江苏高三高中数学高考模拟带答案解析

江苏高三高中数学高考模拟
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.已知集合，，则____．
2.已知，为虚数单位，，则____．
3.一调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000,3500范围内的人数为____．
4.在的边上随机取一点,记和的面积分别为和，则的概率是．
5.运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为____．
6.若等比数列的前项和为,且，，则____．
7.若正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为___．
8.平面直角坐标系中，角满足，，，设点是角终边上一动点，则
的最小值是___．
9.设不等式组表示的平面区域为，是区域D上任意一点，则的最小值是
___．
10.已知函数．若存在，使得，则实数的取值范围是____．
11.如图，在中，为的中点，，为上的两个三等分点．若，，则
____．
12.动直线与函数的图像交于A、B两点，点是平面上的动点，满足
，则的取值范围为____．
13.已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在圆上，且在第一象限，
过作圆的切线交椭圆于，两点．若的周长为，则椭圆的方程为____．
14.设，向量且，若不等式恒成立，则实数k的最大值为____．
二、解答题
1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量m = (cosA，cosB)，n =" (b" + 2c，a)，且m⊥n．（1）求角A的大小；
（2）若a = 4，b + c = 8，求AC边上的高h的大小．
2.在斜三棱柱中，，平面底面，点、D分别是线段、BC的中
点．
（1）求证：；
（2）求证：AD//平面．
3.在平面直角坐标系中，已知、是椭圆的左右顶点，离心率为,且椭圆过定点，为椭
圆右准线上任意一点，直线分别交椭圆于．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段MN与轴交于Q点且,求的取值范
围．
4.如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD，及夹在两线段EF、CD间的弧组成．若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元．已知，设，
（1）将商业街的总收益表示为的函数；
（2）求商业街的总收益的最大值．
5.数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”.（1）设是首项为2，公差为2的等差数列，证明为“3阶可分拆数列”；
（2）设数列的前项和为，若数列为“阶可分拆数列”，求实数的值；
（3）设，试探求是否存在使得若数列为“阶可分拆数列”．若存在，请求出所有，若不存在，请说明理由．
6.若实数满足，则称为函数的不动点．
（1）求函数的不动点；
（2）设函数，其中为实数．
①若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的不动点（是函数
的导函数），求实数的取值范围；
②令，若存在实数，使，，，成各项都为正数的等比数列，
求证：函数存在不动点．
7.选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵，A的逆矩阵，求A的特征值．
8.选修4－4：坐标系与参数方程
若以直角坐标系的为极点，为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是．
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线的参数方程为（为参数），当直线与曲线相交于两点，求线段的长．
9.如图，在直角梯形中，，，．直角梯形通过直
角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面．为线段的中点，为线段
上的动点．
（Ⅰ）当点是线段中点时，求二面角的余弦值；
（Ⅱ）是否存在点，使得直线//平面？请说明理由．
10.已知函数
求证：（1）
（2）对,若，=1，求证：
江苏高三高中数学高考模拟答案及解析
一、填空题
1.已知集合，，则____．
【答案】
【解析】由题意可得：，
则.
2.已知，为虚数单位，，则____．
【答案】2
【解析】由复数的运算法则：，
结合复数相等的充要条件有：，即，
则 2.
3.一调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000,3500范围内的人数为____．
【答案】650
【解析】略
4.在的边上随机取一点,记和的面积分别为和，则的概率是．
【答案】
【解析】求几何概型概率问题，首先要明确测度是什么，本题是在边上随机取一点，所以测度是长度，当时，,所以的概率为.
【考点】几何概型概率
5.运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为____．
【答案】13
【解析】阅读程序语句，初始化I值为0，
第一次循环：，
第二次循环：，
第三次循环：，
此时程序跳出循环，输出的结果S为13.
点睛：在画程序框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．
6.若等比数列的前项和为,且，，则____．
【答案】511
【解析】由等比数列的性质可得：，
即：，解得： .
7.若正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为___．
【答案】8
【解析】由题意可得：侧面三角形的面积：，
棱锥的高，
该四棱锥的体积： .
