2018届全国高三原创数学试卷(四)

2018届全国高三原创数学试卷（四）
本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题）
一、选择题 1．已知复数
（是虚数单位），它的实部和虚部的和是 A ．4 B ．6 C ．2 D ．3
2．已知全集R U =，集合{}
21x A x =>，{}
2
340B x x x =-->，则A B ⋂=
A ．{}
0x x > B ．{}
10x x x <->或 C ．{}
4x x >
D ．{}
14x x -≤≤
3．“1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间[)2,+∞上为增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
，则目标函数y x z -=的最小值为
A ．2-
B ．5
C ．6
D ．7 5．函数()1ln f x x x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
的图象是 231i
i
--i
A ．
B ．
C ．
D ． 6．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为
A ．
1311
B ．
21
13
C ．
813
D ．
138
7．二项式8
(
2x -的展开式中常数项是 A ．28
B ．-7
C ．7
D ．-28
8．已知直线0=++c by ax 与圆1:2
2
=+y x O 相交于 ,A B 两点，且,3=AB
则OB OA ⋅ 的值是
A ．1
2- B ．12 C ．34
- D ．0
9．一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为
A ．
203 B ．403 C ．20 D ．40
10．设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x +1 只有一个公共点，则双曲线
122=-y x 2
的离心率为( ). A.
B. 5
C.
D.
11．已知1()(01),()()x f x a a a f x f x
--=>≠且是的反函数，若1(2)0f -<，则
1(1)f x -+的图象大致是（ ）
12．已知椭圆
22
1259
x y +=，过椭圆右焦点F 的直线L 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于P 点。

设12,PA AF PB BF λλ==
,则12λλ+等于（ ）
A. 925-
B. 509-
C.509
D. 925
第II 卷（非选择题）
二、填空题
13．下面四个命题： ①把函数的图象向右平移
个单位，得到的图象; ②函数的图象在x=1处的切线平行于直线y=x ，则是f(x)的单调递增区间;
③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1∶3;
④“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件。

