招生国统一考试模拟数学试题二文试题

〔金卷〕2021年普通高等招生全国统一考试模拟数学试题二
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日
第一卷〔一共60分〕
一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
{}3,2,1,0,1,2,3A =---，
集合{}1,0,1,3A =-，集合{}3,2,1,3B =---，那么()U C A B ⋃=〔 〕 A ．{}3,2,1-- B ．{}2,1,1-- C ．{}2 D ．{}1,2,3-
2. 复数z 满足()20181z i i +=〔i 是虚数单位〕，那么复数z 在复平面内对应的点所在象限为〔 〕 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
()()2
1ln 214f x x x
=
++-的定义域为〔 〕
A ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
C ．1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦
D ．1,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现项园中随机投掷一个点，那么该点落在正六边形内的概率为〔 〕
A 332π
B 332π
C 322π
D 32
π
()2222
10,0x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线4310x y ++=垂直，且焦点在圆
()2
2126x y +-=上，那么该双曲线的HY 方程为〔 〕
A ．221916x y -=
B ．221169x y -=
C ．22134x y -=
D ．22
143
x y -=
6.执行如下图的程序框图，假设输入的0.05t =，那么输出的n 为〔 〕
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
{}n a 的前n 项和为n S ，1133,2n n a a S ++==，那么5a =〔 〕
A ．33
B ．43
C ．53
D ．63
8.将函数()()sin 206f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭的图象向左平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，
假设函数()g x 图象的两条相邻的对称轴间的间隔 为2
π
，那么函数()g x 的—个对称中心为
〔 〕
A ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
9.榫卯是在两个木构件上所采用的一中凹凸结合的连接方式，凸出局部叫榫，凹进局部叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：的紫禁城、天坛祈年殿、悬空寺等，如下图是一种榫卯的三视图，其外表积为〔 〕
A ．812π+
B ．816π+
C ．912π+
D ．916π+
10.实数,x y 满足约束条件0,20,3,x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
当且仅当1x y ==时，目的函数z kx y =+取大值，
那么实数k 的取值范围是〔 〕
A ．(),1-∞
B ．(),1-∞-
C ．()1,-+∞
D ．()1,+∞ 11.0a >，命题:p 函数()()2lg 23f x ax x =++的值域为R ，命题:q 函数()a
g x x x
=+
在区间()1,+∞内单调递增.假设p q ⌝∧是真命题，那么实数a 的取值范围是〔 〕
A ．(],0-∞
B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．1,13⎛⎤
⎥⎝⎦
()ln ,0
,0
x x f x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩与()1g x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的点，那么实数a 的取值
范围是〔 〕
A ．R
B ．(],e -∞-
C ．[),e +∞
D ．∅
第二卷〔一共90分〕
二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕
13.在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，20BD CD +=，假设(),AD mAB nAC m n R =+∈，那么n = ．
14.焦点在x 轴上的椭圆22
2121
x y m m +=+220y -+=上，那么椭圆的离
心率为 ．
15.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，假设()sin cos sin 1cos C A B C =-，且,33
A b π
=
=，那么c = ．
16.如图，在矩形ABCD 中，2AD =，E 为AB 边上的点，项将ADE ∆沿DE 翻折至A DE '∆，使得点A '在平面EBCD 上的投影在CD 上，且直线A D '与平面EBCD 所成角为30︒，那么线段AE 的长为 ．
三、解答题 〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕
{}n a 的前n 项和为n S ，15965,3a a a S =+=.
〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕假设数列{}n b 满足11n n n b a a ++=，且16b a =，求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是PD 的中点，棱PA 与平面BCE 交于点F .
〔1〕求证://AD EF ；
〔2〕假设PAB ∆是正三角形，求三棱锥P BEF -的体积.
统计局就某地居民的收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图〔每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)1000,1500〕.
