重庆市第一中学2020-2021学年高一下学期4月月考数学试题
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【详解】
由题意可知，函数 的周期为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查正切型函数周期的计算，利用正切型函数的周期公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
4．D
【分析】
利用平面向量垂直的坐标表示得出关于 的方程，解出即可.【详解】， ，来自 ， ，解得 .故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量垂直的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.
即 ，整理得 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选C.
【点睛】
本题考查利用余弦定理求三角形中参数的取值范围，解题时要结合三角形已知元素类型选择正弦、余弦定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.
9．D
【分析】
设向量 、 的夹角为 ，向量 与 的夹角为 ，利用 ， 求出 的值，然后利用平面向量的数量积可求出向量 与 的夹角 的值.
【详解】
设向量 、 的夹角为 ，向量 与 的夹角为 ，
， ，在等式 两边平方得 ，
，即 ，得 ， .
， .
所以， ， ，因此， .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用平面向量的数量积计算两向量的夹角，同时也考查了利用向量的模来计算向量的夹角，一般将模的等式平方，结合平面向量的数量积来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
（1）请计算 的面积；
（2）计算 的距离.
20．在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，若 ， ，且 .
（1）求角 ；
（2）当 ， 时，求边长 和角 的大小.
21．如图，△ABC中．角A、B、C所对边的长分别为a、b、c满足c=1， 以AB为边向△ABC外作等边三角形△ABD．
(1)求∠ACB的大小；
【详解】
，因此， ，故选：C.
【点睛】
本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2．B
【分析】
利用换底公式可计算出 的值.
【详解】
由换底公式得 ，
故选B.
【点睛】
本题考查对数的运算，利用换底公式进行计算是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题.
3．A
【分析】
利用正切型函数的周期公式可计算出函数 的周期.
C．向左平移 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
D．向左平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变
11．如图所示，在 中， 、 分别为 、 上的两点，且 ， ，则 的值为（）．
A． B． C． D．
12．设 的内角 、 、 所对的边 、 、 满足 ，则 的取值范围是（）
A． B．
(2)设∠ABC= ．试求函数 的最大值及 取得最大值时的 的值．
22．在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，若 .
（1）判断 的形状，并证明；
（2）若 ， ， 为满足题设条件的所有 中线段 上任意一点（可与端点重合），求 的最小值.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
求出集合 ，然后利用交集的定义可求出集合 .
4．已知 ， ，且 ，则 等于（）
A． B． C． D．
5．数列 满足， ，若 ， ，则下列说法正确的是（）
A． B． C． D．
6．如图， 、 为互相垂直的两个单位向量，则 （）
A． B． C． D．
7．在 中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为 ，则角A等于（）
A． B． C． D．
10．A
【分析】
利用图象求出函数 的解析式，然后利用三角函数变换规律可得出正确选项.
【详解】
由图形可得 ， ， ，
，且 ，因此， .
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量模的计算，解题的关键就是将向量利用基底进行表示，考查运算求解能力，属于中等题.
7．B
【分析】
根据余弦定理可得 ，再根据面积公式可得 ，从而可求出角 ．
【详解】
解：由余弦定理得 ，
又根据三角形面积公式得 ，
∴ ，
又角 为 的内角，
C． D．
二、填空题
13．已知 ，则 的值为_________.
14．已知 ， ，且 和 平行，则 的值为________.
15．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,点P是斜边AB上的一个三等分点，则 _____．
16．若 、 、 为 角 、 、 的对边，且 ， ，则 ________.
重庆市第一中学【最新】高一下学期4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，那么 （）
A． B． C． D．
2．计算 的值为（）
A． B． C． D．
3．函数 的周期为（）
A． B． C． D．
∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属于基础题．
8．C
【分析】
由 为最大角，得出 的对边最长，并得出 ，由余弦定理得出 ，然后利用余弦定理可得出关于 的不等式，解出即可.
【详解】
由于 为最大角，则 的对边最长，则 ，得出 .
，得 ，
由于 为锐角三角形，则 ， ，则 .
8．在锐角 中， 为最大角，且 ，则实数 的取值范围是（）．
A． B． C． D．
9．若 ， ，则向量 与 的夹角为（）
A． B． C． D．
10．如图是函数 在区间 上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将 的图象上的所有的点（）
A．向左平移 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
B．向左平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，设 、 、 .
（1）若 、 、 三点共线，求 的值；
（2）若 在 的延长线上，且 ，求 点坐标.
18．已知 ， ， .
（1）求 与 的夹角 ；
（2）求 .
19．如图是某一河流地区平面示意图， 、 、 为三块湖泊区域，现在某勘测队要测量 之间的距离，为了减少成本只能在河流的西侧（如图左侧）测量.勘测队员在 处测得 ，然后到 点测量出 ， ，且 ，最后又在 处测量到 ， ，且 .（在本题目中 ， ，以下计算最终结果都保留一位小数）
5．B
【分析】
利用递推公式求出数列 的周期，并计算出该数列的前 项，可得出 的值.
【详解】
由题意得 ， ，
， ， ，因此， .
故选B.
【点睛】
本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，利用递推公式求出数列的周期是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
6．A
【分析】
利用图形得出向量 、 关于 、 的表达式，并计算出 ，然后利用平面向量数量积来计算 的值.
