江苏专用2018年高考数学总复习专题3.1导数以及运算试题含解析201710013140

专题3.1 导数以及运算【三年高考】
1. 【2017江苏】已知函数3
1 x
f x x x ，其中e是自然对数的底数．若
()2e
e
x
f a
f a2≤，则实数a的取值范围是▲．
(1)(2)0
1
[1,]
【答案】
2
【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))f(h(x))的形式，然后根据函数f(x)的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)
与h(x)的取值应在函数f(x)的定义域内．
b
2．【2014江苏】在平面直角坐标系xoy中，若曲线y ax2（a,b为常数）过点
x
P (2,5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x 2y 30平行，则a b
.
【答案】3．
【解析】曲线y ax2b b
过点P (2,5)，则4a
5①，又【解析】曲线y ax2b b
x2
a 1,
b7
4a ②，由①②解得所以a b 3．42b2,
b
y'2ax ，所以
x
2
3．【2012江苏，理18】若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)
的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；
(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数．
【答案】(1) a＝0，b＝－3. (2) －2. (3) 9．
- 1 -
【解析】解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a
＋b＝0，
解得a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，
x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．
当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2. (3)令f(x)＝t，则h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况，d∈[－2,2]．
当|d|＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2.
当|d|＜2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d＞0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d＜0，
所以－2，－1,1,2都不是f(x)＝d的根．由(1)知f′(x)＝3(x＋1)(x－1)．
①当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)＞f(2)＝2，
此时f(x)＝d无实根．同理，f(x)＝d在(－∞，－2)上无实根．
②当x∈(1,2)时，f′(x)＞0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)－d＜0，f(2)－d＞0，y＝f(x)
－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(1,2)内有唯一实根．同理，f(x)＝d在(－2，－1)内有唯
一实根．
③当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，故f(x)是单调减函数，又f(－1)－d＞0，f(1)－d＜0，y＝
f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(－1,1)内有唯一实根．
由上可知：当|d|＝2时，f(x)＝d有两个不同的根x1，x2满足|x1|＝1，|x2|＝2；
当|d|＜2时，f(x)＝d有三个不同的根x3，x4，x5满足|x i|＜2，i＝3,4,5.
现考虑函数y＝h(x)的零点．
当|c|＝2时，f(t)＝c有两个根t1，t2满足|t1|＝1，|t2|＝2，而f(x)＝t1有三个不同的根，
f(x)＝t2有两个不同的根，故y＝h(x)有5个零点．
当|c|＜2时，f(t)＝c有三个不同的根t3，t4，t5满足|t i|＜2，i＝3,4,5，而f(x)＝t i(i＝
3,4,5)有三个不同的根，故y＝h(x)有9个零点．
综上可知，当|c|＝2时，函数y＝h(x)有5个零点；当|c|＜2时，函数y＝h(x)有9个零点．
4．【2017课标1，文14】曲线
21
y x在点（1，2）处的切线方程为______________．
x
【答案】y x1
【解析】
- 2 -
【考点】导数几何意义
【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切
点(,)P x0y是曲线y f(x)上的一点，则以P的切点的切P x0y及斜率，其求法为：设(,)
00
线方程为：'()()x
y y0f x x x．若曲线y f(x)在点P(0,f(x))的切线平行于y轴
000
（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x
x．
5.【2017天津，文10】已知a R，设函数f(x)ax ln x的图象在点（1，f(1)）处的切线为l，则l在y轴上的截距为.
【答案】1
【解析】
【考点】导数的几何意义
【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数f x 在点x处的导数f
x
00
的几何意义是曲线y f x在点
P x0,y0处的切线的斜率．相应地，切线方程为
y y f x x x．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的000
不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.
