中考数学专题复习13圆(解析版)

圆复习考点攻略
考点一圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
（1）圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦.过圆心的弦叫做直径.直径是圆内最长的弦．
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧.小于半圆的弧叫做劣弧.大于半圆的弧叫做优弧．
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
（5）圆周角：顶点在圆上.并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
（6）弦心距：圆心到弦的距离．
【注意】
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴.故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆.经过1点或2点的圆有无数个．
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆.即该三角形的外接圆．
【例1】把地球看成一个表面光滑的球体.假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝.然后把钢丝加长.使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm.那么钢丝大约需要加长（）
A．102cm B．104cm C．106cm D．108cm
【答案】A
【解析】设地球半径为：rcm.则地球的周长为：2πrcm.
假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝.然后把钢丝加长.使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm.故此时钢丝围成的圆形的周长变为：2π（r+16）cm.
∴钢丝大约需要加长：2π（r+16）﹣2πr≈100（cm）=102（cm）．故选A．
考点二垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦.并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合.解题时往往需要添加辅助线.一般过圆心作弦的垂线.构造直角三角形．
2．推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦.并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心.并且平分弦所对的两条弧．
【例2】在O 中.直径AB ＝15.弦DE⊥AB 于点C ．若OC ：OB ＝3 ：5.则DE 的长为（ ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．15
【答案】C
【解析】解：如图所示：∵直径AB ＝15.∴BO ＝7.5.∵OC ：OB ＝3：5.∴CO ＝4.5. ∵DE ⊥AB .∴DC
=＝6.∴DE ＝2DC ＝12．故选：C ．
考点三 圆心角、弧、弦的关系
1．定理：在同圆或等圆中.相等的圆心角所对的弧相等.所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论：在同圆或等圆中.如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等.那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 【例3】如图.在⊙O 中∠O =50°
.则∠A 的度数为
A ．50°
B ．20°
C ．30°
D ．25°
【答案】D
【解析】∠A =BOC =×50°=25°． 故选D ．
考点四 圆周角定理及其推论
1
2∠12
1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：
（1）在同圆或等圆中.同弧或等弧所对的圆周角相等．
（2）直径所对的圆周角是直角．
【注意】圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时.通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径.得到直角三角形.通过两锐角互余进行转化等．
【例4】如图.已知BC是⊙O的直径.半径OA⊥BC.点D在劣弧AC上（不与点A.点C 重合）.BD与OA交于点E．设⊥AED＝α.⊥AOD＝β.则（）
A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°
【答案】D
【解析】解：∵OA⊥BC.∴∠AOB＝∠AOC＝90°.
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α.∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α.
∵∠AOD+∠COD＝90°.∴β+180°﹣2α＝90°.∴2α﹣β＝90°.故选：D．
考点五与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d．
(1)d<r⇔点在⊙O内；
(2)d=r⇔点在⊙O上；
(3)d>r⇔点在⊙O外．
【注意】判断点与圆之间的位置关系.将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
0个1个2个
类讨论多解的情况．
【例5】如图.⊙O的半径OC=5cm.直线l⊥OC.垂足为H.且l交⊙O于A、B两点.AB=8cm.则l沿OC所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．
【答案】2
【解析】连接OA．∵直线和圆相切时.OH=5.
又∵在直角三角形OHA中.HA=AB÷2=4.OA=5.∴OH=3．
∴需要平移5–3=2（cm）．故答案为：2．
考点六切线的性质与判定
1．切线的性质
（1）切线与圆只有一个公共点．
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．
（3）切线垂直于经过切点的半径．
【注意】利用切线的性质解决问题时.通常连过切点的半径.利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
3. 切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时.连半径.证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时.作垂直.证垂线段等于半径．
【例6】如图1.在四边形ABCD 中.AD//BC .∠DAB =90°.AB 是⊙O 的直径.CO 平分∠BCD ．
(1)求证：直线CD 与⊙O 相切；
(2)如图2.记(1)中的切点为E .P 为优弧AE
⏜上一点.AD =1.BC =2.求tan∠APE 的值．
【答案】（1）见解析；（2）√2
2
【解析】(1)证明：作OE ⊥CD 于E .如图1所示： 则∠OEC =90°.
