北京市中国人民大学附属中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试题 含答案

人大附中2015-2016学年度第一学期期末高二年级数学(文）练习
&必修1-1模块考核试卷
2016年1月14日
命题人：王教凯 吴中才 审卷人：梁丽平
说明：本试卷分为I 卷和II 卷，I 卷17道题，共100分,作为模块成
绩；II 卷4道题，共50分，I 卷、II 卷共21道,合计150分,作为期中成绩；考试时间120分钟；请在密封线内填写个人信息。

I 卷（共17道，满分100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上。

）
1。

命题“0
x R ∃∈，0
20x ≤”的否定是（ ）
A 。

0x R ∃∈，020x >
B 。

0x R ∃∈，020x ≥
C 。

0x R ∀∈，020x ≤
D 。

0x R ∀∈，020x >
2. 下列求导运算正确的是（ )
A 。

()3
2
'x x = B 。

()1lg 'ln10
x x =
C 。

()1
'x
x e xe -= D 。

()cos 'sin x x =
3. 方程2
22x
ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( )
A 。

()0,1 B. ()0,2 C 。

()1,+∞ D 。

()0,+∞
4. “a b >且c d >”是“a c b d +>+"的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件 5。

已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左顶点为()1,0A -，右焦点为(
)2
3,0
F ,
则
双曲线的渐近线方程为（ ）
A. 2y x
=± B 。

2y x =± C.
2
2
y x =±
D 。

12
y x =±
6。

如图,直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则()'4f = （ ）
A. 12
B.
3
C 。

4
D. 5
7。

若函数()3
223f x x
x c =-+的极大值为6，那么c 的值为( ）
A 。

0
B 。

5
C 。

6 D. 1 8.
已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左焦点为F
，右顶点为A ,点B 在椭圆上,
且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ,若2AP PB
=，则椭圆的离心率是
( ）
A.
B 。

2
C 。

13
D 。

12
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.)
9。

若椭圆的中心在坐标原点，焦点为()1,0，且过()2,0点，则椭圆的标准方程为________。

10. 已知函数()sin f x x =,则'3f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
___________
11.
已知椭圆22
218
x y a +=的焦点1F 、2F 在x 轴上，离心率为13，若弦AB 经过焦点1
F ，则2
ABF ∆的周长为____________.
12。

函数()()3x
f x x e =-的单调递增区间是____________
13。

过抛物线2
4y
x =的焦点作直线交抛物线于()11,A x y ，()2
2
,B x y 两点，
如果1
2
6x x
+=,那么AB =_____________。

14。

如图是函数()y f x =的导函数()'y f x =的图象，给出下列命题: ①
2-是函数()y f x =的极值点;
② 1是函数()y f x =的极值点; ③
()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；
④()y f x =在区间()2,2-上单调递增。

则正确命题的序号是_____________。

(写出所有正确命题的序号)
三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 15。

（本题满分12分)
已知点()3,6M -在以原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线C 上，直线
21l y x =+：与抛物线C 相交于()11,A x y ,()22,B x y 两点。

（I ） 求抛物线C 的方程; （II ）
求线段AB 的长。

16. (本题满分12分） 已知函数()3
2392f x x
x x =-++-
（I ） 求()f x 的单调递减区间；
（II ）
求()f x 在区间[]2,2-上的最大值与最小值。

17。

（本题满分14分）
已知椭圆
D ：22
221x y a b
+=的半焦距1c =,且a =。

（I ） 求椭圆D 的标准方程;
（II ）
过点()0,M m l 与椭圆D 有两个不同的交点P
和
Q ,若以PQ 为直径的圆经过原点O ,求实数m 的值.
II 卷 (共6道题，满分50分)
一、
填空题(本题共2小题,每题10分,共20分.请把结果填在答题纸
上。

） 18。

已知双曲线22
:1927
x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A
在曲线
C 上，12F AF ∠ 的平分线交x 轴于点M .
（I ）若点M 的坐标为()2,0,则2
AF =____________； （II)若1
224AF
AF +=，则12F AF ∆的面积为__________。

19。

（I ）设函数()()()12f x x x x =++，则()'0f =_________;
（II ）设函数()()()()12......100f x x x x x =+++,则()'0f = _________。

（只需列出式子即可）
二、解答题（本大题共2小题,满分30分。

请把解答过程写在答题纸上。

)
20.(本题满分15分）
已知椭圆()22
22:10x y G a b a b +=>>的离心率3
e =)
.
（I ） 求G 的方程;
（II ）
直线1y kx =+与曲线G 交于不同的两点A B 、,若在x 轴上存在一点M ,使得AM
BM
=,求点M 的横坐标的取值范围.
21. (本题满分15分） 已知函数()()2
ln f x x
ax x a R =+-∈
（I ） 若1a =，求函数()f x 的单调区间；
（II ） 若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围； （III ）
过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切线有且仅有一条,且切点的横坐标恒为1 。

人大附中2015—2016学年度第一学期期末高二年级数学（理）练习＆选修1—1模块考核试卷参考答案
I卷(共17题,满分100分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分）
二、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9。

22
143
x y += 10。

12
11. 12 12。

()2,+∞ 13. 8 14. ①④
三、解答题（本大题共3小题,共38分） 15。

解:（I ）依题意可设：抛物线C 的方程为()2
20y
px p =>
由点()3,6M -在抛物线C 上可得：()2
6236p p -=⨯= 6p ⇒=
故所求抛物线C 的方程为2
12y
x =
（II)将直线21l y x =+：与抛物线C
的方程2
12y
x =联立可得：
2
21
12y x
y x
=+⎧⎨=⎩ 化简整理可得：2
4810x
x -+=
由韦达定理可得:12122
14
x x x x +=⎧⎪⎨⋅
=⎪⎩
由弦长公式可得
:12AB x x =
-=
==
16。