6.【2017课标1，文21】已知函数f(x)=e x(e x﹣a)﹣a2x．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)0，求a的取值范围．
【答案】（1）当a0，f(x)在(,)单调递增；当a0，f(x)在(,ln a)单调递减，
a a
在(ln a,)单调递增；当a0，f(x)在(,ln())单调递减，在(ln(),)单调递
22
- 3 -
3
增；（2）
[2e,1]．
4
【解析】
试题分析：（1）分a0，a0，a0分别讨论函数f(x)的单调性；（2）分a0，
a，a0分别解f(x)0，从而确定a的取值范围．
试题解析：（1）函数f(x)的定义域为(,)，
f(x)2e2x ae x a2(2e x a)(e x a)，
①若a0，则f(x)e2x，在(,)单调递增．
②若a0，则由f(x)0得x ln a．
当x(,ln a)时，f(x)0；当x(ln a,)时，f(x)0，所以f(x)在(,ln a)单
调递减，在(ln a,)单调递增．
a
③若a0，则由f(x)0得x ln()．
2
a a
当(,ln())
x时，f(x)0；当x(ln(),)时，f(x)0，故f(x)在22
a a
(,ln())单调递减，在(ln(),)单调递增．
22
【考点】导数应用
【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识
来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出f'(x)，有f'(x)的正负，得出函数f(x)
的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自
- 4 -
变量的取值范围，得出函数 f (x ) 极值或最值． 7.【2017课标 II ，文 21】设函数 f (x ) (1 x 2 )e x .
（1）讨论 f (x ) 的单调性； （2）当 x
0 时， f (x ) ax
1，求 a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）在
(,1
2) 和 (
1
2,
) 单调递减，在 (
1
2,
1
2) 单调递增
（Ⅱ）[1,)
【解析】
试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间（2）对
a 分类讨论，当 a ≥1 时， f (x ) (1 x )(1 x )e x
1 x ax 1，满足条件；当 a 0 时， 5
1
取
2
，当 0＜a ＜
1时，取
x
, f (x ) (1 x )(1 x ) 1 ax 1
2
x
5 4a 1
，
2
f (x ) (1 x )(1 x )
ax 1.
2
试题解析：（1） f (x ) (1 2x x 2 )e x
令 f (x )
0得 x
1 2
当 x (
,1
2)时 ， f (x ) 0 ； 当 x
(1
2,
1
2)时 ， f (x ) 0；
当
x
时， f (x )
0 ( 1 2,
) 所以 f (x ) 在 (
,1
2) 和 (
1
2,
) 单调递减，在 (
1
2,
1
2) 单调递增
- 5 -
5
1
当 a 0 时，取 2
x
, f (x ) (1 x )(1
x ) 1 ax 1 0
2
综上，a 的取值范围[1，+∞）
【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立
【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数 的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量， 构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
8.【2017课标 3，文 21】已知函数 f (x ) =ln x +ax 2+(2a +1)x ． （1）讨论 f (x ) 的单调性；
3
f (x )
2 ． （2）当 a ﹤0 时，证明
4a
1
【答案】（1）当 a
0 时， f (x ) 在 (0,
) 单调递增；当 a 0 时，则 f (x ) 在
) 单调
(0,
2a
1
递增，在 ( ,)
2a
单调递减；（2）详见解析
(2ax
1)(x 1)
f '(x )
(x 0) ，再根据导函数符号
【解析】试题分析：（1）先求函数导数
x
变化情况讨论单调性：当 a 0 时， f '(x ) 0 ，则 f (x ) 在 (0,
) 单调递增，当 a 0 时，则
1 1 3
f (x 在 (0, ) 单调递增，在 (
,
)
f (x ) 2 ，即证
)
单调递减.（2）证明
2a2a4a
31
f(x)2，而f(x)f()，所以目标函数为
max max a
4a2
131
11
f，即y ln t1t（0
()(2)ln()1t），利用导数易得2a4a2a2a2a
- 6 -
y1)，即得证.
max y(0
【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式
【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略
(1)构造差函数h(x)f(x)g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性
得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和
问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
11
9.【2017山东，文20】（本小题满分13分）已知函数f x x3ax2a R.,
32
,
(I)当a=2时,求曲线y f x在点3,f3处的切线方程；
(II)设函数g x f x x a cos x sin x,讨论g x的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【答案】(I)3x y90,（2）(II)⑴a0无极值；⑵a0极大值为13sin
a a,极小
6
值为a；
⑶a0极大值为a,极小值为13sin
a a.
6
- 7 -
【解析】
试题分析：(I)根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程；(II)由
g x(x a)(x sin x),通过讨论确定g x单调性,再由单调性确定极值.
（1）当a0时，g'(x)(x a)(x sin x)，
当x(,a)时，x a0，g'(x)0，g(x)单调递增；
当x(a,0)时，x a0，g'(x)0，g(x)单调递减；
当x(0,)时，x a0，g'(x)0，g(x)单调递增.
