福建省南平市2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析

福建省南平市2021届新高考数学教学质量调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≥⎩
，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满
足不等式2
2
2x y +≤的概率为 A ．
π8
B ．
π4
C ．
1
2π
+ D ．
2π
+ 【答案】A 【解析】 【分析】
画出不等式组表示的区域Ω，求出其面积，再得到2
2
2x y +≤在区域Ω内的面积，根据几何概型的公式，得到答案. 【详解】
画出2000x x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≥⎩
所表示的区域Ω，易知()()2,2,2,2A B -，
所以AOB V 的面积为4，
满足不等式2
2
2x y +≤的点，在区域Ω内是一个以原点为圆心，2为半径的14圆面，其面积为2
π， 由几何概型的公式可得其概率为2==
48
P π
π，
故选A 项.
【点睛】
本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.
2．函数ln ||
()x
x x f x e
=
的大致图象为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12
f -<判断A 选项正确. 【详解】
1.1
1.1ln |1.1|
( 1.1)0f e
--=
<，排除掉C ，D ； 12
11ln 122()22
f e e
---=
=
1
22
e <=Q 2e ，
1
()212
f e ∴-=<.
故选：A ． 【点睛】
本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.
3．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ） A ．480种
B ．360种
C ．240种
D ．120种
【答案】B 【解析】 【分析】
将人脸识别方向的人数分成：有2人、有1人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数. 【详解】
当人脸识别方向有2人时，有55120A =种，当人脸识别方向有1人时，有24
54240C A =种，∴共有360种.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
4．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )
A ．15π2cm
B ．21π2cm
C ．24π2cm
D ．33π2cm
【答案】C 【解析】 【分析】
由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，据此可计算出答案. 【详解】
由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，
∴该几何体的表面积233524S πππ=⨯+⨯⨯=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键. 5．已知函数()ln x f x x
=
，()x
g x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成
立，则2
21k x e x ⎛⎫
⎪⎝⎭
的最大值为（ ）
A ．2e
B ．e
C ．
24e D ．
2
1e 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可知，()()x
g x f e
=，由()()()120f x g x k k ==<可得出1
01x
<<，20x <，利用导数可得出
函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，进而可得出21x
x e =，
由此可得出
()22221x x x g x k x e ===，可得出2
221k k x e k e x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，构造函数()2k h k k e =，利用导数求出函数()y h k =在(),0k ∈-∞上的最大值即可得解.
【详解】
()ln x f x x =Q ，()()ln x
x x x x e g x f e e e
===，
由于()1
11
ln 0x f x k x =
=<，则11ln 001x x <⇒<<，同理可知，20x <， 函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()2
1ln 0x
f x x
-'=
>对()0,1x ∀∈恒成立，所以，函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，同理可知，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，
()()()
212x f x g x f e ∴==，则21x
x e =，()22221x x x g x k x e ∴
===，则2
221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 构造函数()2k
h k k e =，其中k 0<，则()()
()2
22k
k
h k k k e k k e '=+=+.
当2k <-时，()0h k '>，此时函数()y h k =单调递增；当20k -<<时，()0h k '<，此时函数()y h k =单调递减.
所以，()()2max 4
2h k h e
=-=. 故选：C. 【点睛】
本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度. 6．函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜
2
π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π
个单位后得
到的函数图象关于直线x ＝2
π
对称，则函数f(x)的解析式为（ ） A ．f(x)＝sin(2x ＋3
π) B ．f(x)＝sin(2x －3
π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6
π) D ．f(x)＝sin(2x －
6
π) 【答案】D 【解析】 【分析】
由函数的周期求得2w =，再由平移后的函数图像关于直线2
x π=对称，得到22
3
π
π
ϕ⨯
+-
2
k π
π=+
，
由此求得满足条件的ϕ的值，即可求得答案. 【详解】
分析：由函数的周期求得ω2=，再由平移后的函数图像关于直线π
x 2
=
对称，得到πππ
2φk π232
⨯
+-=+，由此求得满足条件的φ的值，即可求得答案. 详解：因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，
所以
2π
πω
=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π
6
个单位后，
得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线π
x 2
=
对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即π
φk π,k Z 6
=-∈，
取k 0=，得πφ6=-，满足π
φ2
<，
所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，故选D. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到sin(2)3
y x π
ϕ=+-
，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
7．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6- B ．6
C ．5
D ．5-
【答案】A 【解析】 【分析】
由{}3A B ⋂=，得3B ∈，代入集合B 即可得b . 【详解】