∵AD//BC .∠DAB =90°. ∴∠OBC =180°−∠DAB =90°. ∴∠OEC =∠OBC . ∵CO 平分∠BCD . ∴∠OCE =∠OCB .
在△OCE 和△OCB 中.{∠OEC =∠OBC
∠OCE =∠OCB OC =OC .
∴△OCE≌△OCB(AAS). ∴OE =OB . 又∵OE ⊥CD . ∴直线CD 与⊙O 相切；
(2)解：
作DF ⊥BC 于F .连接BE .如图所示： 则四边形ABFD 是矩形. ∴AB =DF .BF =AD =1. ∴CF =BC −BF =2−1=1. ∵AD//BC .∠DAB =90°.
∴AD⊥AB.BC⊥AB.
∴AD、BC是⊙O的切线.
由(1)得：CD是⊙O的切线.
∴ED=AD=1.EC=BC=2.
∴CD=ED+EC=3.
∴DF=√CD2−CF2=√32−12=2√2. ∴AB=DF=2√2.
∴OB=√2.
∵CO平分∠BCD.
∴CO⊥BE.
∴∠BCH+∠CBH=∠CBH+∠ABE=90°. ∴∠ABE=∠BCH.
∵∠APE=∠ABE.
∴∠APE=∠BCH.
∴tan∠APE=tan∠BCH=OB
BC =√2
2
．
考点七与圆有关的计算公式1．弧长和扇形面积的计算
扇形的弧长l=
π
180
n r
；扇形的面积S=
2
π
360
n r
=
1
2
lr．
2．圆锥与侧面展开图
（1）圆锥侧面展开图是一个扇形.扇形的半径等于圆锥的母线.扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
（2）若圆锥的底面半径为r.母线长为l.则这个扇形的半径为l.扇形的弧长为2πr.
圆锥的侧面积为S圆锥侧=1
2ππ
2
l r rl
⋅=．
圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时.注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形.再利用规则图形的公式求解．
【例7】如图.正方形ABCD的边长为4.以点A为圆心.AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分.点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图.则该圆锥的底面圆的半径是（）
A B ．1 C ．
2
D ．
12
【答案】D
【解析】∵正方形ABCD 的边长为4∴4AD AE == ∵AC 是正方形ABCD 的对角线∴45EAD ∠=︒∴454
=180DE l ππ︒⨯⨯=︒
∴圆锥底面周长为2C r ππ==.解得12
r =
∴该圆锥的底面圆的半径是1
2.故选：D ．
考点八 三角形与圆
1．三角形的外接圆相关概念
（1）经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心.这个三角形叫做圆的内接三角形．
（2）外心是三角形三条垂直平分线的交点.它到三角形的三个顶点的距离相等． 2．三角形的内切圆
（1）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心.这个三角形叫做圆的外切三角形．
（2）内心是三角形三条角平分线的交点.它到三角形的三条边的距离相等． 【例8】如图.Rt △ABC 中.∠C ＝90°.AB ＝5.AC ＝3.点E 在中线AD 上.以E 为圆心的⊙E 分别与AB 、BC 相切.则⊙E 的半径为
A ．7
8 B ．
67
C ．
56
D ．1
【答案】B
【解析】作EH⊥AC于H.EF⊥BC于F.EG⊥AB于G.连接EB.EC.设⊙E的半径为r.如图.
∵∠C=90°.AB=5.AC=3.∴BC.而AD为中线.∴DC=2.
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切.∴EG=EF=r.∴HC=r.AH=3–r.
∵EH∥BC.∴△AEH∽△ADC.
∴EH∶CD=AH∶AC.即EH
∵S△ABE+S△BCE+S△ACE=S△ABC.