解：(I)()f x 的导函数为()()()()2
2'369323331f x x
x x x x x =-++=---=--+
令()'0f x < 可得：3x > 或1x <-
故函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，()3,+∞
（II ）由（I)令()'0f x > 可得:13x -<<
故函数()f x 的单调递增区间为()1,3-
于是函数()f x 在区间[]2,2-上的单调性为： 在区间[]2,1--为减函数，在区间(]1,2- 为增函数. 而()()
()()3
2
22329220f -=--+-+--=，
()()()()3
2
11319127f -=--+⨯-+⨯--=-，
()3
222
3292220f =-+⨯+⨯-=
因此，函数()f x 在闭区间[]2,2-上的最大值为()220f =,
最小值为()17f -=-。

17。

解:（I ）由题意可知:
1c =,a =
又2
22a
b c =+ ()0a b >>
故)
2
21b =+,即211b b =⇒=
于是可得：
a =
=
所求椭圆D 的标准方程为2
212
x y +=
（II ）由题意易知:直线l
的方程为y m =+
将其与椭圆D 的标准方程2
212
x
y +=联立：
2
2
12
y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩
化简整理可得：()2
25210x m ++-=
由()
()2
2245214080m m ∆=-⨯⨯-=->
可得：m <
设P 、Q 两点坐标分别为()1
1
,x y ，()2
2
,x y
由韦达定理可得：()12
2
125
215x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪
⋅=⎪⎩
由以PQ 为直径的圆经过原点O 可得：OP OQ ⊥ 从而0OP OQ ⋅= 即有:12
120x x y y +=
又1
1y
m +
，22y m =+
于是
)12
121212x x
y y x x m
m
+=+
++
()212123x x x x m =++
()22268
=
155
m m m --+ 236
=055
m -=
即有:
2
20m -= 解得:m =
而
m <<
故所求实数m 或
II 卷(共6道题，满分50分）
一、 填空题（本大题共
2小题，每小题10分，共20分)
18. （I ）6 （II)54 19. (I ）2 (II)123...100⨯⨯⨯⨯
二、解答题（本大题共2小题,每小题15分,共30分）
20。

解：(I)由题意可知:
3
c e a
==
，a =
故可得：1c === 又
2
22
a b c
=+，于是2
2
2
2
212b
a c =-=
-=
从而，所求椭圆G 的方程为22
132
x y +=
（II ）将直线l 的方程1y kx =+与椭圆G 的方程22
132
x y +=联立：
2
2
113
2y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简整理可得:()2
232630k
x kx ++-=
设,A B 两点坐标分别为()1
1
,x y ，()2
2
,x y
由韦达定理可得:122122632
332k x x k x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩
设线段AB 中点N 的坐标为()0
,x y
则有()()01220120
213232
121232k x x x k y y y kx k ⎧
=+=-⎪⎪+⎨⎪=+=+=
⎪+⎩
设x 轴上M 点坐标为(),0m ，使得AM BM
=
依题意可得：AB MN ⊥
①当0k =时，直线l 平行于x 轴,易知:此时M 点与坐标原点重合，其坐标为()0,0;
②当0k ≠时,有1
MN
k
k
=-
, 即()2020222132333232
y k k x m k
k m k m k +===-
---+--+
从而212323k m k k k
=-=-++
而23k k
+≥
23k k
+≤-
故0m ≤<
或0m <≤
综上所述:实数m
的取值范围是m ≤≤
即点M
的横坐标的横坐标的取值范围是⎡
⎢⎣⎦
21。

解：（I ）当1a =时,()2
ln f x x
x x =+-，定义域为()0x ∈+∞，
其导函数为
()()()2211121'21x x x x f x x x x x
-++-=+-==
令()'0f x >可得：12
x >；令()'0f x <可得：102
x <<。

故函数()f x 的单调递增区间为1,2
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
,单调递减区间为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
（II ）()f x 的导函数为
()2121
'2x ax f x x a x x
+-=+-=
由函数()f x 在区间(]0,1上为减函数可得：
()'0f x ≤即2210x ax +-≤在区间(]0,1上恒成立
令()2
21g x x
ax =+- 易知()g 010=-<
可得:()121101g a a a =+-=+≤⇒≤-
故所求实数a 的取值范围为(],1-∞-
（III ）依题意可设切点坐标为()0
,x y ，()20
0000ln y
f x x ax x ==+-
则切线斜率()0
00
1'2k f x x
a x ==+-
切线方程为()()()0
'y f x f x x x -=-
由切线过坐标原点()0,0可得:()()()0
'f x f x x -=-
即有：()()0
'f x x f x =
于是可得：2
2000000001ln 221x ax x x x a x ax x ⎛⎫
+-=+-=+- ⎪⎝
⎭
从而2
0ln 10x
x +-=
令()2
ln 1h x x
x =+-，
因为其导函数()1'20h x x x
=+>在定义域()0,+∞上恒成立
所以()h x 在其定义域()0,+∞为增函数 而()10h =，故()2
ln 1h x x x =+-存在唯一零点1x =
故由20
0ln 10x
x +-=得:01x =
从而满足条件的切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1 。