2018版高三新课标版·数学(理)总复习题组层级快练66Word版含解析

题组层级快练(六十六)
1．(2017·辽宁五校期末联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B.12 C.32 D.52
答案 C
解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∵|AB|＝4，∴x 1＋12＋x 2＋1
2＝4，∴x 1＋x 2＝3.
∴C 点横坐标为3
2
，故选C.
2．(2014·新课标全国Ⅱ，文)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB|＝( ) A.
30
3
B ．6
C ．12
D ．7 3 答案 C
解析 先求解直线的方程，再进一步根据抛物线的定义求解弦长． ∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F(3
4，0)．
∴AB 的方程为y －0＝tan30°(x －34)，即y ＝33x －3
4.
联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2
＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋3
16＝0.
∴x 1＋x 2＝－－
7
213＝212，即x A ＋x B ＝21
2.
由于|AB|＝x A ＋x B ＋p ，所以|AB|＝
212＋3
2
＝12. 3．已知直线ax ＋y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为
( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
答案 C
解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F(1，0)，点F 在直线ax ＋y ＋1＝0上，∴a ＋1＝0，即a ＝－1，
∴直线方程为x －y －1＝0.联立⎩
⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，
y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0.设直线与抛物线交于点A(x 1，
y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，∴|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.
4．已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴的交点为A ，焦点为F ，l 是过点A 且倾斜角为π
3的直
线，则点F 到直线l 的距离等于( ) A ．1 B. 3 C ．2 D ．2 3
答案 B
解析 A(－1，0)，F(1，0)，直线的方程为y ＝3(x ＋1)，点F 到直线y ＝3(x ＋1)的距离d ＝
|23|
（3）2
＋1
＝ 3.
5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷条 D ．不存在
答案 B
解析 方法一：过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点， 若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．故设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 方程为y ＝k(x －1)，代入抛物线y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. ∵A ，B 两点的横坐标之和等于5，∴2（k 2＋2）k 2
＝5，k 2＝43，k ＝±2
3 3. 即这样的直线有且仅有两条．
方法二：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5. ∴|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7>2p ＝4.即|AB|>通径． ∴这样的直线有两条，选B.
6．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k(x ＋2)与抛物线交于A ，B 两点，则直线FA 与直线FB 的斜率之和为( ) A ．0 B ．2 C ．－4 D ．4
答案 A
解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则联立⎩⎪⎨⎪
⎧y 2＝8x ，y ＝k （x ＋2），
得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以
x 1x 2＝ 4.由k FA ＋k FB ＝
y 1x 1－2＋y 2
x 2－2＝k （x 1＋2）x 1－2＋k （x 2＋2）x 2－2
＝
k （x 1＋2）（x 2－2）＋k （x 1－2）（x 2＋2）（x 1－2）（x 2－2）＝2k （x 1x 2－4）
（x 1－2）（x 2－2），将x 1x 2＝4代入，得k FA
＋k FB ＝0.
7．(2017·铜川一模)已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为3
2
，则|AB|的最大值为
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 D
解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤4，当直线AB 过焦点F 时，|AB|取得最大值4.
8．(2017·郑州第一次质量预测)已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝2 C ．x ＝－1 D ．x ＝－2 答案 C
解析 由题意可设直线方程为y ＝－(x －p
2)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程
⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（x －p 2），
y 2＝2px ，
消元得4x 2－12px ＋p 2＝0，∴x 1＋x 2＝3p.∴p ＝2，即抛物线方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.
9．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M(－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →
＝0，则k ＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2
答案 D
解析 由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2，0)，则直线AB 的方程为y ＝k(x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4（k 2＋2）
k 2
，x 1x 2＝4.
① 由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝k （x 1－2），y 2＝k （x 2－2）⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝k （x 1＋x 2）－4k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4].
②③
∵MA →·MB →
＝0，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0.
∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0， 即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0. ④
由①②③④式，解得k ＝2.故选D.
10．抛物线y ＝2x 2上两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，若x 1x 2＝－1
2，则
2m 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
答案 A
解析 由已知得k AB ＝－1，且AB 的中点C(x 0，y 0)在直线y ＝x ＋m 上，设直线AB 的方程
为y ＝－x ＋n ，联立⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝－x ＋n ，y ＝2x 2
，
消去y 并整理得2x 2＋x －n ＝0， 依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1＋8n>0，x 1x 2＝－n 2＝－12，∴n ＝1.又x 1＋x 2＝－12，∴x 0＝－14，y 0＝－x 0＋1＝5
4.
∵点C(x 0，y 0)在直线y ＝x ＋m 上，∴54＝－14＋m ，解得m ＝3
2，∴2m ＝3，故选A.