其中所有正确命题的序号为 。

14．已知x 和y 是实数，且满足约束条件y x z x y x y x 32,72210+=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-≤+则的最小值
是 .
15．已知⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-,
3),6(log 3
,3)(2
31x x x e x f x 则))3((f f 的值为 . 16．:cm 某个几何体的三视图如下,单位则此几何体的体积为____.
452
55y=3sin(2x )3
π
+
3
π
y=3sin2x 2()ln f x ax x =-(,)2
+∞
三、解答题
17．（本小题满分12分） 已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ，
设向量(,)m a b =u r , (sin ,sin )n B A =r , (2,2)p b a =--u r
（Ⅰ）若m u r ∥n r
，求证：ABC ∆为等腰三角形；
（Ⅱ）若m u r ⊥p u r ，边长2c =，3
C π
=，求ABC ∆的面积.
18．（本小题满分12分） 已知 且；q ：集合2{|(2)10,}A x x a x x =+++=∈R ，且A ≠∅．若∨为真命题，∧为假命题，求实数a 的取值范围.
19．（本小题满分12分）
如图：在三棱锥D-ABC 中，已知是正三角形，AB 平面BCD ，，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且
1:(),3
x
p f x -=
|()|2f a <p q p q BCD ∆⊥AB BC a ==3AF FC
=
正视图侧视图
俯视图
（2）求证AC ⊥平面DEF ；
（3）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．
20．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>
，以原点为圆心，椭圆的短半
轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点A B 、，设P 为椭圆上一点，且满足
OA OB tOP +=
（其中O 为坐标原点），求整数t 的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知点(1,0)A - ，(1,0)B ，动点M
的轨迹曲线C 满足2A M B θ∠
=，2
c o s 3A M B M θ⋅= ，过点B 的直线交曲线C 于P 、Q 两点. (1)求A M B M +
的值，并写出曲线C 的方程；
(2)求△APQ 面积的最大值.
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.
如图，⊙O 内切△ABC 的边于D 、E 、F ，AB=AC ，连接AD 交⊙O 于点H ，直线HF 交BC 的延长线于点G.
B G
C
D
H F
A
O
E
⑴证明：圆心O 在直线AD 上； ⑵证明：点C 是线段GD 的中点. 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲. 在极坐标系中, O 为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,)3
π
. ⑴求圆C 的极坐标方程；
⑵P 是圆C 上一动点，点Q 满足3O P O Q
=
，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求点Q 的轨迹的直角坐标方程. 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知函数()|1||22|.f x x x =-++ ⑴解不等式()5f x >；
⑵若不等式()()
f x a a <∈R 的解集为空集，求a 的取值范围.
参考答案
17．（Ⅰ）利用正弦定理由角化边可以得到a b =，命题即得证.（Ⅱ）3 18．(,5](4,0)[7,)-∞--+∞
19．（1）（2）先证EF ⊥AC ，再证DE ⊥AC ，即可证AC ⊥平面DEF （3）存在这样的点N ，当CN
＝时，MN ∥平面DEF ．
20．（Ⅰ）12
22
=+y x ． （Ⅱ）t 的最大整数值为1. 21．解：(1)设(,)M x y ，在△M A B 中，2AB =，2A M B θ∠
=，根据余弦定理得22
2c o s 24A M B MA M B M θ
+-⋅=
. （2分） 即2
()2(1c o s 2)4A M B M A M B M θ
+-⋅+= .
2
2
()4c o s 4A M B MA M B M θ
+-⋅= .
而2c o s 3A M B M θ⋅= ，所以2
(
)434A M B M +-⨯= . 所以4A M B M += . （4分）
2
ACD S ∆=
3
8
CA
又42A M B M A B
+=>= ， 因此点M 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆（点M 在x 轴上也符合题意），
2a =，1c =.
所以曲线C 的方程为22143
x y +=. （6分）
所以1
103
t t +≥
，当2
333t m =+=，即0m =时取等号. 所以2
1248
()91023
y y -=+≤
，即12y y -的最大值为3.
所以△APQ 面积的最大值为3，此时直线P Q 的方程为1x =. （12分）
22．证明⑴：∵,,A B A C A F A E ==∴C F B E =. 又∵,,
C F C
D B D B
E ==∴.C D B D = 又∵△ABC 是等腰三角形，A B A C =,∴AD 是角∠CAB 的平分线.
∴内切圆圆心O 在直线AD 上. (5分) ⑵连接DF ，由⑴知，DH 是⊙O 的直径，
B
G
C D
H F
A O
E
90,90.
D F H F D H F H D ∴∠=∴∠+∠=
90,
G F H D ∠+∠=
又.F D H G ∴∠=∠ ,
O A C F 与相切于点 ,
A F H G F C F D H ∴∠=∠=∠.G F C G ∴∠=∠ ,
C G C F C
D ∴==∴点C 是线段GD 的中点. (10分)
24．解：(1)根据条件311()311,311x x f x x x x x +>⎧⎪
=+-⎨⎪--<-⎩
≤≤，，，
当1x >时，5)(>x f 4
4315,1,;33
x x x x ⇔
+>⇔>>>又所以 当11x -≤≤时，5)(>x f 352,1;x x x ⇔
+>⇔>≤≤又此时无解-1， 当1x <-时，5)(>x f 3152,1,2.x x x x ⇔
-->⇔<-<-<-又所以 综上，5)(>x f 的解集为4
{|3
x x >
或2}x <-. （5分） (2)由于311()311,311x x f x x x x x +>⎧⎪
=+-⎨⎪--<-⎩
≤≤，
，，可得()f x 的值域为∞
[2,+). 又不等式()()f x a a <∈R 的解集为空集，所以a ∞的取值范围是(-,2]. （10分）。