{}3A B ⋂=Q ，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-，
故选：A 【点睛】
本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.
8．若双曲线E ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、
B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）
A ．22
154x y -=
B ．22
145x y -=
C ．22
163x y -=
D ．22
136
x y -=
【答案】D 【解析】 【分析】
求出直线l 的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得,a b 的方程组，求得,a b 的值，即可得到答案. 【详解】
由题意，直线l 的斜率为06
133
PF k k +===+， 可得直线l 的方程为3y x =-，
把直线l 的方程代入双曲线22221x y a b
-=，可得2222222
()690b a x a x a a b -+--=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则2
1222
6a x x a b
+=-， 由AB 的中点为()3,6P --，可得2
22
66a a b
=--，解答222b a =，
又由2229a b c +==，即2229a a +=，解得a b ==
所以双曲线的标准方程为22
136
x y -=.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根
与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
9．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )
A．12πB．16π
C．24πD．48π
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算．
【详解】
由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2，
底面为等腰直角三角形，斜边长为22，如图：
⊥，且OD⊂平面SAC，
∴的外接圆的圆心为斜边AC的中点D，OD AC
∆
ABC
==
Q，
SA AC
2
∴的中点O为外接球的球心，
SC
∴半径3
R=
∴外接球表面积4312
=⨯=．
Sππ
故选：A
【点睛】
本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．
10．在复平面内，复数z=i 对应的点为Z ，将向量OZ uuu r
绕原点O 按逆时针方向旋转6
π
，所得向量对应的复数是（ ） A
．122
-
+ B
．122
i -
+ C
．122
-
- D
．122
i -
- 【答案】A 【解析】 【分析】
由复数z 求得点Z 的坐标，得到向量OZ uuu r 的坐标，逆时针旋转6
π
，得到向量OB uuu r 的坐标，则对应的复数可
求. 【详解】
解：∵复数z=i （i 为虚数单位）在复平面中对应点Z （0，1），
∴OZ uuu r ＝(0，1)，将OZ uuu r 绕原点O 逆时针旋转6
π
得到OB uuu r ，
设OB uuu r
＝(a ，b)，0,0a b <>，
则cos
62
OZ OB b OZ OB π⋅===
u u u r u u u r u u u r u u u r
，
即b =
， 又221a b +=，
解得：1,2a b =-
=
，
∴12OB ⎛=- ⎝⎭
u u u r ，
对应复数为122
-+. 故选：A. 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 11
．要得到函数12y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数23y x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭图象上所有点的横坐标
（ ）
A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移
4
π
个单位长度
B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移
4
π
个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124
π
个单位长度
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可． 详解：将函数3sin 23y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
， 得到13232
33
y sin
x sin x π
π
=⨯-=-（）（）， 再将得到的图象向左平移4
π个单位长度得到333412y sin
x sin x （）（），πππ
=-+=- 故选B ．
点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合ω和ϕ的关系是解决本题的关键．
12．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）
A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班
B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定
C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班
D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103 【答案】D 【解析】 【分析】
计算两班的平均值，中位数，方差得到ABC 正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，D 错误，得到答案. 【详解】
由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4； 乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A ，B ，C 正确. 因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D 错误. 故选：D . 【点睛】
本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数()0x f x e ax =->恒成立,则实数a 的取值范围是_____. 【答案】0a e ≤< 【解析】 【分析】
若函数()0x f x e ax =->恒成立，即min ()0f x >，求导得'()x
f x e a =-，在0,0,0a a a >=<三种情
况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的min ()f x ，解关于a 的不等式，再取并集，即得。

【详解】
由题意得,只要min ()0f x >即可，
'()x f x e a =-Q ，
当0a >时，令'()0f x =解得ln x a =， 令'()0f x <，解得ln x a <，()f x 单调递减， 令'()0f x >，解得ln x a >，()f x 单调递增，
故()f x 在ln x a =时，()f x 有最小值，min ()(ln )(1ln )f x f a a a ==-， 若()0f x >恒成立，
则(1ln )0a a ->，解得0a e <<； 当0a =时，()0x
f x e =>恒成立;
当0a <时，'()x
f x e a =-，()f x 单调递增，,()x f x →-∞→-∞Q ,不合题意,舍去.
综上,实数a 的取值范围是0a e ≤<. 故答案为：0a e ≤< 【点睛】
本题考查恒成立条件下，求参数的取值范围，是常考题型。

14．设集合{}1 A a =-，，e e 2a B ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
，（其中e 是自然对数的底数），且A B ⋂≠∅，则满足条件的实数a。