2017年湖南省衡阳市高考数学三模试卷(文科) 有答案

2017年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（）
A．{﹣2，1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0，1}
2．已知=1+bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+b=（）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
3．“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0＜b＜1”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．在等差数列{a n}中，若a6+a8+a10=72，则2a10﹣a12的值为（）
A．20 B．22 C．24 D．28
5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为3，3，7，则输出的s=（）
A．9 B．21 C．25 D．34
6．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）
A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3
7．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g（﹣8）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
8．已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）
A．2 B．C．D．3
9．如图所示，三棱锥V﹣ABC的底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，侧面V AC与底面ABC 垂直，若以垂直于平面V AC的方向作为正视图的方向，垂直于平面ABC的方向为俯视图的方向，
已知其正视图的面积为2，则其侧视图的面积是（）
A
． B．C．2D．3
10．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=a（0＜a＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递减区间是（）
A．[6kπ，6kπ+3]（k∈Z）B．[6kπ﹣3，6kπ]（k∈Z）C．[6k，6k+3]（k∈Z）D．[6k﹣3，6k]（k∈Z）
11．如图所示，在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos（α﹣β）=（）
A． B．C．D．
12．已知x=1是函数f（x）=ax3﹣bx﹣lnx（a＞0，b∈R）的一个极值点，则lna与b﹣1的大小关系是（）
A．lna＞b﹣1 B．lna＜b﹣1 C．lna=b﹣1 D．以上都不对
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ=．
14．在区间（0，6）上随机取一个实数x，则满足log2x的值介于1到2之间的概率为．
15
．由约束条件，确定的可行域D
能被半径为的圆面完全覆盖，则实数k 的取值范
围是 ．
16．在数列{a n }及{b n }中，a n +1=a n +b n
+，b n +1=a n +b n
﹣，a 1=1，b 1=1．设c n
=，
则数列{c n }的前2017项和为 ．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，已知．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）点D 为边AB 上的一点，记∠BDC=θ
，若＜θ＜π，CD=2
，
，
a=，求sinθ与b
的值．
18．全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数（AQI ），数据统计如下：
（2）由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；
（3）在空气质量指数分别属于[50，100）和[150，200）的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A”两天空气都为良“发生的概率．
19．如图，空间几何体ADE ﹣BCF 中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF
是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB=AD=DE=2，EF=4，M是线段AE上的动点．（1）求证：AE⊥CD；
（2）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，求空间几何体ADM﹣BCF的体积．
20．已知抛物线x2=2y，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且k PA k PB=﹣2．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．
（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；
（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．
四、选做题
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴
正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
选做题
23
．已知函数f（x）=的定义域为R．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a的最大值为k，且m+n=2k（m＞0，n＞0），求证： +≥3．
2017年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（）
A．{﹣2，1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0，1}
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】把A中元素代入y=|x|﹣3中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：把x=﹣2，﹣1，0，1，2，3，分别代入y=|x|﹣3得：y=﹣3，﹣2，﹣1，0，即B={﹣3，﹣2，﹣1，0}，
∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，
故选：C．
2．已知=1+bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+b=（）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件即可求出a，b的值，则答案可求．
【解答】解：∵=1+bi，
∴a+i=i﹣b，
∴a=﹣b，
∴a+b=0，
故选：A
3．“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0＜b＜1”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】直线y=x+b与圆x2+y2=1相交，可得（0，b）在圆内，b2＜1，求出﹣1＜b＜1，即可得出结论．
