2020届高考数学一轮总复习课时跟踪练(五十五)直线与圆、圆与圆的位置关系理(含解析)新人教A版

课时跟踪练(五十五)
A 组 基础巩固
1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2
＋y 2
＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．不确定
解析：由题意知点M 在圆外，则a 2
＋b 2
>1，圆心到直线的距离d ＝1
a 2＋
b 2
<1，故直线与
圆相交．
答案：B
2．已知圆x 2＋y 2
＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )
A ．－2
B ．－4
C ．－6
D ．－8
解析：由x 2
＋y 2
＋2x －2y ＋a ＝0， 得(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝2－a ，
所以圆心坐标为(－1，1)，半径r ＝2－a ， 圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|
2＝2，
所以22
＋(2)2
＝2－a ，解得a ＝－4. 答案：B
3．(2019·深圳调研)在平面直角坐标系中，直线y ＝2x 与圆O ：x 2
＋y 2
＝1交于A ，B 两点，α，β的始边是x 轴的非负半轴，终边分别在射线OA 和OB 上，则tan(α＋β)的值为( )
A ．－2 2
B ．－ 2
C ．0
D ．2 2
解析：由题可知tan α＝tan β＝2，那么tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝－22，
故选A.
答案：A
4．(2019·湖北四地七校联考)若圆O 1：x 2
＋y 2
＝5与圆O 2：(x ＋m )2
＋y 2
＝20相交于A ，
B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )
A ．3
B ．4
C ．2 3
D ．8
解析：连接O 1A ，O 2A ，由于⊙O 1与⊙O 2在点A 处的切线互相垂直，因此O 1A ⊥O 2A ，所以|O 1O 2|2
＝|O 1A |2
＋|O 2A |2
，即m 2
＝5＋20＝25，设AB 交x 轴于点C .
在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝
5
5，所以在Rt △ACO 2中， AC ＝AO 2·sin ∠AO 2O 1＝25×
5
5
＝2， 所以AB ＝2AC ＝4.故选B. 答案：B
5．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2
＋y 2
＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )
A ．[2，6]
B ．[4，8]
C ．[2，32]
D ．[22，32]
解析：设圆(x －2)2
＋y 2
＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2，0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得AB ＝22，所以△ABP 面积的最大值为1
2AB ·d max
＝6，△ABP 面积的最小值为1
2
AB ·d min ＝2.
综上，△ABP 面积的取值范围是[2，6]． 故选A. 答案：A
6．已知圆C 1：x 2
＋y 2
－6x －7＝0与圆C 2：x 2
＋y 2
－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为____________________
____________．
解析：因为圆C 1的圆心C 1(3，0)，圆C 2的圆心C 2(0，3)， 所以直线C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，
AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.
答案：x ＋y －3＝0
7．从圆x 2
－2x ＋y 2
－2y ＋1＝0外一点P (3，2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．
解析：由x 2
－2x ＋y 2
－2y ＋1＝0，得(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，则圆心为C (1，1)，|PC |＝（3－1）2
＋（2－1）2
＝ 5.
设两切点分别为B ，D ，则|CD |＝1，所以sin ∠CPD ＝
55
， 则cos ∠DPB ＝1－2 sin 2
∠CPD ＝1－25＝35，即两条切线夹角的余弦值为35.
答案：3
5
8．[一题多解](2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2
＋y 2
＝12交于A ，
B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于
C ，
D 两点．则|CD |＝________．
解析：法一 由圆x 2
＋y 2
＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝2 3.所以圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝
61＋3
＝3，|AB |＝2 12－32
＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .
如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. 因为直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， 所以k AB ＝
3
3
，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. 所以|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝23
3
2
＝4.
法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨
⎧x －3y ＋6＝0，
x 2＋y 2
＝12，
得y 2
－33y ＋6＝0，解得y 1＝3，y 2＝23， 所以A (－3，3)，B (0，23)． 过A ，B 作l 的垂线方程分别为
y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，
令y ＝0，得x C ＝－2，x D ＝2， 所以|CD |＝2－(－2)＝4. 答案：4
9．已知两圆C 1：x 2
＋y 2
－2x －6y －1＝0和C 2：x 2
＋y 2
－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；
(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
(1)证明：圆C 1的圆心为C 1(1，3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心为C 2(5，6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11，所以|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，所以圆C 1和圆C 2相交．
(2)解：圆C 1和圆C 2的方程左、右两边分别相减，得4x ＋3y －23＝0， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.
