命题的真假相同，所以逆否命题、否命题也为真命题.故选A18．【答案】23()()2f x x =-- （答案不唯一）。

第一章 1.1.1命题及其关系

(5)是假命题，如： 3· (－ 3)是有理数，但 3和－ 3都是无理数.
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(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定.
小结判断一个语句是否是命题关键看它是否符合两个条件： “是陈述句”和“可以判断真假”，而祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
(4)并非所有的人都喜欢苹果. (5)若 xy 是有理数，则 x、y 都是有理数. (6)60x＋9>4. 解 (1)是祈使句，不是命题.
(2)因为 x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，所以可以判断其真假，是命题，且是真命题. (3)是疑问句，不是命题.
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(4)是真命题，有的人喜欢苹果，有的人不喜欢苹果.
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解
(1)若一个整数的各位数数字之和能被 9 整除，则这个整数可
以被 9 整除； (2)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
(3)若一个数能被 6 整除，则它既能被 3 整除也能被 2 整除； (4)若一个角是钝角，则这个角的余弦值是负数. 小结找准命题的条件和结论是解决这类题目的关键，对于个别
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(5)请把门关上！ (6)2 是质数吗？ (7)若 x＝2，则 x2＝4； (8)3＋2＝6. 回答：①以上有几个命题？ ②命题必须具备什么特征？答案 ①5 个.其中(1)(2)(3)(7)(8)都是.
②是陈述句且能判断真假.
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(4)当 abc＝0 时，a＝0 或 b＝0 或 c＝0； (5)负数的立方是负数. 解 (1)若 ac>bc，则 a>b. (2)已知 x、y 为正整数，若 y＝x＋1，则 y＝3 且 x＝2. 1 (3)若 m> ，则 mx2－x＋1＝0 无实数根. 4 (4)若 abc＝0，则 a＝0 或 b＝0 或 c＝0.

1.1命题及其关系

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习与体验成功阶段：。

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高二数学选修1-1_知识归纳：命题及其关系

1.1命题及其关系1.概念：命题：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

真（假）命题：在命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

命题的构成：在数学中，“若，则”是命题的常见形式，其中叫做命题的条件，叫做命题的结论。

2.理解命题的概念要判断某个句子是否是命题，首先要看这个句子的句型。

一般的，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，其次要看能不能判断真假，不能判断真假的语句，就不是命题。

例如：①把门关上；②垂直于同一条直线的两直线一定平行吗？③空集是任何集合的真子集。

①是祈使句，②是疑问句，所以①②都不是命题。

③是陈述句，也能判断真假，所以是命题，而且是假命题。

3．命题真假的判断当一个命题改写成“若，则”的形式之后，判断这种命题真假的办法：⑴若由“”经过逻辑推理得出“”，则可确定“若，则”是真；确定“若，则”为假，则只需举一个反例说明即可。

⑵从集合的观点看，我们建立集合、B＝｛x q(x)成立｝与命题中的p、q之间的一种特殊联系：设集合B＝｛x q(x)成立｝，B＝｛x q(x)成立｝，就是说，A是全体能使条件p成立的对象5x＞4x所构成的集合，B＝｛x q(x)成立｝是全体能使条件q成立的对象5x＞4x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A 5x＞4x B＝｛x q(x)成立｝时满足。

4.四种命题概念①如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；②如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题；③如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做逆否命题．换一种表述：①交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；②同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题③交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．5.四种命题之间的相互关系①原命题为真，它的逆命题不一定为真；②原命题为真，它的否命题不一定为真；③原命题为真，它的逆否命题一定为真．6.反证法的一般步骤：①假设命题的结论不正确，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．即：否定结论→推出矛盾→肯定结论。

高中数学 1.1命题及其关系

（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。
练习二:
命题“若 ab 0,则a 0或b 0.”的逆否命题是（D）
A.若ab 0,则a 0或b 0 C.若ab 0,则a 0且b 0
B.若a 0或b 0,则ab 0 D.若a 0且b 0,则ab 0
3、（2008年山东考文）给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图像不过
第四象限。在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ C ）
(A) 3，
(B) 2，
(C) 1，
(D) 0
课堂小结
（1）命题的概念；
（2）四种命题的概念；（3）四种命题之间的相互关系，由原命题
例3: 证明："若a2 b2 2a 4b 3 0, 则a b 1"为真命题.
高考链接
1.（2009江西文）下列命题是真命题的为 ( A )
A.若 1 1 ，则x y.B.若x2 1,则x 1. xy
C.若x y,则 x y.D.若x y,则x2 y2.
2（. 2011天津理）命题“若f (x)是奇函数，则f (x)是奇函数”
例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题，指出它
的真假。
(1)空集是任何集合的子集.
（是,真）
(2)若整数a是素数,则a是奇数.
（是,假）
(3)指数函数是增函数吗?
（不是命题）
(4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行（. 是，假）
(5) 22 2
（是，真）
(6)x>15. （不是命题）
思考:命题（2）(4) 有什么相似结构呢?
“若p,则q”形式
命题的常见形式： “若p,则q”形式