【解答】解：直线y=x+b恒过（0，b），
∵直线y=x+b与圆x2+y2=1相交，∴（0，b）在圆内，∴b2＜1，∴﹣1＜b＜1；
0＜b＜1时，（0，b）在圆内，∴直线y=x+b与圆x2+y2=1相交．
故选：B．
4．在等差数列{a n}中，若a6+a8+a10=72，则2a10﹣a12的值为（）
A．20 B．22 C．24 D．28
【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】由等差数列通项公式求出a8=24，2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8，由此能求出结果．
【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a6+a8+a10=72，
∴a6+a8+a10=3a8=72，
解得a8=24，
∴2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8=24．
故选：C．
5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为3，3，7，则输出的s=（）
A．9 B．21 C．25 D．34
【考点】EF：程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=2，
当输入的a为3时，S=3，k=1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a为3时，S=9，k=2，不满足退出循环的条件；
当输入的a为7时，S=25，k=3，满足退出循环的条件；
故输出的S值为25，
故选：C．
6．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）
A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3
【考点】GR：两角和与差的正切函数．
【分析】由倍角公式求得sinα与cosα的数量关系，结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可．
【解答】解：∵2sin2α=1+cos2α，
∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1，
即2sinαcosα=c os2α，
①当cosα=0时，，此时，
②当cosα≠0时，，此时，
综上所述，tan（α+）的值为﹣1或3．
故选：D．
7．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g（﹣8）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【分析】根据题意，设x＜0，则有﹣x＞0，由函数的解析式可得f（x）=g（x），f（﹣x）=log（﹣x+1），又由函数f（x）的奇偶性，结合函数奇偶性的性质可得g（x）=﹣log（﹣x+1），计算g（﹣8）计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设x＜0，则有﹣x＞0，
又由f（x）=，
则有f（x）=g（x），f（﹣x）=log（﹣x+1），
又由函数f（x）为奇函数，
则有g（x）=﹣log（﹣x+1），
故g（﹣8）=﹣log[﹣（﹣8）+1]=﹣2；
故选：A．
8．已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）
A．2 B．C．D．3
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由离心率公式，可得a，b，c的关系，运用直线的斜率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，
由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），
C（c，﹣），D（c，），
由双曲线E的离心率是2，可得e==2，
即c=2a，b==a，
直线AC的斜率为k==﹣=﹣=﹣．
即有|k|=．
故选：B．
9．如图所示，三棱锥V﹣ABC的底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，侧面V AC与底面ABC 垂直，若以垂直于平面V AC的方向作为正视图的方向，垂直于平面ABC的方向为俯视图的方向，
已知其正视图的面积为2，则其侧视图的面积是（）
A
． B．C．2D．3
【考点】L7：简单空间图形的三视图．
【分析】由题意作VD⊥AC，垂足为D，△V AC是正视图，根据正视图与侧视图的高相等，
结合三棱锥的底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，即可求出侧视图的面积．
【解答】解：由题意，作VD⊥AC，垂足为D，则△V AC是正视图，
如图所示
∵正视图的面积为2，
∵×AC×VD=2，
∴AC×VD=4，
作BE⊥AC，垂足为E，
∵三棱锥V﹣ABC的底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，
∴BE=AC，
VD•BE=•AC•VD=．
∴侧视图的面积是S
侧视图=
故选：B．
10．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=a（0＜a＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递减区间是（）
A．[6kπ，6kπ+3]（k∈Z）B．[6kπ﹣3，6kπ]（k∈Z）C．[6k，6k+3]（k∈Z）D．[6k﹣3，6k]（k∈Z）
【考点】H2：正弦函数的图象．
【分析】由题意可得，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值．从这两个方面考虑可求得参数ω、φ的值，进而利用三角函数的单调性求区间．
【解答】解：与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8
知函数的周期为T==2（﹣），得ω=，
再由五点法作图可得•+φ=，求得φ=﹣，
∴函数f（x）=Asin（x﹣）．
令2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈z，解得：6k+3≤x≤6k+6，k∈z，
∴即x∈[6k﹣3，6k]（k∈Z），
故选：D．
11．如图所示，在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos（α﹣β）=（）
A． B．C．D．
【考点】MI：直线与平面所成的角．
【分析】连接BD交AC于O，连接OB1，过O作OM⊥BC于M，连接B1M，B1A，B1C．求出α=90°，
证明OM⊥平面BCC1B1，得出cos（α﹣β）=sinβ=．
【解答】解：连接BD交AC于O，连接OB1，过O作OM⊥BC于M，连接B1M，B1A，B1C．
∵B1A=B1C，O是AC的中点，∴OB1⊥AC，
∵B1E OB，∴四边形ODEB1是平行四边形，
∴OB1∥DE，
∴DE⊥AC，
∴直线AC与直线DE所成的角为α=90°，
∵OM⊥BC，OM⊥BB1，
∴OM⊥平面BCC1B1，
∴∠OB1M为直线DE与平面BCC1B1所成的角β，
∴cos（α﹣β）=sinβ=，
∵正方体的棱长AB=2，∴OM=1，OB==，
∴OB1==，
∴sinβ==．
故选A．
12．已知x=1是函数f（x）=ax3﹣bx﹣lnx（a＞0，b∈R）的一个极值点，则lna与b﹣1的大小关系
是（）