B．
考点九正多边形的有关概念
正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．
正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．
正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．【例9】如图.圆内接正六边形的边长为4.以其各边为直径作半圆.则图中阴影部分的面积为（）
A．4πB．4πC．8πD．4π
【答案】A
【解析】解：正六边形的面积为：1
462
⨯⨯=
六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=.中间大圆的面积为：2416ππ⋅=.
所以阴影部分的面积为：12164πππ+-=.故选：A ．
第一部分 选择题
一、选择题（本题有10小题.每题4分.共40分）
1. 如图.已知⊙O 的周长等于8π cm .则圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OM 的长为（ ）
A ．2 cm
B ．cm
C ．4 cm
D ．cm
【答案】B
【解析】如图.连接OC .OD .
∵正六边形ABCDEF 是圆的内接多边形.∴∠COD =60°.
∵OC =OD .OM ⊥CD .∴∠COM =30°.∵⊙O 的周长等于8π cm .∴OC =4 cm .
∴OM =4cos30°（cm ）.故选B ．
2.如图.AB 是⊙O 的直径.△ACD 内接于⊙O .延长AB .CD 相交于点E .若∠CAD =35°.∠CDA =40°.则∠E 的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】B
【解析】如图.连接BD.
∵AB是⊙O的直径.∴∠ADB=90°.
由三角形内角和定理得.∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°.
∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°.
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°.
∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°.故选B．
3.如图.在O中.AB为直径.80
∠=.点D为弦AC的中点.点E为BC上任意一
AOC︒
点.则CED
∠的大小可能是（）
A．10︒B．20︒C．30︒D．40︒
【答案】C
【解析】连接OD、OE.先求出∠COD=40°.∠BOC=100°.设∠BOE=x.则
∠COE=100°-x.∠DOE=100°-x+40°；然后运用等腰三角形的性质分别求得∠OED和∠COE.最后根据线段的和差即可解答．
4.如图.⊙O以AB为直径.PB切⊙O于B.近接AP.交⊙O于C.若∠PBC=50°.∠ABC=（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【解析】∵⊙O以AB为直径.PB切⊙O于B.
∴∠PBA=90°.
∵∠PBC=50°.
∴∠ABC=40°．
故选B．
5.如图.AB是⊙O的直径.C是⊙O上一点（A、B除外）.∠AOD=136°.则∠C的度数是（）
A．44°B．22°C．46°D．36°
【答案】B
【解析】∵∠AOD=136°.∴∠BOD=44°.∴∠C=22°.故选B．
6.如图.半径为5的⊙A中.弦BC.ED所对的圆心角分别是∠BAC.∠EAD.已知DE=6.∠BAC＋∠EAD=180°.则弦BC的长等于（）
A B C．8 D．6
7. 如图.AB是圆锥的母线.BC为底面半径.已知BC=6 cm.圆锥的侧面积为15π cm2.则sin∠
ABC的值为（）
A ．
34
B ．
35
C ．
45
D ．
53
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为R .由题意得15π=π×3×R .解得R =5. ∴圆锥的高为4.∴sin ∠ABC =
4
5
．故选C ． 8. 如图.从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为
A ．
22
m π
B 2m
C ．2m π
D ．22m π
【答案】A
【解析】连接AC ．∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形.即∠ABC =90°.∴AC 为直径.即AC =2m .AB =BC ．∵AB
2+BC 2=22.∴AB =BC m .∴阴影部分的
面积是
2
90360
π⨯=12π（m 2）．故选A ．
9. 如图所示.矩形纸片ABCD 中.AD ＝6cm .把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后.分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆.恰好能作为一个圆锥的侧面和底面.则AB 的长为（ ）
A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【答案】B
【解析】本题考查了圆锥的计算.矩形的性质.正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键.理解圆锥的母线长是扇形的半径.圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
设AB＝xcm.则DE＝（6﹣x）cm.根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程.求解即可．
根据题意.得＝π（6﹣x）.