1.1命题及其关系

看下面的例子,写出其逆命题、否命题、逆否命题，看下面的例子写出其逆命题、否命题、逆否命题，写出其逆命题并分别指出其假。并分别指出其假。
1）原命题：若a=0, ）原命题：则ab=0。 (真) 。真 (假) 假 (假) 假 (真) 真（假）（真）（真）（假）
逆命题：逆命题：若ab=0, 则a=0。。否命题：否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。。逆否命题： ab≠0,则a≠0。逆否命题：若ab≠0,则a≠0。
原命题真真假假
即
逆命题真假真假
否命题真假真假
逆否命题真真假假
原命题与逆否命题同真假。原命题与逆否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。
结论：
原命题与逆否命题同真假。原命题与逆否命题同真假。（ 1）原命题的逆命题与否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。（2）两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性两个命题为互逆命题或互否命题, 没有关系。没有关系。
2.命题的构成命题的构成命题可写成“ 命题可写成“若p,则q”的形式其中p 叫做命题的条件其中p 叫做命题的条件, 条件, q 叫做命题的结论. 叫做命题的结论结论.
记做: 记做
p⇒q
其中p和q可以是命题也可以不是命题其中和可以是命题也可以不是命题. 可以是命题也可以不是命题
将下列命题改写成“ p,则的形式的形式, 将下列命题改写成“若p,则q”的形式, 并判断真假; 并判断真假; (1)垂直于同一条直线的两条直线平行; (1)垂直于同一条直线的两条直线平行; 垂直于同一条直线的两条直线平行 (2)负数的立方是负数; (2)负数的立方是负数; 负数的立方是负数 (3)对顶角相等; (3)对顶角相等; 对顶角相等 (4)等腰三角形两腰的中线相等; (4)等腰三角形两腰的中线相等; 等腰三角形两腰的中线相等 (5)偶函数的图像关于y轴对称; (5)偶函数的图像关于y轴对称; 偶函数的图像关于 (6)垂直于同一个平面的两个平面平行. (6)垂直于同一个平面的两个平面平行. 垂直于同一个平面的两个平面平行

常用逻辑用语(命题及其关系,概念和例子)

(9)若|x-y|=|a-b|,则x-y=a-b. 假
(10)x>15
不能判断其真假，不是命题
练习判断下面的语句是否为命题?若是命题，指出它的真假。
(1)北京是中华人民共和国的首都 (2)雪是黑的 (3)1>2
(4) 5{1,2,4}
(5)在欧氏几何中，三角开的内角的和是180度 (6)你到哪里去？不是命题不涉及真假 (7)12>5 (8)3是12的约数 (9)0.5是整数 (10)3是12的约数吗？不是命题不涉及真假 (11)x>5 不是命题不能判断其真假
怎样判断命题的真假？
(1)判定一个命题是真命题，要经过证明． (2)判定一个命题是假命题，只需举一个反例．
例3 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定真
假。
(1)负数的平方是正数.
真
(2)偶函数的图像关于y轴对称.
真
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行假
(4)面积相等的两个三角形全等.
假
(5)对顶角相等.
真
练习：课本P3
(1)若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两腰上的中线相等。(真)
(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称。(真)
(3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。(假)
二、四种命题：
思考：下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
读作“非Ｐ”“非q”。
互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命
题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命
题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q

1.1.1命题及其关系-《命题》

9
例2.将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假（1）负数的平方是正数若一个数是负数，则这个数的平方是正数. 真（2）相似三角形全等若两个三角形相似，则这两个三角形全等. 假（3）能被2整除的整数是偶数若一个整数能被2整除，则这个整数是偶数. 真
10
练习
1.举出一些命题的例子,并判断它们的真假. 2.判断下列命题的真假: (1)能被6整除的整数一定能被3整除; (2)若一个四边形的四条边相等,则这个四边形是正方形; (3)二次函数的图象是一条抛物线;
若q假，则 2 1（ 6 m 2）2 16 0，得m 1或m 3.
由p真q假，得
m 2
m
1或m
3
即: m 3
13
小结
• 这节课我们学习了: • (1)命题的概念; • (2)判断命题的真假; • (3)把有些命题改写成“若P,则q”的形式.
14
• 同步练习册
作业
15
2
(9)若|x-y|=|a-b|,则x-y=a-b.
7
例1中的命题(2)(4)(9),具有 “若P, 则q” 的形式
也可写成“如果P,那么q”的形式
也可写成“只要P,就有q”的形式
通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命题的条件,q叫做结论.
记做: p q
8
改写命题的形式
有一些命题表面上不是“若p,则q”的形式, 但可以改写成“若p,则q”的形式. 例如:平行于同一条直线的两条直线平行. 若两条直线平行于同一条直线,则这两条直线平行.
写命题时，不能把大前提写在条件中，应仍作
为命题的大前提．
【正解】已知 c＞0，若 a＞b，则 ac＞bc.
12

1.1命题及其关系(文科重点班)

命题及其关系

1.1命题及其关系

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