A．lna＞b﹣1 B．lna＜b﹣1 C．lna=b﹣1 D．以上都不对
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】求出f（x）的导数得到b=3a﹣1，作差令g（a）=lna﹣（b﹣1）=lna﹣3a+2，（a＞0），根据函数的得到求出g（a）的最大值小于0，从而判断出lna和b﹣1的大小即可．
【解答】解：f′（x）=3ax2﹣b﹣，
∵x=1是f（x）的极值点，
∴f′（1）=3a﹣b﹣1=0，
即3a﹣1=b，
令g（a）=lna﹣（b﹣1）=lna﹣3a+2，（a＞0），
则g′（a）=﹣3=，
令g′（a）＞0，解得：0＜a＜，
令g′（a）＜0，解得：a＞，
故g（a）在（0，）递增，在（，+∞）递减，
故g（a）max=g（）=1﹣ln3＜0，
故lna＜b﹣1，
故选：B．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ=﹣1．
【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】先求得得和的坐标，再根据|+|=|﹣|，求得λ 的值．
【解答】解：由题意可得=（2λ+2，2），=（﹣2，0），
再根据|+|=|﹣|，
可得=，解得λ=﹣1，
故答案为：﹣1．
14．在区间（0，6）上随机取一个实数x，则满足log2x的值介于1到2之间的概率为．
【考点】CF：几何概型．
【分析】根据几何概型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：1≤log2x≤2，解得2≤x≤4，
则log2x的值介于1到2之间的概率P==，
故答案为：．
15．由约束条件，确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数k的取值范
围是．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】先画出由约束条件确定的可行域D，由可行域能被圆覆盖得到可行域是封闭的，判断出直线
y=kx+1斜率小于等于即可得出k的范围．
【解答】解：∵可行域能被圆覆盖，
∴可行域是封闭的，
作出约束条件的可行域：
可得B（0，1），C（1，0），|BC|=，
结合图，要使可行域能被为半径的圆覆盖，
只需直线y=kx+1与直线y=﹣3x+3的交点坐标在圆的内部，
两条直线垂直时，交点恰好在圆上，此时k=，
则实数k的取值范围是：（﹣∞，]．
故答案为：．
16．在数列{a n }及{b n }中，a n +1=a n +b n +，b n +1=a n +b n ﹣，a 1=1，b 1=1．设c n =，
则数列{c n }的前2017项和为 4034 ． 【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．
【分析】由已知可得a n +1+b n +1=2（a n +b n ），
a 1+
b 1=2，a n +1b n +1=，即a n b n =2n
﹣1
．代入c n =，求得数列{c n }为常数数列得答案．
【解答】解：∵a n +1=a n +b n +，b n +1=a n +b n ﹣
，a 1=1，b 1=1．
∴a n +1+b n +1=2（a n +b n ），a 1+b 1=2． ∴a n +b n =2n ．
另一方面：a n +1b n +1=，
∴a n b n =2n ﹣1．
∴c n =
=
=
，
则数列{c n }的前2017项和S 2017=2017×2=4034． 故答案为：4034．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）点D 为边AB 上的一点，记∠BDC=θ，若＜θ＜π，CD=2，
，a=
，求sinθ与b
的值．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB=，结合范围0＜B ＜π，可求B的值．
（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理可得=，解得sinθ=，结合θ为钝角，利用诱导公式可求cos∠ADC的值，在△ADC中，由余弦定理，可得b的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵，∴可得：，
∵sinC＞0，∴=tanB=，
∵0＜B＜π，
∴B=…4分
（Ⅱ）在△BCD中，∵=，
∴=，∴sinθ=，…8分
∵θ为钝角，
∴∠ADC为锐角，
∴cos∠ADC=cos（π﹣θ）==，
∴在△ADC中，由余弦定理，可得：
b=== (12)
分
18．全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：
（2）由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；
（3）在空气质量指数分别属于[50，100）和[150，200）的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A”两天空气都为良“发生的概率．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．
【分析】（1）利用统计表和频率分布直方图能求出n，m的值，并能完成频率分布直方图．
（2）由频率分布直方图能求出该组数据的平均数和中位数．
（3）空气质量指数为[50，100）和[150，200）的监测天数中分布抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50，100）的4天分别记为a，b，c，d，将空气质量指数为[150，200）的1天记为e．从中任取2天，利用列举法能求出事件A”两天空气都为良“发生的概率．
【解答】解：（1）∵0.004×50=，解得n=100，
∵20+40+m+10+5=100，解得m=25，
=0.008，，，．
完成频率分布直方图如右图：
（2）由频率分布直方图知该组数据的平均数为：
=25
×0.004×50+75×0.008×50+125×0.005×50+
175×0.002×50+225×0.001×50=95．
∵[0，50）的频率为0.004×50=0.2，[50，100）的频率为0.008×50=0.4，
∴该组数据的中位数为：=87.5．
（3）空气质量指数为[50，100）和[150，200）的监测天数中分布抽取4天和1天，
在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50，100）的4天分别记为a，b，c，d，
将空气质量指数为[150，200）的1天记为e．
从中任取2天的基本事件分别为：
（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（c ，d ），（c ，e ），（d ，e ），共10天，
基其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为：
（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共6天，
∴事件A”两天空气都为良“发生的概率P （A ）=
．
19．如图，空间几何体ADE ﹣BCF 中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF
是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AD ⊥DC ，AB=AD=DE=2，EF=4，M 是线段AE 上的动点． （1）求证：AE ⊥CD ；
（2）试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由； （3）在（2）的条件下，求空间几何体ADM ﹣BCF 的体积．