解得x＝4．
10.如图.AB为⊙O的直径.BC、CD是⊙O的切线.切点分别为点B、D.点E为线段OB 上的一个动点.连接OD.CE.DE.已知AB=2√5.BC=2.当CE+DE的值最小时.则CE
DE 的值为()
A. 9
10B. 2
3
C. √5
3
D. 2√5
5
【答案】A
【解析】解：延长CB到F使得BC=CF.则C与F关于OB对称.连接DF与OB相交于点E.此时CE+DE=DF值最小.
连接OC.BD.两线相交于点G.过D作DH⊥OB于H.
则OC ⊥BD .OC =√OB 2+BC 2=√5+4=3. ∵CB ⊥OB .∠COB =∠BOG ΔCOB ∽ΔBOG ∴OB OC
=BG BC
∴OB ⋅BC =OC ⋅BG .
∴BG =2
3√5.
∴BD =2BG =4
3
√5.
∵OD 2−OH 2
=DH 2=BD 2−BH 2.
∴5−(√5−BH)2=(4
3
√5)2−BH 2. ∴BH =8
9
√5. ∴DH =
√BD 2−
BH 2=
209
. ∵DH//BF . ∴EF ED =BF DH =2209
=910. ∴
CE DE
=
9
10
. 故选：A ．
第二部分 填空题
二、填空题（本题有6小题.每题4分.共24分）
11.如图.A 、B 、C 、D 都在⊙O 上.∠B =130°
.则∠AOC 的度数是__________．
【答案】100°
【解析】∵∠B =130°.∴∠D =180°－130°=50°.∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 12. 如图.半圆O 的直径是AB .弦AC 与弦BD 交于点E .且OD ⊥AC .若∠DEF =60°.则tan ∠ABD =__________．
【解析】∵OD ⊥AC .∠DEF =60°
.
∴∠D =30°. ∵OD =OB . ∴∠ABD =∠D =30°. ∴tan ∠ABD =
.
．
13. 如图.正六边形ABCDEF 的边长为1.以点A 为圆心.AB 的长为半径.作扇形ABF .则图中阴影部分的面积为__________（结果保留根号和π）．
-π
3 【解析】正六边形的中心为点O .如图.连接OD 、OE .作OH ⊥DE 于H .
∴∠DOE =
3606︒=60°.∴OD =OE =DE =1.∴OH . ∴正六边形ABCDEF 的面积=
12×1×2×6=2
.∠A =(62)1806-⨯︒=120°. ∴扇形ABF 的面积=2120π13π603⨯=.∴图中阴影部分的面积-π
3.故答案为：-π
3． 14. 如图.AB 为半圆的直径.且6AB =.将半圆绕点A 顺时针旋转60︒.点B 旋转到点C 的位置.则图中阴影部分的面积为__________．
3
【答案】6π 【解析】由图可得.
图中阴影部分的面积为：222
60π6π(62)π(62)6π36022
⨯⨯⨯÷⨯÷+-=.故答案为：6π．
15.如图.在平面直角坐标系中.已知C(3,4).以点C 为圆心的圆与y 轴相切．点A 、B 在
x 轴上.且OA =OB.点P 为⊙C 上的动点.∠APB =90°.则AB 长度的最大值为______．
【答案】16
【解析】解：连接OC 并延长.交⊙C 上一点P .以O 为圆心.以OP 为半径作⊙O .交x 轴于A 、B .此时AB 的长度最大. ∵C(3,4).
∴OC =√32+42=5.
∵以点C 为圆心的圆与y 轴相切． ∴⊙C 的半径为3. ∴OP =OA =OB =8. ∵∠APB =90°. ∴AB 是直径.
∴AB 长度的最大值为16. 故答案为16．
16.如图.在⊙O 的内接四边形ABCD 中.AB =3.AD =5.∠BAD =60∘.点C 为BD
⏜的中
点.则AC 的长是 ．
【答案】8√3
3
【解析】解：如图.过点C 分别作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E .CF ⊥AD 于点F .
则∠E =∠CFD =∠CFA =90∘.
∵点C 为BD
⏜的中点.∴BC ⏜=CD ⏜.则∠BAC =∠DAC . ∵∠BAC =∠DAC .∠E =∠AFC =90∘.AC =AC . ∴△AEC≌△AFC .