所以，当x a时，g(x)取到极大值，极大值是()13sin
g a a a，
6
当x0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)a.
（2）当a0时，g'(x)x(x sin x)，
- 8 -
当x(,)时，g'(x)0，g(x)单调递增；
所以，g(x)在(,)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.
（3）当a0时，g'(x)(x a)(x sin x)，
当x(,0)时，x a0，g'(x)0，g(x)单调递增；
当x(0,a)时，x a0，g'(x)0，g(x)单调递减；
当a0时，函数g(x)在(,0)和(a,)上单调递增，在(0,a)上单调递减，函数既有极大
值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是()13sin
g a a a.
6
【考点】导数的几何意义及导数的应用
【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程
f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符
号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)
若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上
单调函数没有极值．[来源:]
10．【2016高考新课标Ⅲ文数】已知f x为偶函数，当x0时，
f(x)e x1x，则
曲线
y f x在(1,2)处的切线方程式_____________________________.
【答案】y2x
【解析】
试题分析：当x0时，x0，则f(x)e x1x．又因为f(x)为偶函数，所以
f(x)f(x)e
x x，所以f(x)e x11，则切线斜率为f(1)2，所以切线方程为1
y22(x1)，即y2x．
- 9 -
考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义． 【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当 x
0 时，函数 y f (x ) ，则当 x 0 时，求函数的
解析式”．有如下结论：若函数 f (x ) 为偶函数，则当 x 0 时，函数的解析式为 y
f (x ) ；
若 f (x ) 为奇函数，则函数的解析式为 y
f (x ) ． 11．【2016高考新课标 2文数】已知函数 f (x ) (x
1) ln x a (x 1) .
（I ）当 a 4时，求曲线 y f (x ) 在
1, f (1)
处的切线方程；
（Ⅱ）若当 x
1,
时， f (x )＞0 ，求 a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） 2x y 2 0；（Ⅱ
）, 2.
【解析】
（II ）当 x (1,) 时， f (x ) 0 等价于 ln
( 1) 0.
a x
x
x
1 a (x 1)
g (x ) ln x
，
令
x 1
则
1 2a x
2(1 a )x 1
2
g (x )
, g (1) 0
x (x 1)
x (x 1)
2
2
，
（i ）当 a 2 ， x (1,) 时， x 2 2(1 a )x 1 x 2 2x
1 0 ，
故 g
(x ) 0, g (x ) 在 x (1,
) 上单调递增，因此 g (x ) 0 ；
（ii ）当 a
2时，令 g (x )
0得 1
1 (
1)2
1,
2
1 (
1)2 1
x a
a
x a
a
，
由
x21
和x1x21
得
x1
1，
故当x(1,x)时，g(x)0，g(x)在
2x(1,x)单调递减，因此g(x)
0.
2
- 10 -
综上，a
的取值范围是
,2.
考点：导数的几何意义，函数的单调性.
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
12．【2016高考新课标2理数】若直线y kx b是曲线y ln x 2的切线，也是曲线
y
x
的切线，则b
．ln(1)
【答案】1ln2
【解析】
试题分析：对函数y ln x 2求导得y 1，对y ln(x 1)求导得
1
y
x x
1
，设直线
y kx b与函数y ln x 2相切于点P x y，与函数y ln(x 1)相切
于点
1(1,1)P x y，与函数y ln(x
1)相切于点
P x y，
2(2,2)
则y x y x ，则点
1ln12,2ln(21)
1
P x y在切线上得y ln x 2(x x)，由
1(1,1)
11
x
1
P2(x2,y2)在切线上得
1
y ln(x 1)(x
x)
22
x 1
2
，这两条直线表示同一条直线，所以
11
1
x x
12
x ln(x1)ln x
2 21，解之得
1
x ，所以
k
1
2
1
2，所以b ln x 2
11ln2.
1
x
1
x 1
2
考点：导数的几何意义.
【名师点睛】函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)
处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的不同．
13．【2016高考新课标3理数】已知f x为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线y f x在点(1,3)处的切线方程是_______________．
【答案】y2x1
【解析】
试题分析：当x0时，x0，则f(x)ln x3x．又因为f(x)为偶函数，所以
- 11 -
f x f x x x，所以f(x)13
()()ln3
，则切线斜率为f(1)2，所以切线方程为
x
y32(x1)，即y2x1．
考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当x0时，函数y f(x)，则当x0时，求函数的
解析式”．有如下结论：若函数f(x)为偶函数，则当x0时，函数的解析式为y f(x)；
若f(x)为奇函数，则函数的解析式为y f(x)．
14．【2015高考新课标1，文14】已知函数f x ax x的图像在点1,f1的处的切
31
2,7，则a.
