苏教版高中数学必修四学三角函数任意角的三角函数二同步训练

1.2.1 任意角的三角函数(二)
一、填空题
1．有三个命题：①π6和5π6的正弦线相等；②π3和4π3的正切线相等；③π4和5π4
的余弦线相等．
其中正确说法有________．
2．函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3的定义域为________． 3．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列是________．
4．不等式tan α＋33
>0的解集是______________． 5．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________.
6．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12
，则角α的取值范围是________． 7．函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为________．
8．如果π4<α<π2
，那么下列不等式成立的是______．(填写所有正确的序号) ①cos α<sin α<tan α；
②tan α<sin α<cos α；
③tan (－α)<sin (－α)<cos (－α)；
④cos (－α)<sin (－α)<tan (－α) .
二、解答题
9．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合：
(1)sin x >－12且cos x >12
；(2)tan x ≥－1. 10．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ
2
的大小． 11．设π2
>α>β>0，求证：α－β>sin α－sin β. 三、探究与拓展
12．当α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α.
答案
1．①② 2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋5π6，k ∈Z 3．c <a <b 4.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π
2，k ∈Z
5.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π
4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤5
4π，2π
6.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π
3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π
3，2π
7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π
4，k π＋π
4，k ∈Z
8．①③
9．解
(1)由图(1)知：当sin x >－1
2且cos x >1
2时，
角x 满足的集合为：
⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x |－π
6＋2k π<x <π3＋2k π，k ∈Z .
(2)由图(2)知：当tan x ≥－1时，角x 满足的集合为：
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π
4≤x <2k π＋π
2，k ∈Z
∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋3
4π≤x <2k π＋3
2π，k ∈Z
＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n π－π
4≤x <n π＋π
2，n ∈Z .
10．解 θ是第二象限角，
即2k π＋π
2<θ<2k π＋π (k ∈Z )，
故k π＋π
4<θ
2<k π＋π
2 (k ∈Z )．
作出θ
2所在范围如图所示．
当2k π＋π
4<θ
2<2k π＋π
2 (k ∈Z )时，
易知OM <MP <AT .∴cos θ2<sin θ2<tan θ
2；
当2k π＋5
4π<θ
2<2k π＋3
2π(k ∈Z )时，
易知MP <OM <AT .∴sin θ2<cos θ2<tan θ
2.
11．证明 如图所示，设单位圆与角α、β的终边分别交于P 1、P 2，作P 1M 1⊥x 轴于M 1，作
P 2M 2⊥x 轴于M 2，作P 2C ⊥P 1M 1于C ，连结P 1P 2，则sin α＝M 1P 1，sin β＝M 2P 2，α－β＝P 1P 2，
∴α－β＝P 1P 2>P 1P 2>CP 1＝M 1P 1－M 1C ＝M 1P 1－M 2P 2＝sin α－sin β，即α－β>sin α－ sin β.
12．证明 如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、
正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α.
因为S △AOP ＝12OA ·MP ＝12
sin α， S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12
α， S △AOT ＝12OA ·AT ＝12
tan α，又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ， 所以12sin α<12α<12
tan α，即sin α<α<tan α.。