由题意可知，函数 的周期为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查正切型函数周期的计算，利用正切型函数的周期公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
4．D
【分析】
利用平面向量垂直的坐标表示得出关于 的方程，解出即可.【详解】， ，来自 ， ，解得 .故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量垂直的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.
即 ，整理得 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选C.
【点睛】
本题考查利用余弦定理求三角形中参数的取值范围，解题时要结合三角形已知元素类型选择正弦、余弦定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.
9．D
【分析】
设向量 、 的夹角为 ，向量 与 的夹角为 ，利用 ， 求出 的值，然后利用平面向量的数量积可求出向量 与 的夹角 的值.
【详解】
设向量 、 的夹角为 ，向量 与 的夹角为 ，
， ，在等式 两边平方得 ，
，即 ，得 ， .
， .
所以， ， ，因此， .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用平面向量的数量积计算两向量的夹角，同时也考查了利用向量的模来计算向量的夹角，一般将模的等式平方，结合平面向量的数量积来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
（1）请计算 的面积；
（2）计算 的距离.
20．在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，若 ， ，且 .
（1）求角 ；
（2）当 ， 时，求边长 和角 的大小.
21．如图，△ABC中．角A、B、C所对边的长分别为a、b、c满足c=1， 以AB为边向△ABC外作等边三角形△ABD．
(1)求∠ACB的大小；
【详解】
，因此， ，故选：C.
【点睛】
本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2．B
【分析】
利用换底公式可计算出 的值.
【详解】
由换底公式得 ，
故选B.
【点睛】
本题考查对数的运算，利用换底公式进行计算是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题.
3．A
【分析】
利用正切型函数的周期公式可计算出函数 的周期.
C．向左平移 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
D．向左平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变
11．如图所示，在 中， 、 分别为 、 上的两点，且 ， ，则 的值为（）．
A． B． C． D．
12．设 的内角 、 、 所对的边 、 、 满足 ，则 的取值范围是（）
A． B．
(2)设∠ABC= ．试求函数 的最大值及 取得最大值时的 的值．
22．在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，若 .
（1）判断 的形状，并证明；
（2）若 ， ， 为满足题设条件的所有 中线段 上任意一点（可与端点重合），求 的最小值.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
求出集合 ，然后利用交集的定义可求出集合 .
4．已知 ， ，且 ，则 等于（）
A． B． C． D．
5．数列 满足， ，若 ， ，则下列说法正确的是（）
A． B． C． D．
6．如图， 、 为互相垂直的两个单位向量，则 （）
A． B． C． D．
7．在 中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为 ，则角A等于（）
A． B． C． D．
10．A
【分析】
利用图象求出函数 的解析式，然后利用三角函数变换规律可得出正确选项.
【详解】
由图形可得 ， ， ，
，且 ，因此， .
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量模的计算，解题的关键就是将向量利用基底进行表示，考查运算求解能力，属于中等题.
7．B
【分析】
根据余弦定理可得 ，再根据面积公式可得 ，从而可求出角 ．
【详解】
解：由余弦定理得 ，
又根据三角形面积公式得 ，
∴ ，
又角 为 的内角，
C． D．
二、填空题
13．已知 ，则 的值为_________.
14．已知 ， ，且 和 平行，则 的值为________.
15．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,点P是斜边AB上的一个三等分点，则 _____．
16．若 、 、 为 角 、 、 的对边，且 ， ，则 ________.
重庆市第一中学【最新】高一下学期4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，那么 （）
A． B． C． D．
2．计算 的值为（）
A． B． C． D．
3．函数 的周期为（）
A． B． C． D．
∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属于基础题．
8．C
【分析】
由 为最大角，得出 的对边最长，并得出 ，由余弦定理得出 ，然后利用余弦定理可得出关于 的不等式，解出即可.
【详解】
由于 为最大角，则 的对边最长，则 ，得出 .
，得 ，
由于 为锐角三角形，则 ， ，则 .
8．在锐角 中， 为最大角，且 ，则实数 的取值范围是（）．
A． B． C． D．
9．若 ， ，则向量 与 的夹角为（）
A． B． C． D．
10．如图是函数 在区间 上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将 的图象上的所有的点（）
A．向左平移 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
B．向左平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，设 、 、 .
（1）若 、 、 三点共线，求 的值；
（2）若 在 的延长线上，且 ，求 点坐标.
18．已知 ， ， .
（1）求 与 的夹角 ；
（2）求 .
19．如图是某一河流地区平面示意图， 、 、 为三块湖泊区域，现在某勘测队要测量 之间的距离，为了减少成本只能在河流的西侧（如图左侧）测量.勘测队员在 处测得 ，然后到 点测量出 ， ，且 ，最后又在 处测量到 ， ，且 .（在本题目中 ， ，以下计算最终结果都保留一位小数）
5．B
【分析】
利用递推公式求出数列 的周期，并计算出该数列的前 项，可得出 的值.
【详解】
由题意得 ， ，
， ， ，因此， .
故选B.
【点睛】
本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，利用递推公式求出数列的周期是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
6．A
【分析】
利用图形得出向量 、 关于 、 的表达式，并计算出 ，然后利用平面向量数量积来计算 的值.