线过点
【答案】1
【解析】∵f(x)3ax21，∴f(1)3a1，即切线斜率k3a1，
又∵f(1)a2，∴切点为（1，a2），∵切线过（2,7），∴2731
a
a
，解得a
12
1.
15.【2015高考天津，文11】已知函数f x ax ln x,x0,,其中a为实数, f x为
f x的导函数,若f13,则a的值为．
【答案】3
【解析】因为f x a1ln x,所以f1a3.
16.【2015高考陕西，文15】函数y xe x在其极值点处的切线方程为____________.
1
【答案】
y
e
【解析】y f(x)xe x f(x)(1x)e x，令f(x)0x1，此时f(1)1
e
函数y xe x在其极值点处的切线方程为y1
e
17.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设a为实数，函数
f x x a
2
x a a a 1
．
（1）若 f 0
1，求 a 的取值范围；
（2）讨论 f
x
的单调性；
- 12 -
（3）当 a
2 时，讨论
f x
4
在区间
0,
内的零点个
数．
x
【解析】（1） f (0)
a 2 a
a 2
a
a
a ，因为 f
1，所以 a
a
1， 1 1
当 a
0时， 0 1，显然成立；当 a
0 ，则有 2a
1，所以 a
.所以 0 a
.
2 2
1 综上所述， a 的取值范围是
,
2
. （3）由（2）得 f (x ) 在 (a
,) 上单调递增，在 (0,a )上单调递减，所以
f (x )min f (a ) a a .
2
(i)当 a 2 时， ( )min f (2)
2
f x
，
2
2
x
3 x , x
f
,令
(x )
f x
2 5 x x 4, x 2
4
0 ，
即
x
4 4
f (x ) （ x 0 ）.因为 f (x ) 在 (0,2) 上单调递减，所以 f (x ) f (2)
2 ,而 y
x x
4
在 (0,2) 上单调递增， y f (2)
2，所以 y f (x )与 y
在 (0,2) 无交点.当 x 2时，
x
4
f (x ) x 2
3x ，即 x 3
3x 2
4 0，所以 x 3
2x 2
x 2
4
0 ，所以
x
4
x 2(1)0，因为x 2，所以x 2，即当a 2时，
2x
有一个零点x 2.
f x
x
(ii)当a 2时，min()2
f(x)f a a a，当x (0,a)时，f(0)2a 4，
4
f(a)a a，而y 在x (0,a)上单调递增，当x a时，
2
x
4
f(a)a a与
2的大小,因为
a y
4
.下面比较
a
24
(a a4)(a2)(a a2)
322
a a()0,所以
a a a f(a)a a2
4
a
- 13 -
4
结合图象不难得当 a 2 时， y
f (x )与 y
有两个交点. 综上所述，当 a 2 时，
x
4
4
有一个零点 x 2 ；当 a
2 时， f
x
有两个零点. f x
x
x 18.【2015高考重庆，文 19】已知函数 f (x )
ax 3
x 2 （ a
R ）在 x= 4
处取得极值. 3
(Ⅰ)确定 a 的值， (Ⅱ)若 g (x )
f (x )e x ，讨论的单调性.
【解析】(1)对 f (x ) 求导得 f ¢(x ) =3ax 2 +2x ,因为 f (x ) 在
4 x = - 处取得极值，所以
3
4
f ¢-
= ， ( ) 0 3
16
4
16a 8
即 3a ´ +2´ (- ) = - = 0,解得 9 3 3 3
æ ö 1 1 a = .(2)由(1)得， g( ) ç 3 2 ÷ x
x =ç x +x ÷e
2 è2 ø
, 故
æ ö æ ö æ ö 3 1 1 5 ¢ =ç + ÷ +ç + ÷ =ç + + ÷ g (x ) x 2x e x x e x x 2x e
2
x 3 2 x 3 2 x
è2 ø è2 ø è2 2 ø
1
= x (x +1)(x +4)e ,令
x
2 g ¢(x ) = 0，解得 x = 0, x = - 1或x =-4 .当 x <-4 时， g ¢(x ) <0 ,故 g(x ) 为减函数，当 - < < - 时， g ¢(x ) >0 ,故 g(x ) 为增函数，当 -1< x <0 时， g ¢(x ) <0 ,故 g(x ) 为减函数， 4 x 1
当 x >0 时， g ¢(x ) >0 ,故 g(x ) 为增函数，
综上知g(x)在(-¥,-4)和(-1,0)内为减函数，(-4,-1)和(0,+¥)内为增函数.