11.(2017·河南豫东、豫北十所名校)如图所示，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4＋22，则p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.5
2 D ．3
答案 B
解析 过B 作准线的垂线BB ′，则|BB ′|＝|BF|，由|BC|＝2|BF|，得直线l 的倾斜角为45°.设A(x 0，y 0)，由|AF|＝4＋22，得x 0－p 2＝2
2|AF|＝2＋2 2.∴(2＋22)＋p ＝4＋22，∴p
＝2.
12．(2017·四川成都一中模拟)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ⊥OB(其中O 为坐标原点)，则△AOB 与△AOF 面积之和的最小值是( ) A ．16 B ．8 3 C ．8 5 D ．18 答案 C
解析 设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，
点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M(m ，0)， 将x ＝ty ＋m 代入y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0， 根据根与系数的关系有y 1y 2＝－4m.
∵OA ⊥OB ，∴OA →·OB →
＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，从而(14y 1×14y 2)2＋y 1y 2＝0.
∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴y 1y 2＝－16，故m ＝4. 不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，
又F(1，0)，∴S △ABO ＋S △AFO ＝12×4(y 1－y 2)＋12y 1＝52y 1＋32
y 1≥85，
当且仅当52y 1＝32y 1，即y 1＝85
5时，取“＝”，
∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是85，故选C.
13．(2016·四川，理)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px(p>0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22
D ．1
答案 C
解析 设P(t 22p ，t)，易知F(p
2，0)，则由|PM|＝2|MF|，得M(p ＋
t 22p 3，t 3)，当t ＝0时，直线OM
的斜率k ＝0，当t ≠0时，直线OM 的斜率k ＝t p ＋t 22p ＝1p t ＋t 2p ，所以|k|＝1
p |t|＋|t|
2p ≤1
2p |t|·|t|2p
＝22，当且仅当p |t|＝|t|2p 时取等号，于是直线OM 的斜率的最大值为2
2
，选C. 14．已知抛物线y 2＝4x ，过点P(4，0)的直线与抛物线交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，则y 12＋y 22的最小值是________． 答案 32
解析 设直线方程为x ＝ky ＋4，与抛物线联立得 y 2－4ky －16＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16. ∴y 12＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32. 故最小值为32.
15．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF|＝2，则|BF|＝________． 答案 2
解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F(1，0)，p ＝2.由1|AF|＋1|BF|＝2p ，即12＋1|BF|＝22，
∴|BF|＝2.
16．(2017·辽宁五校协作体期末)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角
为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF|
|BF|的值等于________．
答案 3
解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 12＝2px 1，y 22＝2px 2， |AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 260°＝83
p ，即有x 1＋x 2＝5
3p ，
由于直线l 的倾斜角为60°，则直线l 的方程为y －0＝3(x －p
2)，
即y ＝3x －
3
2
p ，联立抛物线方程，消去y 并整理，得12x 2－20px ＋3p 2＝0， 则x 1x 2＝p 2
4，可得x 1＝32p ，x 2＝16p ，则|AF||BF|＝32
p ＋12p
12p ＋1
6
p ＝3.
17．(2017·浙江杭州七校模拟质量检测)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点(0，3)的直线与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，若|AF|＋|BF|＝6，则点D 的坐标为________． 答案 (4，0)
解析 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋3，代入抛物线y 2＝4x ， 整理得k 2x 2＋(6k －4)x ＋9＝0.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6k －4k 2，由|AF|＋|BF|＝6，得(x 1＋p 2)＋(x 2＋p
2)＝x 1＋
x 2＋p ＝－6k －4k 2＋2＝6，解得k ＝－2，k ＝1
2
(舍去)，
所以线段AB 的中点为(2，－1)，线段AB 的垂直平分线方程为y ＋1＝1
2(x －2)，令y ＝0，
得x ＝4.故点D 的坐标为(4，0)．
18．(2016·课标全国Ⅰ，文)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t(t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px(p>0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H. (1)求|OH||ON|
；
(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． 答案 (1)2 (2)没有
解析 (1)由已知得M(0，t)，P(t 2
2p ，t)．
又N 为M 关于点P 的对称点，故N(t 2
p
，t)，
故直线ON 的方程为y ＝p
t
x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，
解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H(2t 2
p ，2t)．
所以N 为OH 的中点，即|OH|
|ON|
＝2.