∴CE =CF ．∵A .B .C .D 四点共圆. ∴∠D =∠CBE ． 在△CBE 和△CDF 中.
∵{∠CBE =∠D,
∠E =∠CFD,CE =CF,
∴△CBE≌△CDF .∴BE =DF ． 在△AEC 和△AFC 中.∵{∠E =∠AFC,
∠EAC =∠FAC,AC =AC,
∴△AEC≌△AFC .
∴AE =AF .设BE =DF =x .∵AB =3.∴AE =AF =x +3.又AD =5. ∴5=x +3+x .解得x =1.则AE =4． ∵∠BAD =60∘.∴∠EAC =30∘. ∴AC =2CE .又AC 2=CE 2+AE 2.
∴AC=8√3
3
．
第三部分解答题
三、解答题（本题有7小题.共56分）
17. 如图.正方形ABCD的外接圆为⊙O.点P在劣弧CD上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8.求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）45°；（2）8√2
【解析】（1）连接OB.OC.
∵四边形ABCD为正方形.∴∠BOC=90°.
∴∠P=1
2
∠BOC=45°；
（2）过点O作OE⊥BC于点E.
∵OB=OC.∠BOC=90°.∴∠OBE=45°.∴OE=BE.
∵OE2+BE2=OB2.∴BE==.
∴BC=2BE=2×=．
18.如图.四边形ABCD内接于⊙O.AB=AC.AC⊥BD.垂足为E.点F在BD的延长线上.且
DF=DC.连接AF、CF．
（1）求证：∠BAC=2∠CAD；
（2）若AF=10.BC=求tan∠BAD的值．
【答案】（1）见解析 ；（2）112
【解析】（1）∵AB =AC .
∴.∠ABC =∠ACB .
∴∠ABC =∠ADB .∠ABC =（180°-∠BAC ）=90°-∠BAC . ∵BD ⊥AC .
∴∠ADB =90°-∠CAD . ∴
∠BAC =∠CAD . ∴∠BAC =2∠CAD ． （2）∵DF =DC . ∴∠DFC =∠DCF . ∴∠BDC =2∠DFC . ∴∠BFC =∠BDC =∠BAC =∠FBC . ∴CB =CF . 又BD ⊥AC .
∴AC 是线段BF 的中垂线.AB =AF =10.AC =10． 又BC =
设AE =x .CE =10-x .
由AB 2-AE 2=BC 2-CE 2.得100-x 2=80-（10-x ）2. 解得x =6.
∴AE =6.BE =8.CE =4. ∴DE =
=3. ∴BD =BE +DE =3+8=11. 如图.作DH ⊥AB .垂足为H .
AB AC =1
2
121
2
64
8
AE CE BE ⋅⨯=
∵
AB ·DH =BD ·AE . ∴DH =
. ∴BH
. ∴AH =AB -BH =10-
. ∴tan ∠BAD =
． 19. 如图.在△ABC 中.AB
=AC .以AB 为直径的⊙O 分别与BC .AC 交于点D .E .过点D 作
DF ⊥AC .垂足为点F ．
（1）求证：直线DF 是⊙O 的切线； （2）求证：BC 2=4CF ·
AC ； （3）若⊙O 的半径为4.∠CDF =15°
.求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 ；（2）见解析；（3）4√3 【解析】（1）如图所示.连接OD .
∵AB =AC .∴∠ABC =∠C .而OB =OD .∴∠ODB =∠ABC =∠C .
1212
11633
105
BD AE AB ⋅⨯==44
5
=
44655
=3311
62DH AH ==
∵DF ⊥AC .∴∠CDF +∠C =90°.∴∠CDF +∠ODB =90°.
∴∠ODF =90°.∴直线DF 是⊙O 的切线．
（2）连接AD .则AD ⊥BC .则AB =AC .
则DB =DC =12
BC . ∵∠CDF +∠C =90°.∠C +∠DAC =90°.∴∠CDF =∠DCA .