【2018年高考命题预测】
导数及运算是高考的热点，年年都出题，题型一般不单独出题,往往和导数的几何意义结合，
- 14 -
既有选择题,填空题，又有解答题，难度中档左右，解答题作为把关题存在．导数重点考查一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，与三角函数等的求导公式，导数运算重点是高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商的运算方法，试题的命制往往与导数的应用结合，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，它只作为解题的一部分，难度不大，只需会运用公式求导即可．在2017 年高考仍将考查导数的运算，重点是指，对函数与其它函数积与商的运算．
【2018年高考考点定位】
高考对导数的运算，导数的几何意义的考查，一般不单独出题，特别是导数的运算，往往和导数的几何意义，导数的应用结合起来，作为第一步求导来进一步研究导数其它应用.
考点一、导数的基本运算
【备考知识梳理】1．常见函数的导出公式．
（１）(C
)0（C为常数）；（２）(x
)
1；（３）(sin x
)cos x；（４）
n n x n
1
(cos
；（5）a 'a ln a；（6
）'
x)sin x log'(0
x x e x e x；（7）
a x
a
x ln a
1
且a 1)；（8）ln x'
．
x
2．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：
(u v)'u'v'.
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)'u'v uv'.
若C为常数,则(Cu)'C'u Cu'
0Cu'Cu'.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函
数的导数：(Cu)'Cu'.
法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除
u 以分母的平方：
‘=
v u'v
v
2
uv'
（v0）．
3.形如y=f(x)的函数称为复合函数．复合函数求导步骤：分解——求导——回代．法则：
y＇| X= y＇|U·u＇| X
- 15 -
【规律方法技巧】
(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；
(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．
【考点针对训练】
1
（1）求x(x)y x的导数；
y
1
的导数；（2）求(1)(11)
2
x x x
3
（3）求
x x
y x sin cos的导数；（4）求
y=
22
x
2
sin
x
的导数；（5）求y＝
3x2x x 5x
9
x
的导数.
312
【解析】（1）
y x
, '2.
1y 3x
x x
23
11
1
1
（2）先化简,y x x1x
x2
2
x x
，
1
3
1111
y'
x x
2
21.
222x
x
x x 1
（3）先使用三角公式进行化简.y x sin cos x sin x
222
'
1'1'1 y'x x x x
x
sin(sin)1
cos.
222
（4）y’=(x)'sin x
2
x
2
x
sin
2
*(sin x)'
=
2x sin x
sin
2
x cos
2
x
x31
；（5）y＝3x2－x＋５－9x2 3
y’＝３*（x 2
1
）＇－x＇＋５＇－９2
(x）＇＝３*
3
2
1
x2－１＋０－９*（－
1
2
3
）x2＝
9 2
1
x(12)
．
1
x
考点二、导数的几何意义
【备考知识梳理】函数y=f（x）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x 0
））处的切线的斜率．也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率
- 16 -
是f’（x
）．相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）．
【规律方法技巧】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数y f x在x x的导数，即曲线
y f x在点P x f x
处切线的斜率；（2）在已知切点
0,0P x f x和斜率的条件下，
0,0
求得切线方程y f x
f
x
x x
000
特别地，当曲线y f x在点
P x0,f x0处的切线平行于y轴时（此时导数不存在），可
由切线的定义知切线方程为x x；当切点未知时，可以先设出切点坐标，再求
解.
【考点针对训练】
a
1.已知函数y x2(a R)在x 1处的切线与直线2x y 10平行，则a的值为
x
________
【答案】a 0.