〔1〕求居民收入在[)3000,3500的频率；
〔2〕根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；
〔3〕为了分析居民的收人与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，那么月收入在[)2500,3000内应抽取多少人？ F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的直线l 交抛物线于,A B 两点.
〔1〕假设直线l 的斜率为1，8AB =，求抛物线C 的方程；
〔2〕假设抛物线C 的准线与x 轴交于点()1,0P -，(:23:1APF BPF S S ∆∆=，求PA PB ⋅的值. 21.函数()2ln ,f x x x ax a R =++∈.
〔1〕当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；
〔2〕假设()1212,x x x x <是函数()f x 的导函数()f x '的两个零点，当(),3a ∈-∞-时，求证：()()123
ln 24
f x f x ->
-. 请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21
43x t y t =-⎧⎨=-+⎩
〔t 为参数〕，以原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224πρθ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
〔1〕求曲线1C 的普通方程与2C 的直角坐标方程； 〔2〕判断曲线12,C C 是否相交，假设相交，求出相交弦长.
23.选修4-5：不等式选讲 函数()212f x x x =-++. 〔1〕求不等式()0f x >的解集；
〔2〕假设对任意的[),x m ∈+∞，都有()f x x m ≤-成立，务实数m 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: CBDAB 6-10: CCDBB 11、12：DC 二、填空题
13.13 14. 2
3
三、解答题
17. 解：〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ， 由15965,3a a a S =+=, 得 ()()65
35458652
d d d ⨯+++=⨯+， 解得2d =.
所以()()()*1152123n a a n d n n n N =+-=+-=+∈. 〔2〕由〔1〕得，1626315b a ==⨯+=. 又因为11n n n b a a ++=，
所以当2n ≥时，()()12321n n n b a a n n -==++ 当1n =时，15315b =⨯=，符合上式， 所以()()2321n b n n =++. 所以
()()11111232122123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭
. 所以11111
11235572123n T n n ⎛⎫=-+-+
+
- ⎪++⎝⎭()
1112323323n
n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭. 18. 解：〔1〕因为底面ABCD 是边长为2的正方形， 所以//BC AD .
又因为BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以//BC 平面PAD .
又因为,,,B C E F 四点一共面，且平面BCEF ⋂平面PAD EF =， 所以//BC EF .
又因为//BC AD ，所以//AD EF . 〔2〕因为//AD EF ，点E 是PD 的中点， 所以点F 为PA 的中点，1
12
EF AD =
=. 又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB AD AB =⊥， 所以AD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB . 又因为PAB ∆是正三角形， 所以2PA PB AB ===，
所以12PBF PBA S S ∆∆=
=
又1EF =，
所以113P BEF B PEF V V --===
故三棱锥P BEF -
. 19.解：〔1〕由题知，月收入在[)3000,3500的频率为0.00035000.15⨯=.
〔2〕从左数第一组的频率为0.00025000.1⨯=，第二组的频率为0.00045000.2⨯=， 第三组的频率为0.00055000.25⨯=， ∴中位数在第三组， 设中位数为2000x +，
那么0.00050.50.10.2x ⨯=--，解得400x =， ∴中位数为2400.
由12500.117500.222500.2527500.2532500.1537500.052400⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 得样本数据的平均数为2400.
〔3〕月收入在[)2500,3000的频数为0.25100002500⨯=〔人〕， ∵抽取的样本容量为100， ∴抽取的比例为
1001
10000100
=
， ∴月收入在[)2500,3000内应抽取的人数为1
250025100
⨯=〔人〕. 20.解：〔1〕由题意知，直线l 的方程为2
p y x =-. 联立2,22,
p y x y px ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
得22
304p x px -+
=. 设,A B 两点的坐标分别为()(),,,A A B B x y x y ， 那么3A B x x p +=.
由抛物线的性质，可得4822
A B A B p p
AB FA FB x x x x p p =+=+++=++==， 解得2p =，
所以抛物线C 的方程为24y x =.