(2)直线MN 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2t
p (y －t)．
代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，
所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．
1．(2017·东北三校)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3| D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|
答案 C
解析 抛物线的准线方程为x ＝－p 2，由定义得|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p
2，则
|FP 1|＋|FP 3|＝x 1＋p 2＋x 3＋p
2＝x 1＋x 3＋p ，2|FP 2|＝2x 2＋p ，由2x 2＝x 1＋x 3，得2|FP 2|＝|FP 1|＋
|FP 3|，故选C.
2．若抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( ) A ．(1
2，1)
B ．(0，0)
C ．(1，2)
D ．(1，4)
答案 A
解析 设与直线y ＝4x －5平行的直线为y ＝4x ＋m ，由平面几何的性质可知，抛物线y ＝4x 2上到直线y ＝4x －5的距离最短的点即为直线y ＝4x ＋m 与抛物线相切的点．而对y ＝4x 2求导得y ′＝8x ，又直线y ＝4x ＋m 的斜率为4，所以8x ＝4，得x ＝12，此时y ＝4×(1
2)2＝1，
即切点为(1
2
，1)，故选A.
3．(2017·威海一模)过抛物线C ：y 2＝2px(p>0)上一定点P(x 0，y 0)(y 0>0)作两条斜率均存在的直线，分别交抛物线C 于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若直线PA ，PB 关于直线x ＝x 0对称，则log 2|y 1＋y 2|－log 2y 0的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－12
D ．无法确定
答案 A
解析 设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB .由y 12＝2px 1，y 02＝2px 0相减得(y 1－y 0)(y 1＋y 0)＝2p(x 1－x 0)，故k PA ＝
y 1－y 0x 1－x 0＝2p y 1＋y 0(x 1≠x 0)．同理可得k PB ＝2p
y 2＋y 0(x 2≠x 0
)．若直线PA ，PB 关于直线x ＝x 0对称，则PA ，PB 的倾斜角互补．故k PA ＝－k PB ，即2p
y 1＋y 0
＝－
2p
y 2＋y 0
.所以y 1＋y 2＝－2y 0，故y 1＋y 2y 0＝－2，故log 2|y 1＋y 2|－log 2y 0＝1.故选A.
4．已知点A(－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.1
2 B.2
3 C.3
4 D.43
答案 D
解析 先确定切线的方程，再联立方程组求解．
抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A(－2，3)在准线上，所以－p
2＝－2，即p ＝4，
从而C ：y 2＝8x ，焦点为F(2，0)．设切线方程为y －3＝k(x ＋2)，代入y 2＝8x 得k
8y 2－y ＋2k
＋3＝0(k ≠0)①.由于Δ＝1－4×k 8·(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝1
2.因为切点在第一象限，
所以k ＝12.将k ＝1
2代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8，8)，
所以直线BF 的斜率为86＝4
3
.
5．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作直线交抛物线于M ，N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H ，若|MN|＝20，则|FH|＝( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案 D
解析 设弦MN 的中点为G(x 0，y 0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 12＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减得y 12－y 22＝2p(x 1－x 2)，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p(x 1－x 2)，所以(y 1－y 2)·2y 0＝2p(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝p y 0，所以弦MN 所在直线的斜率k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝p y 0，MN 的中垂线所在直线
的方程为y －y 0＝－y 0p (x －x 0)，令y ＝0得x H ＝x 0＋p ，所以|FH|＝x 0＋p －p 2＝x 0＋p 2＝x 1＋x 2
2
＋
p 2＝x 1＋p 2＋x 2＋
p 22＝12|MN|＝12
×20＝10.故选D. 6.(2017·湖南益阳模拟)如图所示，已知直线l ：y ＝k(x ＋1)(k>0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M ，N ，若|AM|＝2|BN|，则k 的值是( ) A.13 B.
2
3
C.223 D ．2 2
答案 C
解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，
y ＝k （x ＋1），消去x ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.
①
因为直线与抛物线相交，所以有Δ＝42－4×k ×4k ＝16(1－k 2)>0.(*) y 1，y 2是方程①的两个根，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝4.
②
③
又因为|AM|＝2|BN|，所以y 1＝2y 2. ④
解由②③④组成的方程组，得k ＝22
3
.
把k ＝223代入(*)式检验，不等式成立．所以k ＝223
，故选C.
7．(2017·北京东城期末)过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点， 点O 是原点，如果|BF|＝3，|BF|>|AF|，∠BFO ＝2π
3，那么|AF|的值为( ) A ．1 B.32 C ．3 D ．6
答案 A
解析 由已知直线的斜率为k ＝3，则方程为y ＝3(x －p
2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －p 2），y 2＝2px ，得
3x 2
－5px ＋3p 2
4
＝0，即(2x －3p)(6x －p)＝0.