【解析】因为
a
，所以2a 2,a 0.
y2x
x
2
2.已知直线l与曲线y
1
和曲线y ln x均相切，则这样的直线l的条数为．
x
【答案】1
【解析】设
1
f(x)ln x
，
x
f'(x)
11x 1
，当0x 1时，f'(x)0，
f(x)单
x x x
22
调递减，当x 1时，f'(x)0，f(x)单调递增，x 1时，f(x)取得极小值也是最小值
f
，所以ln x 10恒成立，即ln x
1，因此设公直线l与曲线y1 (1)ln1110
x x x
相切于点
A x y，与曲线y ln x相切于点B(x,y)，必有
(,)10
的导数为
x ，y 1 1122
x
y'，y ln x的导数是y'1
1
，由题
意
x x
211
x x
2
12
1
ln x
2
1x
1
x x x
2
112
1
ln x
2
1
1x
，
1
x2x2x
111
，
2x ln(x)x 20，记g(x)2x ln(x)x 2，g'(x)2ln(x)1，令111
g'(x)0，则
1
x e，
当
2
1
x e2时，g'(x)0，g(x)单调递
增，当
1
e2x 0
时，
g'(x)0，g(x)单调递减，
11
g(x)g (e)2(1e)0，又g (e2)
3e220，
22
max
- 17 -
lim[2x ln(
x ) x 2] 2 0 ，所以 g (x ) 0 只有一解，即 2x ln(
x ) x 2 0 只有一
1
1
1
x
解，所以两曲线的切线只有一条．
【两年模拟详解析】
1.【2017年高考原创押题预测卷 01（江苏卷）】已知 f (x ) 是定义在 R 上的函数，其导函数为
f ' x ，若 2 f (x ) f '(x ) 2 ， f (0) 2018 ，则不等式 f (x ) 2017e 2x
1（其中 e 为自然
( )
对数的底数）的解集为 .
【答案】 (0,
)
2. 【2017年高考原创押题预测卷 02（江苏卷）】曲线 f (x ) x ln x 在点 P (1, 0) 处的切线l 与
两坐标轴围成的三角形的面积是 ．
【答案】
1
2
【解析】因 f (x )
1
ln x ,且 f (1)
1，故切线l 的斜率 k
1,切线方程为 y x 1,令
x ，得 y 1;令 y 0 ，得 x
1，∴交点坐标分别为 A (0,
1), B (1,0) ,则
| OA OB ，所以
1 1 1 1 | 1
,| | 1 S
.
ABO
2
2
3.【贵州遵义四中 2017届高三下第一次月考（理）】已知函数 f
x
为定义在
0,
上的连
2
1
续可导函数，且 f x xf 'x
，则不等式
的解集是__________．
x f
f x
x
【答案】
0,1
0【解析】令g x f x，则，所以
xf x f x
g x20(x0)x f f x
21
x x x
- 18 -
11
等价于，即解集是0,1
g g x x00x1
x x
x2x a,x0
4．【四川遂宁2017届高三三诊（文）】已知函数的图象上存在不同
f x
{1
,x0
x
1
的两点A,B,使得曲线y f x在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是____
b
n
1
【答案】
2,
4
11
【解析】设，则，且----
A x y
B x y x x2x1
1,1,2,210,20k2x1,k
112212
x x
22
1
（1），切线方程分别为和，即
l y y x x x:
1:12111
l y y x x
2222
x
2
11
l y x x x x x a
1:2111121
和，也即
l:y x x
222
x x 22
l1:y 2x11x x1 a
2
122
和，由题设可得------（2）；由（1）l:y x x2a
22
1
x x x
222
2
111121
得代入（2）可得，令，则
x
1
1
a t
12
2
2x4x x x
2
222
1F t t t
2,1
a F
t t
t
12
2
，因
，进而算得该函数的值域为，应填232
4
4
1
答案。

2,
4
点睛：解答本题的关键是理解两个不同点的切线重合这个概念，这意味着过两切点的切线方程
的斜率相等且截距相同，进而建立方程组，通过消元从而建立关于参数的方程，最后分离参数
将其化为求函数的值域问题，求解时借助导数知识分析推证，从而使得问题获解。

5．【广西五市2017届高三5月联合模拟理科】直线x a分别与曲线y 2x 1，
y x ln x A B AB
交于，，则的最小值为__________．
【答案】2
- 19 -
【解析】当 x a 是，由题意可得： AB 2a 1a ln a
ln a a 1 ，
令 f
x ln x x 1，则： f '
x 1 1，
x
当 x 0,1时，
f 'x 0 ，函数单调递增，
当 x 1,
时， f 'x 0 ，函数单调递减，
函数 f
x
的最大值为 f
1
2 ，
据此可知 AB 的最小值为 2.