圆心C 2(5，6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离为|20＋18－23|
16＋9＝3，故公共弦长为216－9
＝27.
10．已知点P (2＋1，2－2)，M (3，1)，圆C ：(x －1)2
＋(y －2)2
＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；
(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． 解：由题意得圆心为C (1，2)，半径r ＝2. (1)因为(2＋1－1)2
＋(2－2－2)2
＝4， 所以点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－2
2＋1－1＝－1，
所以切线的斜率k ＝－
1
k PC
＝1.
所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)， 即x －y ＋1－22＝0.
(2)因为(3－1)2
＋(1－2)2
＝5＞4， 所以点M 在圆C 外部．
当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3， 即x －3＝0.
又点C (1，2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 所以直线x －3＝0是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |
k 2＋1
＝r ＝2，
解得k ＝3
4
.
所以切线方程为y －1＝3
4(x －3)，
即3x －4y －5＝0.
综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. 因为|MC |＝（3－1）2
＋（1－2）2
＝5，
所以过点M 的圆C 的切线长为|MC |2
－r 2
＝5－4＝1.
B 组 素养提升
11．(2019·广州综合测试〈二〉)已知k ∈R ，点P (a ，b )是直线x ＋y ＝2k 与圆x 2
＋y 2
＝k 2
－2k ＋3的公共点，则ab 的最大值为( )
A ．15
B ．9
C ．1
D ．－53
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧|2k |2≤k 2－2k ＋3，k 2－2k ＋3＞0，解得－3≤k ≤1.
因为点P 是直线与圆的公共点，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2k ，
a 2＋
b 2＝k 2
－2k ＋3， 即ab ＝32k 2＋k －32＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋132－53
，
所以当k ＝－3时，ab 取得最大值9，故选B. 答案：B
12．(2019·茂名模拟)若圆x 2
＋y 2
－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )
A ．[2－3，1]
B ．[2－3，2＋3]
C.⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
33，3 D ．[0，＋∞)
解析：圆x 2
＋y 2
－4x －4y －10＝0可化为 (x －2)2
＋(y －2)2
＝18，
则圆心坐标为(2，2)，半径为3 2.
由圆x 2
＋y 2
－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点的直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22可得，圆心到直线l ：ax ＋by ＝0的距离d ≤32－22＝2，
即
|2a ＋2b |
a 2＋
b 2
≤2， 则a 2
＋b 2＋4ab ≤0.①
若a ＝0，则b ＝0，不符合题意， 故a ≠0且b ≠0，则①可化为
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
＋4b
a ≤0，
由于直线l 的斜率k ＝－a
b
，
所以1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋4b a ≤0可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2
－4
k
≤0，
解得k ∈[2－3，2＋3]，故选B. 答案：B
13．[一题多解](2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →
＝0，则点A 的横坐标为________．
解析：法一 设A (a ，2a )，a >0，则C ⎝
⎛⎭
⎪
⎫a ＋52，a ，
所以圆C 的方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －
a ＋522
＋(y －a )2＝（a －5）2
4＋a 2，
由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋522
＋（y －a ）2＝
（a －5）2
4＋a 2，y ＝2x ，
得⎩
⎪⎨⎪⎧x D ＝1，y D ＝2，
所以AB →·CD →
＝(5－a ，－2a )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a －32，2－a ＝a 2－2a －152＋2a 2
－4a ＝0，所以a ＝3或
a ＝－1，
又a >0，所以a ＝3，所以点A 的横坐标为3.
法二 由题意易得∠BAD ＝45°. 设直线DB 的倾斜角为θ，
则tan θ＝－1
2
，
所以tan ∠ABO ＝－tan(θ－45°)＝3， 所以k AB ＝tan ∠ABO ＝－3. 所以AB 的方程为y ＝－3(x －5)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝－（3－5），y ＝2x ，得x A ＝3. 答案：3
14．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．
(1)求圆C 的方程；
(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心C (a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，
则
|4a ＋10|
5
＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C 的方程为x 2
＋y 2
＝4.
(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2
＝4，y ＝k （x －1）， 消去y 得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2
－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2
k 2＋1，x 1x 2＝k 2
－4k 2＋1.
若x 轴平分∠ANB ， 则k AN ＝－k BN ，即y 1
x 1－t ＋
y 2
x 2－t
＝0，
则
k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t
＝0，
即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，
即2（k 2
－4）k 2＋1－2k 2
（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，
所以当点N 坐标为(4，0)时，能使得x 轴平分∠ANB .。