高等量子力学复习纲要

高等量子力学复习纲要
1. 会证明矢量空间中矢量的一些基本运算性质和定理；由右矢空间中矢量的关系证明左矢空间中相应的关系。

2. 会利用Schmidt正交化方法寻找基矢；会利用直积基矢来展开波函数。

3. 会证明一些重要的公式与定理，比如：算符有逆定理；Glauber公式；厄米算符的性质定理；幺正算符的性质定理；投影算符的性质；本征矢量的完全集定理等。

4. 会证明幺正变换不改变矢量和算符的关系式；有逆算符不改变矢量的相关性。

5. 掌握量子力学的五个基本原理。

6. 会利用Levi-Civita符号及算符的基本对易关系证明角动量算符各分量与其它算符各分量的对易关系。

7. 会利用作用在位置和动量本征矢量上的升降算符的定义证明动量算符的本征矢量在坐标表象中的表示。

8. 会利用角动量的升降算符讨论对给定的角量子数j相应磁量子数m的取值范围；利用轨道角动量的本征函数
所满足的本征值方程求解。

9. 试述绘景变换与表象变换的关系；三种绘景的区别和联系；会证明Heisenber方程；相互作用绘景中态矢量和算符所满足的方程。

10. 试给出薛定谔绘景中密度算符的表达式，并由此推导Liouville方程。

11. 会判断纯态和混合态；会由态的密度矩阵求力学量的平均值或者相反；会由不正交参与态构成的混合态构造正交参与态构成的混合态。

12. 能写出真空和电磁场中电子的所满足的Dirac方程及其协变形式；给出其中各物理量的含义；给出并证明自由电子体系的守恒量。

13. 对称性与守恒律的关系；以氢原子为例，说明系统哈密顿属于任一本征值的本征子空间，都荷载着其对称性群的一个不可约表示；解释时间反演引起的附加简并。

14. 空间对称变换性质及相关算符；标量和矢量算符的严格定义；真标量和赝标量以及真矢量和轴矢量的区分。

15. C-G系数的定义及物理意义；根据耦合和不耦合表象基矢间的关系推导C-G系数。

16. 对称化基矢及其正交归一化关系；占有数表象中产生算符与消灭算符的对易关系及其证明；对称化B表象与X表象产生算符和消灭算符之间关系及其证明。

17. 算符的二次量子化形式。

18. 电子气模型中系统的哈密顿表达式；衰减因子的意义；哈密顿的二次量子化形式。

19. 试给出位置表象中的Hartree-Fock方程并叙述其物理意义。

20. 试给出从单粒子量子理论出发建立全同粒子量子理论的二次量子化手续。