因为|BF|>|AF|，所以x B ＝32p ，x A ＝p 6，依题意x B ＋p 2＝2p ＝3，所以p ＝32，则|AF|＝x A ＋p 2＝
2
3p ＝1.故选A.
8．(2017·广东实验中学月考)过抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点且斜率为2的直线与C 交于A ，
B 两点，以AB 为直径的圆与
C 的准线有公共点M ，若点M 的纵坐标为2，则p 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4
D ．8
答案 C
解析 取AB 的中点N ，分别过A ，B ，N 作准线的垂线AP ，BQ ，MN ，垂足分别为P ，Q ，M ，如图所示．
由抛物线的定义可知，|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，
在直角梯形APQB 中，|MN|＝12(|AP|＋|BQ|)＝12(|AF|＋|BF|)＝1
2|AB|，故圆心N 到准线的距离
等于半径，
即以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切， 由M 的纵坐标为2，可得N 的纵坐标为2， 抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(p
2
，0)．
设直线AB 的方程为y ＝2(x －p 2)，即x ＝12y ＋p
2，
与抛物线方程y 2＝2px 联立，消去x ，得y 2－py －p 2＝0.
由根与系数的关系可得AB 的中点N 的纵坐标为p
2
，即有p ＝4.故选C.
9．(2017·杭州中学模拟)已知M(a ，2)是抛物线y 2＝2x 上的一点，直线MP ，MQ 分别与抛物线交于P ，Q 两点，且直线MP ，MQ 的倾斜角之和为π，则直线PQ 的斜率为( ) A.12 B.14 C ．－12
D ．－14
答案 C
解析 易知M(2，2)，设P(y 122，y 1)，Q(y 22
2，y 2)，由直线MP ，MQ 的倾斜角之和为π，知
直线MP ，MQ 斜率互为相反数，即k MP ＋k MQ ＝0，即
y 1－2y 122－2＋y 2－2
y 2
22－2＝0， 化简得1y 1＋2＋1
y 2＋2＝0，即y 1＋y 2＋4（y 1＋2）（y 2＋2）＝0，∴y 1＋y 2＝－4.
∴k PQ ＝y 1－y 2y 122－y 222
＝2y 1＋y 2＝－24＝－12
.故选C. 10．(2016·浙江，文)如图，设抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|－1.
(1)求p 的值；
(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M.求M 的横坐标的取值范围．
解析 (1)由题意可得，抛物线上的点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，
由抛物线的定义得p 2
＝1，即p ＝2. (2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F(1，0)，可设A(t 2，2t)，t ≠0，t ≠±1.
因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩
⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1，消去x 得y 2－4sy －4＝0，故y 1y 2＝－4，所以B(1t 2，－2t
)． 又直线AB 的斜率为2t t 2－1
，故直线FN 的斜率为－t 2－12t . 从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N(t 2＋3t 2－1
，－2t )． 设M(m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2t t 2－m ＝2t ＋
2t t 2－t 2＋3t 2－1， 于是m ＝2t 2t 2－1＝2＋2t 2－1
. 所以m<0或m>2.
经检验，m<0或m>2满足题意．
综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
11.如图所示，斜率为1的直线过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，M 为抛物线弧AB 上的动点．
(1)若|AB|＝8，求抛物线的方程；
(2)求S △ABM 的最大值．
答案 (1)y 2＝4x (2)2p 2
解析 (1)由条件知l AB ：y ＝x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y ，得x 2－3px ＋14
p 2＝0，则x 1＋x 2＝3p.由抛物线定义得|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝4p.
又因为|AB|＝8，即p ＝2，则抛物线的方程为y 2＝4x.
(2)方法一：由(1)知|AB|＝4p ，且l AB ：y ＝x －p 2，设M(y 022p
，y 0)，则M 到AB 的距离为d ＝
|y 022p －y 0－p 2|2
. 因为点M 在直线AB 的上方，所以y 022p －y 0－p 2
<0， 则d ＝|y 022p －y 0－p 2|2＝－y 022p ＋y 0＋p 22＝－y 02＋2py 0＋p 222p ＝－（y 0－p ）2＋2p 222p
. 当y 0＝p 时，d max ＝22
p. 故S △ABM 的最大值为12×4p ×22
p ＝2p 2. 方法二：由(1)知|AB|＝4p ，且l AB ：y ＝x －p 2
，设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y ＝x ＋m ，代入抛物线方程，得x 2＋2(m －p)x ＋m 2＝0.由Δ＝4(m －p)2－4m 2＝0，得m ＝
p 2.与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y ＝x ＋p 2，两直线间的距离为d ＝|p 2＋p 2|2
＝22p ，故S △ABM 的最大值为12×4p ×22
p ＝2p 2.。