〔2〕由题意，得()1,0F ，抛物线2:4C y x =， 设直线l 的方程为1x my =+，()()1122,,,A x y B x y ， 联立21,4,
x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=.
所以1212
4,4,y y m y y +=⎧⎨=-⎩①
因为(:2:1APF BPF S S ∆∆=，
所以
2AF BF
=.
因为,,A F B 三点一共线，且,AF FB 方向一样， 所以()
23AF FB =
-，
所以()(()11221,21,x y x y --
=-， 所以)
122y y
=
-，
代入①，得))222
14,
2 4.
y m y
⎧
-=⎪
⎨
-=-⎪⎩
解得212
m =
， 又因为()1,0P -，
所以()()11221,,1,PA x y PB x y =+=+， 所以()()11221,1,PA PB x y x y ⋅=+⋅+ ()1212121x x x x y y =++++
()()()1212111114my my my my =+++++++- ()212122m y y m y y =++
2224842m m m =-+==.
21.解：〔1〕当1a =-时，()2ln f x x x x =+-，()1
21f x x x
'=+-， 所以()1ln1110f =+-=，()11212f '=+-=. 所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()21y x =-， 即220x y --=.
〔2〕由题得，()()2121
20x ax f x x a x x x
++'=++=>.
因为12,x x 是导函数()f x '的两个零点， 所以12,x x 是方程210ax ax ++=的两根， 故121210,22
a x x x x +=-
>=. 令()221g x x ax =++， 因为(),3a ∈-∞-，
所以13
022a g +⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()130g a =+<，
所以()1210,,1,2x x ⎛⎫
∈∈+∞ ⎪⎝⎭
，
且22
112221,21ax x ax x =--=--，
所以()()()()()2222
111212121222
ln ln x x f x f x x x ax ax x x x x -=+-+-=--+， 又因为121
2
x x =
，所以1212x x =，
所以()()()()22
1212122
1ln 2,1,4f x f x x x x x -=-
-∈+∞， 令()2
222,t x =∈+∞，()()()121
ln 22t h t f x f x t t
=-=
--. 因为()()2
22
11110222t h t t t t -'=+-=>，
所以()h t 在区间()2,+∞内单调递增， 所以()()3
2ln 24h t h >=-， 即()()123
ln 24
f x f x ->
-. 22.解：〔1〕由题知，将曲线1C 的参数方程消去参数t ，
可得曲线1C 的普通方程为210x y +-=.
由4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 得()22cos sin ρρθρθ=+.
将222x y ρ=+，cos ,sin x y ρθρθ==代入上式， 得2222x y x y +=+，
即()()22
112x y -+-=.
故曲线2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=.
〔2〕由〔1〕知，圆2C 的圆心为()1,1
，半径R =，
因为圆心到直线1C 的间隔
d <， 所以曲线12,C C 相交，
所以相交弦长为
==23.解：〔1〕当2x ≤-时，不等式转化为()()2120x x --++>，解得2x ≤-； 当122x -<<
时，不等式转化为()()2120x x ---+>，解得123x -<<-； 当12
x ≥ 时，不等式转化为()()2120x x --+>，解得3x >. 综上所述，不等式()0f x >的解集为{13
x x <-或者}3x >. 〔2〕由〔1〕得，()3,2,131,2,213,,2
x x f x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩ 作出其函数图象如下图：
令y x m
=-，
假设对任意的[)
,
x m
∈+∞，都有()
f x x m
≤-成立，
即函数()
f x的图象在直线y x m
=-的下方或者在直线y x m
=-上. 当2
m≤-时，30
m
-+≤，无解；
当
1
2
2
m
-<<时，310
m
--≤，解得
11
32
m
-≤<；
当
1
2
m≥时，30
m-≤，解得
1
3
2
m
≤≤.
综上可知，当
1
3
3
m
-≤≤时满足条件，
故实数m的取值范围是
1
,3
3
⎡⎤
-⎢⎥.
创作人：历恰面日期：2020年1月1日。