【习题】第二章一阶微分方程的初等解法

【习题】第二章一阶微分方程的初等解法
第二章
一阶微分方程的初等解法
x
2-1已知f(x) f(t)dt 1, x
0,试求函数f (x)的一般表达式。

0 x
解对方程f(x) f (t)dt 1，两边关于x 求导得
x
f (x) f (t)dt f 2(x)
0，
f (X)丄 f(x) f 2(x) 0
，
分离变量，可求得
代入原方程可得 C 0,从而f(x)的一般表达式为f (x)
评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到, 确定。

解由导数的定义可得
x(t s) x(t)
x (t) lim
s 0
s
2
|im x(s) x (t)x(s) s 0
[1 x(t)x(s)]s
lim 丄辿型 s 01 x(t)x(s) s
显然可得x(0)
0，故
分离变量，再积分可得
x(t)
[1 2
x (t)] !i 叫
x(s) x(0)
s
x (0) [1 x 2(t)]
f(x)
、2(x C)'
1
2x 。

而是需将通解代回原方程来
2-2求具有性质x(t S) x(t) x(s) 1 x(t)x(s)
的函数x(t)，已知x (0)存在。

x(t) tan[x(O)t C],
再由x(0) 0,知C 0,从而x(t) ta n[x(0)t]。

评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。

2-3 若M(x,y)x N(x,y)y 0，证明齐次方程M (x, y)dx N(x,y)dy 0 有积分因
1
xM(x,y) yN(x, y)
证方法1用凑微分法求积分因子。

我们有恒等式
M (x, y)dx N (x, y)dy
1 dx dv
2
{(M(x，y)x N(x，v)v)U 寺(M(x，v)x
鱼din (xy)，
x y
空翌din仝，
x y y
所以原方程变为
-{( M (x, y)x N (x, y)y)d ln(xy) (M (x, y)x N (x, y)y)d ln —} 0。

2 y
1 1 M (x, y)x N(x, y)y「x
-d ln(xy) d in 0，
2 2 M(x,y)x N(x,y)y y
由于M(
x
,y)
x
N(x, y)y
为零次齐次函数，故它可表成仝的某一函数，记为f (上)，M (x,y)x N(x, y)y y y
I X
MX" N(x,y)y % 巧F(in^)，
M(x,y)x N(x,y)y y y
N
(x，y)y)(￥3)}
y
用(x,y)
1
M(x,y)x
乘上式两边，得
N(x,y)y
1
(M) y
(七)
y
2 [卫(xM
(xM yN) y
原方程进一步可改写成
1
d In xy 2
1 x x -F(ln )d In
0,
2 y y
它为一个恰当方程，表明
1
(x, y)
为齐次方程的积分因
子。

方法2化为分离变量方程求积分因子。

设M (x, y), N (x, y)是m 次齐次函数，则令 y ux ， dy xdu udx ，有
M(x,y) M (x, xu) x m M (1,u), N(x, y) N(x,xu) x m N(1,u),
将其代入原方程 M (x, y)dx N(x, y)dy 0中，得
x m {[ M (1,u) N(1,u)u]dx xN(1,u)du} 0，
可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子方程就可变量分离，即化为恰当方程，因此，齐次方程的积分因子是
(x,y)
1
xM (x,y) yN(x,y) °
方法3用定义求积分因子。

匚型丄巴即可。

为此，我们计算
1
M
N
矿扃[yN 匚 yM - NM]，
________ 1 ________ m 1
x [M (1,u)
uN(1,u)]
1
xM (x, y) yN(x, y)
由积分因子的定义，只需证明二元函数
(x, y)
1 xM (x, y) yN(x, y)
满足
N
(N) ( ) xM yN x
x
除了可以化为变量可分离方程以外，我们还可以采用本例中所得到的结果，很快寻找出一个
1
[
N
(xM yN)…
■?、2 [
(xM yN)
N]
(xM
yN) x
x
1
N
M
[xM
xN
NM ]，
(xM yN)2
x
x
(M) (N)
y
x
x(NM x MN x )
y(NM y MN y )
(xM
yN)2
为齐次方程,
令畔g(^)
N(x,y)
显然
g x (-)
x g y (-)
x
2
x
1 -g x y
g 1 N2 (M x N N X M), l(M y N MN y ), N 2 2
xy 因而 (M) y
N)
N 2马g N 2-g
x x
2
(xM gN)
N 2
(』上 x (xM
)g x
gN)2
是齐次方程的积分因子。

评注：注意求积分因子方法的正确运用，对于齐次方程M (x, y)dx N (x, y)dy 0，
积分因子
(x,y)
1
xM(x,y) yN(x, y)
将其转化为恰当方程来求解。

2-4解方程dy------------
dx xy x y 解由题得
dx
3 3
dy xy x y ，
这是以x 为未知函数和以y 为自变量的迫努利方程，则有3
dx x dy
2
故 z y 2 1 Ce y ,
从而原方程的解为
而空
dy
2yz 的解为z
采用常数变易法，令z C(y)
dz dy
Ce
C(y)e
2yz y
2
y 2e y2
2y 3
,
dz 3
代入
2zy 2y 中得
dy
2
e y C ,
x 2
(
1 Ce
y2
) 1。

评注：在微分方程中，变量x 与y 具有同等的地位，对同一个方程，既可以就
y 求解,
也可以就x 进行求解，如果方程
鱼 f (x,y)就y 求解比较困难，可以尝试将原方程变化
dx
dx 1
为
，然后就x 进行求解，有时会取得意想不到的效果,
dy f (x,y)
参见典型习题2-15,4)，
和 2-16，4 )。

2-5试导出方程 M(x, y)dx N(x,y)dy 0分别具有形为 (x y)和(xy)的积分
因子的充要条件。

解根据判别准则(定理 2.1)， (x y)是方程M (x, y)dx N(x, y)dy 0的积分因
子的充要条件是
[业 y)M(x, y)] [ y)N(x, y)]
M N y x yN xM
评注：利用对称形式的微分方程的系数容易判断方程是否具有特殊形式的积分因子,
而给出求积分因子的思路。

2-6设f(x, y)及丄连续，试证方程dy f(x, y)dx 0为线性方程的充要条件是它有 y
则有
M (X
y)( M y
N
) x
N (i(x
x
y)
M
y
y)
y)(- M
N 、 N d (j(x y) M
d u(x
y) M (X
)
y x
d(x y)
d(x y)
M N y
x
d (x y) 1
N M d(x y) (x y)
f(x y),
因此方程具有形如
(x y)的积分因子的充要条件是
f(x y)。

(xy)是方程 M (x, y)dx
N (x, y)dy 0的积分因子的充要条件是 ((4xy)M) ( "y)N)
M
^xy)(-
y N (j(xy)
(i(xy)
-)N M
x
x
y
(xy)(
7) (yN XM )證，
M N y x yN xM
d (xy) d(xy)
1 (xy)
g(xy),
因此方程具有形如
(xy)的积分因子的充要条件是
g(xy)。