【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS ：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）推导出CD ⊥ED ，AD ⊥DC ，从而CD ⊥平面AED ，由此能证明AE ⊥CD ．
（2）当M 是线段AE 的中点时，连结CE 交DF 于N ，连结MN ，则MN ∥AC ，由此得到AC ∥平面MDF ．
（3）将几何体ADE ﹣BCF 补成三棱柱ADE ﹣B′CF ，空间几何体ADM ﹣BCF 的体积V ADM ﹣
BCF =
﹣V F ﹣DEM ，由此能求出空间几何体ADM ﹣BCF 的体积．
【解答】证明：（1）∵四边形CDEF 是矩形，∴CD ⊥ED ，… ∵AD ⊥DC ，AD ∩ED=D ， ∴CD ⊥平面AED ，…
∵AE ⊂平面AED ，∴AE ⊥CD ． …
解：（2）当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF ，…
证明如下：
连结CE 交DF 于N ，连结MN ， ∵M 、N 分别是AE 、CE 的中点，…
∴MN ∥AC ，又MN ⊂平面MDF ，AC ⊄平面MDF ，…
∴AC ∥平面MDF … （3）将几何体ADE ﹣BCF 补成三棱柱ADE ﹣B′CF ，
∴三棱柱ADE ﹣B′CF 的体积V=S △ADE •CD==8，…
空间几何体ADM ﹣BCF 的体积：
V ADM ﹣BCF =﹣V F ﹣DEM
=8﹣
﹣
=
．…
∴空间几何体ADM ﹣BCF 的体积为
．…
20．已知抛物线x 2=2y ，过动点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，且k PA k PB =﹣2． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）试问直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由． 【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）直线PA ：y ﹣y 0=k PA （x ﹣x 0），代入抛物线方程，得出，同
理，有
，k PA ，k PB 分别为方程：k 2﹣2x 0k +2y 0=0的两个不同的实数根，利用韦达
定理求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）求出直线AB 的方程，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）设P （x 0，y 0），则直线PA ：y ﹣y 0=k PA （x ﹣x 0），代入抛物线方程：x 2﹣2k PA x ﹣2y 0+2k PA x 0=0，
因为直线与抛物线相切，所以，…
同理，有
，…
所以k PA ，k PB 分别为方程：k 2﹣2x 0k +2y 0=0的两个不同的实数根，…
k PA k PB=﹣2=2y0，所以y0=﹣1，所以点P的轨迹方程为y=﹣1．…
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，y'=x，所以抛物线在A，B点的切线方程分别为x1x﹣y﹣y1=0，x2x﹣y﹣y2=0，…
又都过点P（x0，﹣1），所以…
所以直线AB的方程为xx0﹣y+1=0，…
所以直线AB恒过定点（0，1）．…
21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．
（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；
（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；
（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可．
【解答】解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，
∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，
又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，
由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，
∴函数g（x）在（0，2）递减；
（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，
故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，
令l（x）=2﹣，x∈（0，），
则l′（x）=，
再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），
则m′（x）=＜0，
故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，
从而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，
∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，
故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），
综上，若函数y=f（x）在上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．
四、选做题
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴
正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设P为曲线C上的动点，利用参数方程，求点P到直线l的距离的最小值．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为=1
直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=4化为：（ρsinθ+ρcosθ）=4，
化成直角坐标方程为：x+y﹣8=0；
（2）P（cosα，sinα）到直线x+y﹣8=0的距离d==，
∴sin（α+θ）=1时，d的最小值为．
选做题
23
．已知函数f（x）=的定义域为R．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a的最大值为k，且m+n=2k（m＞0，n＞0），求证： +≥3．
【考点】7F：基本不等式；R4：绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，求出表达式的最小值，即可得到a的范围，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得m+n=3，则（+）=（+）（m+n）=（1+4++），根据基本不等式即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）∵|2x﹣1|+|x+1|﹣a≥0，
∴a≤|2x﹣1|+|x+1|，
根据绝对值的几何意义可得|2x﹣1|+|x+1|的最小值为，
∴a≤，
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a的最大值为k=，
∴m+n=3，
∴（+）=（+）（m+n）=（1+4++）≥（5+2）=3，
问题得以证明．。