6．【江苏兴化一中 2017届高三下期中】已知函数 f (x ) x 4 ax 3 2x 2 b ，其中 a ,b R ．若
函数 f (x ) 仅在 x
0 处有极值，则 a 的取值范围是______________．
8
8
【答案】
,
3 3
【解析】 f x x
ax x x x
ax
，要使函数 f
x
仅在 x 0 处有
极
'
4
3 4
4
3
4
3
2
2
值 ， 必 须 满 足 f 'x
在 x
0 两 侧 异 号 ， 所 以
恒 成 立 ， 则
4x 2
3ax 4 0
8 8
9a 64 0
，解得。

a 2
3
3
x
k
2
f x
x 2 e x
kx 7．【河北定州中学 2017届高三下第二次月考（4
月）】己知函数
2
(k 是常数， e 是自然对数的底数， e
2.71828
)在区间
0, 2
内存在两个极值点，则实数
k
的取值范围是__________．
【答案】
1,e
e ,e 2
8．【江苏如皋市2017届高三下学期语数英学科联考（二）】已知函数푓(푥)=푒푥(푥―푏)(푏∈푅)．若1
存在푥∈[，使得'(푥)>0，则实数푏的取值范围是____．
,2]푓(푥)+푥푓
2
【答案】푏<8
3
- 20 -
【解析】解答：
∵f(x)=e x(x−b)，
∴f′(x)=e x(x−b+1)，
1
若存在x∈[,2],使得f(x)+xf′(x)>0，
2
1
则若存在x∈[,2],使得e x(x−b)+xe x(x−b+1)>0，
2
1푥2+2푥
即存在x∈[,2],使得b< 成立，
2푥+1
푥2+2푥1
令푔(푥)=푥+1,푥∈[，
2
,2]
푥2+2푥+2
则푔'(푥)=，
(푥+1)2>0
1
g(x)在[2,2]递增，
8
∴g(x)最大值=g(2)= ，
3
则实数푏的取值范围是푏<8 3
点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
9.【江苏歌风中学（如皋办学）高三数学九月月考】曲线y x cos x在点p p
，处的切线方22
程为．
p
【答案】2x y0
2
【解析】y'1sin x，所以k1sin2，切线方程为y2(x)，化简得
22 2
p
2x y0．
2
10．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知两曲线
f x x
g x x x相交于点A.若两曲线在点A处的切线与x轴分别
cos,3sin,0,
2
相交于B,C两点，则线段BC的长为.
【答案】43
3
- 21 -
3
【解析】由题意得
cos x
3 sin x
tan x
,Q x
0, x .又
3
2
6
f x sin x ,
g (x ) 3 cos x 所以切
线斜率分别为
1 3
f
, g
6 2 6
2
，方程分别
为
3 1 (
), 3 3 (
)
y
x y x
，与 x 轴交点横坐标分别为
2
2 6
2 2
6
x
3, x
．
，故线段 BC 的长为 3 ( 3) 4 3 3 6 6 3 3
3
1
11．【江苏高三数学月考】曲线 y
(x 0) 与曲线 y
ln x 公切线（切线相同）的条数
x
为
.
【答案】1 【解析】
y
1 的导数为 x y '
1 ， y ln x 的导数为 y ' 1
1 ，设公切线的切点为
(x , ) 1 ， y ln x 的导数为 y ' 1
1 x x x
2
1
1
（
x 1
0 ），
(x ,ln x ) ，则切线为
2 2
1
1
y
(x x )， 1 x
x
2 1
1
1
y ln x
(x x )，两切线相
同，
2
2
x
2
1 1
x
x
2 1
2
x 2
，消去
x ，整理得
2
2 x 1
，记 g (x ) 2 2 ln( x ) 1 2 ln( x ) 1 0
，则 1
x
则有
2
1ln
x
1
2221
g'(x)(1)，当x 0时，g'(x)0，g(x)递减，且x x x x
2
2
g(e)210
，因此g(x)0在
(,0)上只有一解，即方程
，g(1)2e30
e e
2
x
1
2ln(x)10只有一解，因此所求公切线只有一
条．
1
12．【2016届江苏省清江中学高三考前一周双练冲刺四】已知函数f x f cosx
x
cos'3sin
1
2
2
1
，则的值为.