而∠DFC =∠ADC =90°.∴△CFD ∽△CDA .
∴CD 2=CF ·AC .即BC 2=4CF ·
AC ． （3）连接OE .
∵∠CDF =15°.∠C =75°.∴∠OAE =30°=∠OEA .
∴∠AOE =120°.
S △OAE =12AE ·OE ·sin ∠OEA =12
×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA
=S 阴影部分=S 扇形OAE -S △OAE =120360︒︒
×π×42
-16π3
- 20.如图.AE 为O 的直径.D 是弧BC 的中点BC 与AD .OD 分别交于点E .F .
（1）求证：DO AC ∥；
（2）求证：2DE DA DC ⋅=;
（3）若1tan 2
CAD ∠=.求sin CDA ∠的值.
【答案】见解析。

【解析】（1）证明：∵D 为弧BC 的中点.OD 为O 的半径
∴OD BC ⊥
又∵AB 为O 的直径
∴90ACB ∠=︒∴AC OD ∥
（2）证明：∵D 为弧BC 的中点
∴CD BD =∴DCB DAC ∠=∠∴DCE DAC ∆∆∽
A
∴DC DE DA DC =,
即2DE DA DC ⋅= （3）解：∵DCE DAC ∆∆∽.1tan 2CAD ∠=
∴12
CD DE CE DA DC AC === 设CD =2a .则DE =a .4DA a =
又∵AC OD ∥∴AEC DEF ∆∽ ∴3CE AE EF DE ==,所以83BC CE = 又2AC CE =,∴103
AB CE = 即3sin sin 5CA CDA CBA AB ∠=∠=
= 21.四边形ABCD 是⊙O 的圆内接四边形.线段AB 是⊙O 的直径.连结A C.B D ．点H 是线段BD 上的一点.连结AH 、CH .且⊥ACH ＝⊥CBD .AD ＝CH .BA 的延长线与CD 的延长线相交与点P ．
（1）求证：四边形ADCH 是平行四边形；
（2）若AC ＝BC .PB ＝PD .AB +CD ＝2（+1）
①求证：⊥DHC 为等腰直角三角形；
②求CH 的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】本题是圆的综合题.考查了圆的有关知识.平行四边形的判定和性质.相似三角形的判定和性质等知识.求CD 的长度是本题的关键．
（1）由圆周角的定理可得∠DBC ＝∠DAC ＝∠ACH .可证AD ∥CH .由一组对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形ADCH 是平行四边形；
（2）①由平行线的性质可证∠ADH ＝∠CHD ＝90°.由∠CDB ＝∠CAB ＝45°.可证△DH 为等腰直角三角形；
②通过证明△ADP∽△CBP.可得.可得.通过证明△CHD∽△ACB.可得
.可得AB＝CD.可求CD＝2.由等腰直角三角形的性质可求CH的长度．证明：（1）∵∠DBC＝∠DAC.∠ACH＝∠CBD
∴∠DAC＝∠ACH,∴AD∥CH.且AD＝CH
∴四边形ADCH是平行四边形
（2）①∵AB是直径
∴∠ACB＝90°＝∠ADB.且AC＝BC
∴∠CAB＝∠ABC＝45°.∴∠CDB＝∠CAB＝45°
∵AD∥CH
∴∠ADH＝∠CHD＝90°.且∠CDB＝45°
∴∠CDB＝∠DCH＝45°,∴CH＝DH.且∠CHD＝90°
∴△DHC为等腰直角三角形；
②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形.
∴∠ADP＝∠PBC.且∠P＝∠P,∴△ADP∽△CBP
∴.且PB＝PD.
