离散型随机变量的均值与方差正态分布文稿演示
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【答案】 A
3．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则随机
变量η的均值E(η)及方差D(η)分别是( )
A．6和2.4
B．2和2.4
C．2和5.6
D．6和5.6
【解析】 设随机变量X的均值及方差分别为E(X)，D(X)， 因为X～B(10，0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6， D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4， 故E(η)＝E(8－X)＝8－E(X)＝2， D(η)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4. 【答案】 B
＝43×23×43×23＋2×14×23×34×23＋34×13× 34×23＝32. 所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为32. (2)由题意，得随机变量 X 可能的取值为 0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝41×13×41×13＝1144， P(X＝1)＝2×34×31×14×31＋14×32×14×31＝11404＝752， P(X＝2)＝43×13×43×13＋43×13×41×23＋41×23×43×13＋41×23×41 ×32＝12454，
P(E) ＝ P(ABCD) ＋ P( －A BCD) ＋ P(A －B CD) ＋ P(AB －C D) ＋ P(ABC－D )
＝ P(A)P(B)P(C)P(D) ＋ P( －A )P(B)P(C)P(D) ＋ P(A)P(－B )P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(－C )P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(－D )
称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画 了随机变量X与其均值E(X)的__平__均__偏__离__程__度___，并称其算
Байду номын сангаас
术平方根
为随机变量X的__标__准__差__.
2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝_a_E__(X__)＋__b_． (2)D(aX＋b)＝__a_2_D_(_X_)_．(a，b为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝__p_，D(X)＝ _p_(_1_－__p_)． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝_n_p_，D(X)＝__n_p_(1_－__p_)_.
【答案】 1＋a，4
题型一 离散型随机变量的均值、方差 角度一 求离散型随机变量的均值、方差 【例1】 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活 动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对， 则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；
如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分．已知甲每轮猜对的 概率是43，乙每轮猜对的概率是23，每轮活动中甲、乙猜对与否互 不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的 偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．
() 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
1．(教材改编)某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下：
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知 ξ 的均值 E(ξ)＝8.9，则 y 的值为( )
【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量， 它不确定．( )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离 均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均 程度越小．( )
(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是 正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( )
④曲线与x轴之间的面积为_1_； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着_μ__的变化 而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ_越__小__，曲线越“瘦 高”，表示总体的分布越集中；σ_越__大__，曲线越“矮胖”， 表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数a，b (a<b)，随机变量X满足 P(a<X≤b)＝ φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布， 记作__X_～__N__(μ_，__σ_2_)． 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝__0_.6_8_2__6； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝_0_._9_5_4__4； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝_0_._9_9_7__4.
4．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4， 若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…， y10的均值和方差分别为________．
【解析】 x1＋x2＋10…＋x10＝1，yi＝xi＋a，所以 y1，y2，…， y10 的均值为 1＋a，方差不变仍为 4.
离散型随机变量的均值与方差正态分布文稿演示
(1)均值 称 E(X) ＝ _x_1_p_1_＋__x_2p_2_＋__…__＋__x_i_p_i＋__…__＋__x_n_p_n__为随机变量
X 的 均 值 或数__学__期__望____．它反映了离散型随机变量取值的
_平__均__水__平__．
(2)方差
A．0.4
B．0.6
C．0.7
D．0.9
【解析】 【答案】 A
2．设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ＝k)＝51(k＝2，4，6，8，10)，
则 D(ξ)等于( )
A．8
B．5
C．10
D．12
【解析】 E(ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
D(ξ)＝51[（－4）2＋（－2）2＋02＋22＋42]＝8.
(1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率； (2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和均值 E(X)．
【解析】 (1)记事件A：“甲第一轮猜对”， 记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜 对”， 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，得 E＝ABCD＋－A BCD＋A－B CD＋AB－C D＋ABC－D ， 由事件的独立性与互斥性，
3．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则随机
变量η的均值E(η)及方差D(η)分别是( )
A．6和2.4
B．2和2.4
C．2和5.6
D．6和5.6
【解析】 设随机变量X的均值及方差分别为E(X)，D(X)， 因为X～B(10，0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6， D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4， 故E(η)＝E(8－X)＝8－E(X)＝2， D(η)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4. 【答案】 B
＝43×23×43×23＋2×14×23×34×23＋34×13× 34×23＝32. 所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为32. (2)由题意，得随机变量 X 可能的取值为 0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝41×13×41×13＝1144， P(X＝1)＝2×34×31×14×31＋14×32×14×31＝11404＝752， P(X＝2)＝43×13×43×13＋43×13×41×23＋41×23×43×13＋41×23×41 ×32＝12454，
P(E) ＝ P(ABCD) ＋ P( －A BCD) ＋ P(A －B CD) ＋ P(AB －C D) ＋ P(ABC－D )
＝ P(A)P(B)P(C)P(D) ＋ P( －A )P(B)P(C)P(D) ＋ P(A)P(－B )P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(－C )P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(－D )
称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画 了随机变量X与其均值E(X)的__平__均__偏__离__程__度___，并称其算
Байду номын сангаас
术平方根
为随机变量X的__标__准__差__.
2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝_a_E__(X__)＋__b_． (2)D(aX＋b)＝__a_2_D_(_X_)_．(a，b为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝__p_，D(X)＝ _p_(_1_－__p_)． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝_n_p_，D(X)＝__n_p_(1_－__p_)_.
【答案】 1＋a，4
题型一 离散型随机变量的均值、方差 角度一 求离散型随机变量的均值、方差 【例1】 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活 动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对， 则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；
如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分．已知甲每轮猜对的 概率是43，乙每轮猜对的概率是23，每轮活动中甲、乙猜对与否互 不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的 偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．
() 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
1．(教材改编)某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下：
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知 ξ 的均值 E(ξ)＝8.9，则 y 的值为( )
【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量， 它不确定．( )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离 均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均 程度越小．( )
(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是 正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( )
④曲线与x轴之间的面积为_1_； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着_μ__的变化 而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ_越__小__，曲线越“瘦 高”，表示总体的分布越集中；σ_越__大__，曲线越“矮胖”， 表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数a，b (a<b)，随机变量X满足 P(a<X≤b)＝ φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布， 记作__X_～__N__(μ_，__σ_2_)． 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝__0_.6_8_2__6； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝_0_._9_5_4__4； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝_0_._9_9_7__4.
4．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4， 若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…， y10的均值和方差分别为________．
【解析】 x1＋x2＋10…＋x10＝1，yi＝xi＋a，所以 y1，y2，…， y10 的均值为 1＋a，方差不变仍为 4.
离散型随机变量的均值与方差正态分布文稿演示
(1)均值 称 E(X) ＝ _x_1_p_1_＋__x_2p_2_＋__…__＋__x_i_p_i＋__…__＋__x_n_p_n__为随机变量
X 的 均 值 或数__学__期__望____．它反映了离散型随机变量取值的
_平__均__水__平__．
(2)方差
A．0.4
B．0.6
C．0.7
D．0.9
【解析】 【答案】 A
2．设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ＝k)＝51(k＝2，4，6，8，10)，
则 D(ξ)等于( )
A．8
B．5
C．10
D．12
【解析】 E(ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
D(ξ)＝51[（－4）2＋（－2）2＋02＋22＋42]＝8.
(1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率； (2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和均值 E(X)．
【解析】 (1)记事件A：“甲第一轮猜对”， 记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜 对”， 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，得 E＝ABCD＋－A BCD＋A－B CD＋AB－C D＋ABC－D ， 由事件的独立性与互斥性，