f
1
2
【答案】3
【解析】令t cos x,t
1,1，
，
f t
f
1
t
t
'31
2
2
- 22 -
所以 f '
t
f
'
1
2 3t ，令 ，
t
1 2
2
1
3 3 f
1
则
，所以
.
f
f t
t
t
' , 3 1
3 2
2
2
2
2
2 13．【2016届四川省双流中学高三 11月月考理科】已知函数
，其导函数
f (x)
sin x
e
1
x
记为 ，则 的值为______．
f / (x)
f (2016) f (2016) f / (2016) f / (2016)
【答案】 2
2
e
x
x
x
2
cos 【解
析】由题意得，因为
，所以
，所以
f (x)
sin x f x
x
e 1
(e
1)
f (x ) f (x )
2
2
x
x
x
x sin sin( ) 2
e
e
1
1
，
x
x
e
e
f (x ) f ( x ) cos x
cos( x )
(e
1)
(e
1)
x
2
x
2
，
所以 f (2016) f (2016) f / (2016) f / (2016) 2．
14．【2016届河北省邯郸市一中高三下学期研七考试文科】设函数f x在0,内可导，1
且f e x e，且f1______．
x x
31
2
7
【答案】
2
t
3 1
【解析】令t e x，则x ln t，3ln1，
，
f t t f t
2t 2 17
f
13
．
22
15．【2016届河南省郑州市高三第二次模拟考试文科】曲线f（x）＝x3－x＋3在点P（1，3）
处的切线方程是_________．
【答案】2x y10.
【解析】∵y'3x21，∴当x1时，y'2，y3，∴切线方程为y32(x1)，即2x y10，故填：2x y10.
16．【2016届河北省石家庄市高三二模理科】已知函数f(x)x33x，若过点M(2,t)可作
- 23 -
曲线 y f (x ) 的两条切线，且点 M 不在函数 f (x ) 的图象上，则实数t 的值为______. 【答案】
6或 2
2
17．【2016届江苏省苏州大学高考考前指导卷 1】已知直线 x y
b 是函数
的图象
y ax
x
在点 P (1,m ) 处的切线，则 a b m ．
【答案】2.
2
【解析】由于 P 点在函数 y ax
图象和直线
上，则 ， . 又由
x y b
m a 2 m 1
b
x
2
2 函数
的导函数 可知，切线的斜率
，有
，
和
y
ax
k 1 a 2 a 1 m 3
y ' a
x
x
2
b 4
a b m 2
，则
.
【一年原创真预测】
e e
x
x
1.已知函数 f x
满足
2
，则 f 1 _______________．
f x
f
x
2
【答案】
e
e 1
2
e
e x
x
【解析】由已知可得 2
f
x
f x
，与已知式联立解方程组得
2
f x
e
e
x
x
．
2
x
x
x
x
1
1 x
1 1 x
1 1 e e e e
f x
e e ln ,
f 1 ．
2
e
2
e
e 2
2
【入选理由】本题主要考查函数解析式求法、基本求导公式、导数的运算法则等基础知识，意
- 24 -
在考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．此题难度不大，出题角度较新，故选此题．2.设点P在曲线上y ln x上，点Q在曲线y11
(x>0)上，点R在直线y x上，则
x
|PR||RQ|的最小值为_____________________.
【答案】2
【解析】由y ln x
知，
1，由y1
=1得，x=1，故y ln x与y x平行的切
线切点
y
x x
为（1,0），∴
|PR|为（1,0）到y x距
离
min
|10
|
11
2
2
=
2
2
；由y
1
1(x>0)
知，
x
1
，
由
y
x
2
=1得，x=1，故y11
1
y 与y x平行的切线切点为（1,0），∴|QR
|
2
min x x
为（1,0）到y x距离
|10
|
11
2
2
=
2
2
；∵两曲线的切点相同，故
|PR|与|QR|可同
时
min min
取到且都为
2
2
，∴|PR||RQ|的最小值为
2.
【入选理由】本题主要考查利用导数研究函数的最值问题，巧妙地考查导数的几何意义，出题方式新颖，试题难度不大，同时对导数运算的深层次考查，体现灵活运用导数知识解决问题能力；
- 25 -。