∴.AD＝CH.∴
∵∠CDB＝∠CAB＝45°.∠CHD＝∠ACB＝90°∴△CHD∽△ACB
∴AB＝CD
∴
,
∵AB+CD＝2（+1）,∴CD+CD＝2（+1）
∴CD＝2.且△DHC为等腰直角三角形,∴CH＝
22.如图.⊥ABC中.AB=AC.⊙O是⊥ABC的外接圆.BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：⊥BAC=2⊥ABD；
（2）当⊥BCD是等腰三角形时.求⊥BCD的大小；
（3）当AD=2.CD=3时.求边BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）∠BCD 的值为67.5°或72°；（3． 【解析】解：(1)连接OA .如下图1所示：
∵AB =AC .∴AB =AC .∴OA ⊥BC .∴∠BAO =∠CAO ．
∵OA =OB .∴∠ABD =∠BAO .∴∠BAC =2∠ABD ．
(2)如图2中.延长AO 交BC 于H ．①若BD =CB .则∠C =∠BDC =∠ABD +∠BAC =3∠ABD ． ∵AB =AC .∴∠ABC =∠C .∴∠DBC =2∠ABD ．
∵∠DBC +∠C +∠BDC =180°.∴8∠ABD =180°.∴∠C =3∠ABD =67.5°．
②若CD =CB .则∠CBD =∠CDB =3∠ABD .∴∠C =4∠ABD ．
∵∠DBC +∠C +∠CDB =180°.∴10∠ABD =180°.∴∠BCD =4∠ABD =72°．
③若DB =DC .则D 与A 重合.这种情形不存在．综上所述：∠C 的值为67.5°或72°．
(3)如图3中.过A 点作AE //BC 交BD 的延长线于E ． 则AE BC =AD DC =23.且BC=2BH .∴AO OH =AE BH =43
. 设OB =OA =4a .OH =3a ．则在Rt △ABH 和Rt △OBH 中. ∵BH 2=AB 2﹣AH 2=OB 2﹣OH 2.∴25 - 49a 2=16a 2﹣9a 2.∴a 2=
2556.
∴BH =
4.∴BC =2BH =2．故答案为：2
．
23.如图.四边形ABCD 中.AB =AD =CD .以AB 为直径的⊙O 经过点C .连接AC 、OD 交于点E ．
(1)证明：OD//BC ；
(2)若tan∠ABC =2.证明：DA 与⊙O 相切；
(3)在(2)条件下.连接BD 交⊙O 于点F .连接EF .若BC =1.求EF 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）√22 【解析】解：(1)连接OC . 在△OAD 和△OCD 中.
∵{OA =OC AD =CD OD =OD
.
∴△OAD≌△OCD(SSS).
∴∠ADO =∠CDO .
又AD =CD .
∴DE ⊥AC .
∵AB 为⊙O 的直径.
∴∠ACB =90°.即BC ⊥AC .
∴OD//BC ；
(2)∵tan∠ABC =AC
BC =2.
∴设BC =a 、则AC =2a .
∴AD =AB =√AC 2+BC 2=√5a .
∵OE//BC .且AO =BO .
∴OE =12BC =12a .OA =12AB =√5a 2
.AE =CE =12AC =a . 在△AED 中.DE =√AD 2−AE 2=2a .
在△AOD 中.AO 2+AD 2=(√5a 2)2+(√5a)2=254a 2. OD 2=(OE +DE)2=(12a +2a)2=254
a 2. ∴AO 2+AD 2=OD 2.
∴∠OAD =90°.
则DA 与⊙O 相切；
(3)连接AF .
∵AB 是⊙O 的直径.
∴∠AFD =∠BAD =90°.
∵∠ADF =∠BDA .
∴△AFD∽△BAD .
∴DF AD =AD BD .即DF ⋅BD =AD 2 ①. 又∵∠AED =∠OAD =90°.∠ADE =∠ODA . ∴△AED∽△OAD .
∴AD OD =DE AD .即OD ⋅DE =AD 2②. 由①②可得DF ⋅BD =OD ⋅DE .即DF OD =DE BD . 又∵∠EDF =∠BDO .
∴△EDF∽△BDO .
∵BC =1.
∴AB =AD =√5、OD =52、ED =2、BD =√10、OB =√52. ∴EF OB =DE BD .即√52
=√10. 解得：EF =√22．。