人教B版高中数学选修4-5创新设计练习1.2基本不等式(二)(含答案详析)

1.2 基本不等式(二)
基础达标
1．已知x >0，从不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，启发我们推广为x ＋( )
x n
≥n ＋1，则括号中应填写的是
( )．
A ．n n
B ．n 2
C ．2n
D ．22(n －1)
答案 A
2．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，令x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1·
⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫
1c －1，则x 的取值范围为
( )．
A.⎣⎢⎡
⎭⎪⎫0，18 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫
18，1 C ．[1,8)
D ．[8，＋∞)
解析 ∵x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫
1c －1
＝1－a a ·1－b b ·1－c
c
＝(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ca ·2ab abc ＝8，
当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴x ≥8. 答案 D
3．已知x ，y 都为正数，且1x ＋4
y ＝1，则xy 有
( )．
A ．最小值16
B ．最大值16
C ．最小值1
16
D ．最大值1
16
解析 ∵x ，y ∈(0，＋∞)且1x ＋4
y ＝1，
∴1＝1x ＋4y ≥2
4xy ＝4xy
，∴xy ≥4，∴xy ≥16， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
1x ＝4y ，
1x ＋4
y ＝1，
x ，y ∈(0，＋∞)，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝8，
时取等号， 此时(xy )min ＝16. 答案 A
4．a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1
c 的最小值为________． 解析 由题知a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c
c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时取等号．
答案 9
5．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c (b ，c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x 在同一点
取相同的最小值，那么f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2上的最大值是________．
解析 g (x )＝x ＋1
x ＋1在x ＝1时，取最小值3.
－b
2＝1,1＋b ＋c ＝3，∴b ＝－2，c ＝4.∴f (x )＝x 2－2x ＋4，x ＝2时，f (x )max ＝4. 答案 4
6．在△ABC 中，如果三内角满足：sin 2A ＋sin 2B ＝5sin 2C ，求证：sin C ≤3
5. 证明 在△ABC 中，由正弦定理，得 a sin A ＝b sin B ＝
c sin C ＝2R .
又∵sin 2A ＋sin 2B ＝5sin 2C ，∴a 2＋b 2＝5c 2.
由余弦定理，得
cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4c 22ab ≥4c 2a 2＋b 2＝4c 25c 2＝4
5.
由0<C <π且cos C ≥45，得0<C <π
2， ∴sin C ≤3
5.
综合提高
7．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列关系式总成立的是( )． A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥1
8π
D ．V ≤1
8π
解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ， 则由题意得：4r ＋2h ＝6，即2r ＋h ＝3， 于是有V ＝πr 2
h ≤π·⎝
⎛⎭
⎪⎫r ＋r ＋h 33＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫333
＝π， 当且仅当r ＝h 时取等号． 答案 B
8．如果圆柱的轴截面周长l 为定值，那么圆柱的体积最大值是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63
π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭
⎪⎫l 43π 解析 l ＝4r ＋2h ，即2r ＋h ＝l
2， V ＝πr 2
h ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫r ＋r ＋h 33π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63
π. 答案 A
9．函数y ＝x 2
x 4＋9
(x ≠0)有最大值______，此时x ＝______.
解析 ∵x ≠0，∴x 2>0. ∴y ＝
x 2x 4＋9
＝
1x 2＋9x 2≤
12
x 2·9x 2
＝16，
当且仅当x 2＝9
x 2，即x 4＝9，x 2＝3，x ＝±3时取等号， 即当x ＝±3时，y max ＝1
6. 答案 1
6 ±3
10．制造容积为π
2 m 3的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为30元/m 2，做侧面的金属板价格为20元/m 2，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径r ＝________，高h ＝________. 解析 ∵πr 2h ＝π2，∴rh ＝12r . 设用料成本为S ，则
S ＝30πr 2＋40πrh ＝30πr 2＋20π
r ＝30πr 2＋10πr ＋10πr ≥30π3
3(元)，
当30πr 2＝10πr ，即r ＝393时，等号成立，此时h ＝3
9
2. 答案 3
93 m 39
2 m
11．某城建公司承包旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，每提前一天可获2千元奖金，但这要追加投入费用；若延期则每延期一天将被罚款5千元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋
784
x ＋3
－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使此公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)． 解 设该城建公司获得的附加效益为y 千元，
则由题意，得
y ＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋784x ＋3－118＝118－⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x ＋784x ＋3
＝118－⎣⎢⎡⎦⎥⎤
4(x ＋3)＋784x ＋3－12
＝130－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(x ＋3)＋784x ＋3 ≤130－2
4(x ＋3)·784
x ＋3
＝130－112＝18， 当且仅当4(x ＋3)＝
784
x ＋3
，即x ＝11时取等号． ∴提前11天完工，公司可获得最大附加效益．
12．甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例常数为b ，固定部分为a 元． (1)把全程运输成本y 元表示为速度v (km/h)的函数，并指出函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？ 解 (1)因为汽车每小时的运输成本为b v 2＋a (元)， 全程时间为s v (小时)，故y ＝s
v (b v 2＋a )， 即y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a v ＋
b v ，v ∈(0，
c ]．
(2)由于a
v ＋b v ≥2ab ，当且仅当v ＝ a
b 时取等号，故
①若 a
b ≤
c ，则当v ＝
a
b 时，y 取最小值．
②若
a b >c ，则先证y ＝s
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a v ＋
b v ，v ∈(0，
c ]为单调减函数，事实上，当v 1、v 2∈(0，c ]，且v 1<v 2， 则y 1－y 2＝s ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫a v 1＋b v 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a v 2＋b v 2
＝s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a v 1－a v 2＋(b v 1－b v 2)＝s (v 1－v 2)⎝ ⎛
⎭
⎪⎫b －a v 1v 2
＝sb (v 1－v 2)·v 1v 2－a b
v 1v 2，
∵v 1、v 2∈(0，c ]，v 1<v 2， ∴v 1－v 2<0，v 1v 2>0，v 1< a
b ，v 2<
a b .
进而v 1v 2<a
b ，从而y 1－y 2>0.
故y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a v ＋
b v ，v ∈(0，
c ]为单调减函数，
由此知当v ＝c 时，y 取得最小值． 综上可知，若
a
b ≤
c ，则当v ＝
a
b 时，y 取得最小值；
若 a
b >
c ，则当v ＝c 时，y 取得最小值．。