初中九年级数学 模型构建专题：解直角三角形应用中的模型练习题 附加答案

模型构建专题：解直角三角形应用中的模型
——形成思维模式，快准解题
◆类型一叠合式
1．(2017·烟台中考)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°.已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，2≈1.414)()
A．34.14米B．34.1米
C．35.7米D．35.74米
第1题图
第2题图
2．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东30°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，海警船到达事故船C处所需的时间大约为________小时(用根号表示)．
3．(2017·菏泽中考)如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.
4．埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救．如图，其中一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度(结果保留根号)．【方法10】
5．(2017·株洲中考)如图所示，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝23，无人机的飞行高度AH为5003米，桥的长度为1255米．
(1)求点H到桥左端点P的距离；
(2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB.
◆类型二背靠式
6．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为() A．300米B．1502米
C．900米D．(3003＋300)米
第6题图第7题图
7．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行________海里．
8．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度(结果保留到整数，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)．
9．(2017·青岛中考)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长(结果保留整
数，参考数据：sin67°≈
12
13，cos67°≈
5
13，tan67°≈
12
5，3≈1.73)．【方法10】
10．(2017·荆州中考)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方23米处的点C出发，沿斜面坡度i＝1∶3的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A，B，C，D，E 在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE，求旗杆AB的高度(参考数据：sin37°≈
3
5，cos37°≈
4
5，tan37°≈
3
4.计算结果保留根号)．
参考答案与解析
1．C
2.
3
2解析：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D.在Rt△ACD中，∵∠ADC ＝90°，∠CAD＝30°，AC＝60海里，∴CD＝
1
2AC＝30海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°－30°＝60°，∴BC＝
CD
sin∠CBD
＝203(海里)，∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为203÷40＝
3
2(小时)．
3．解：如图，作AE⊥CD.∵CD＝BD·tan60°＝3BD，CE＝BD·tan30°＝
3
3BD，∴AB ＝CD－CE＝
23
3BD＝42米，∴BD＝213米，CD＝3BD＝63米．
答：⑪号楼的高度CD为63米．
4．解：如图，过C作CD⊥AB于D，交海面于点E.设BD＝x米．∵∠CBD＝60°，∴tan∠CBD＝
CD
BD＝3，∴CD＝3x米．∵AB＝2000米，∴AD＝(x＋2000)米．∵∠CAD ＝45°，∴tan∠CAD＝
CD
AD＝1，∴3x＝x＋2000，解得x＝10003＋1000，∴CD＝3(10003＋1000)＝(3000＋10003)(米)，∴CE＝CD＋DE＝3000＋10003＋500＝(3500＋10003)(米)．
答：黑匣子C点距离海面的深度为(3500＋10003)米．
5．解：(1)在Rt△AHP中，∵AH＝5003米，由tan∠APH＝tanα＝
AH
HP＝
5003
PH＝23，可得PH＝250米．∴点H到桥左端点P的距离为250米．
(2)设BC⊥HQ于C.在Rt△BCQ中，∵BC＝AH＝5003米，∠BQC＝30°，∴CQ＝
BC
tan30°＝1500米．∵PQ＝1255米，∴CP＝245米．∵HP＝250米，∴AB＝HC＝250－245＝5(米)．
答：这架无人机的长度AB为5米．
6．D
7．22解析：作PC⊥AB于点C.∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，∴∠P AC＝30°，AP＝4×2＝8(海里)，∴PC＝AP×sin30°＝8×
1
2＝4(海里)．∵乙货船从B港沿西北方向出发，∴∠PBC＝45°，∴PB＝PC÷sin45°＝4÷
2
2＝42(海里)，∴乙货船航行的速度为42÷2＝22(海里/时)．
8．解：在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，tan∠ACD＝
AD
CD，CD＝9米，∴AD＝CD·tan∠ACD ＝9×
3
3＝33(米)．在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，tan∠BCD＝
BD
CD，∴BD＝CD＝9米，∴AB ＝AD＋BD＝33＋9≈14(米)．
答：对面楼房AB的高度约为14米．
9．解：过点B作BD⊥AC于点D.∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB·sin67°≈520×
12
13＝480(km)，BD＝AB·cos67°≈520×
5
13＝200(km)．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD·tan30°＝200×
3
3＝2003
3(km)，∴AC＝AD＋CD＝480＋
2003
3≈480＋115＝595(km)．
答：A地到C地之间高铁线路的长为595km.
10．解：如图，延长ED交BC的延长线于点F，则∠CFD＝90°.∵tan∠DCF＝i＝
1
3
＝
3
3，∴∠DCF＝30°.∵CD＝4米，∴DF＝
1
2CD＝2米，CF＝CD·cos∠DCF＝4×
3
2＝23(米)，∴BF＝BC＋CF＝23＋23＝43(米)．过点E作EG⊥AB于点G，则GE＝BF＝43米，GB＝EF＝ED＋DF＝1.5＋2＝3.5(米)．又∵∠AEG＝37°，∴AG＝GE·tan∠AEG＝43·tan37°≈33米，则AB＝AG＋BG≈(33＋3.5)米，故旗杆AB的高度约为(33＋3.5)米．
数学选择题解题技巧
1、排除法。

是根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下唯一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。

排除法是解选择题的间接方法，也是选择题的常用方法。

2、特殊值法。

即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。

用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。

此类问题通常具有一个共性：题干中给出一些一般性的条件，而要求得出某些特定的结论或数值。

在解决时可将问题提供的条件特殊化。

使之成为具有一般性的特殊图形或问题，而这些特殊图形或问题的答案往往就是原题的答案。

利用特殊值法解答问题，不仅可以选用特别的数值代入原题，使原题得以解决而且可以作出符合条件的特殊图形来进行计算或推理。

3、通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果。

这类方法在近年来的中考题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。