8.平面直角坐标系中，角满足，，，设点是角终边上一动点，则
的最小值是___．
【答案】
【解析】由题意可得 ,，
∵点B是角θ终边上一点，
不妨设 =25m(m>0),则B(−7m,−24m)，
∵=(−1 , 0)，
∴=(−1+7m,24m)，
∴=(−1+7m)2+(24m)2=625m2−14m+1，
当时,有最小值,最小值为，
故的最小值是 .
9.设不等式组表示的平面区域为，是区域D上任意一点，则的最小值是
___．
【答案】-7
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，
由图象知y⩾0，
设z=|x−2|−|2y|,则z=|x−2|−2y,
即y= |x−2|−z，
作出曲线y= |x−2|,平移曲线y=|x−2|−z，
由图象知当曲线经过点B时，
曲线的顶点最大,此时−z最小，
由题意可得B(3,4)，
此时z=|3−2|−2×4=1−8=−7，
故答案为：−7
点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
10.已知函数．若存在，使得，则实数的取值范围是____．【答案】
【解析】解答：
∵f(x)=e x(x−b)，
∴f′(x)=e x(x−b+1)，
若存在x∈[ ,2],使得f(x)+xf′(x)>0，
则若存在x∈[,2],使得e x(x−b)+xe x(x−b+1)>0，
即存在x∈[,2],使得b<成立，
令，
则，
g(x)在递增，
∴g(x)最大值=g(2)=，
则实数的取值范围是
点睛： (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从
而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
11.如图，在中，为的中点，，为上的两个三等分点．若，，则
____．
【答案】-1
【解析】解答：
D为BC的中点，E，F为AD上的两个三等分点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ .
12.动直线与函数
的图像交于A 、B 两点，点是平面上的动点，满足
，则的取值范围为____．
【答案】
【解析】y =k (x −3)+4 必经过点Q (3,4)是以新原点O ′(3,4)坐标下的y ′=kx ′
是以新原点O ′(3,4)坐标下的x ′y ′ 所以交点A ,B 为新原点O ′下的
,
，
|PA +PB |=|−2m −2ni |=2， |m +ni |=1，
即m 2+n 2=1是一个圆,即P 的轨迹是以(3,4)为圆心的单位圆， ∴x 2+y 2的取值范围为[16,36]， 故答案为[16,36].
13.已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在圆
上，且在第一象限，
过作圆的切线交椭圆于，两点．若
的周长为，则椭圆的方程为____．
【答案】
【解析】
椭圆的离心率为 ,则a =2c ,b = c ，
设
P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，
∴|PF 2|2=(x 1−c )2+y 21= (x 1−4c )2， ∴|PF 2|=2c − x 1，
连接OM ，OP ，由相切条件知：
|PM |2=|OP |2−|OM |2=x 21+y 21−3c 2= x 21， ∴|PM |= x 1，
∴|PF 2|+|PM |=2c ，
同理可求|QF 2|+|QM |=2c ， ∴|F 2P |+|F 2Q |+|PQ |=4c .
∵△PF 2Q 的周长为4，∴c =1， ∴a =2,b = ， ∴椭圆C 的方程为
.
点睛：求椭圆的标准方程有两种方法
①定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．
14.设，向量且，若不等式恒成立，则实数k 的最大值为____． 【答案】
【解析】由向量平行的充要条件有： ， 据此可得：
，其中
整理可得： ，
当 时满足题意， 否则：当 时，由对称轴处的函数值可得恒成立，
综上可得实数k 的最大值为.
二、解答题
1.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知向量m = (cosA ，cosB)，n =" (b" + 2c ，a)，且m ⊥n ．
（1）求角A 的大小；
（2）若a = 4，b + c = 8，求AC 边上的高h 的大小． 【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
(1)由向量垂直可得数量积为0，据此可得
.
(2)利用题中所给的条件列出方程组，求解方程组可得AC 边上的高h 的大小为. 试题解析：
（1）因为m ⊥n ，所以m·n = 0，所以(b + 2c)cosA + a cosB = 0，
由正弦定理得cosAsinB + 2cosAsinC + cosBsinA = 0，即sin(A + B) + 2cosAsinC = 0， 因为A + B = – C ，所以sin(A+B)=sinC,即sinC + 2cosAsinC = 0． 又因为C ∈(0，)，所以sinC > 0，所以cosA = -． 因为A ∈(0，)，所以．
（2）由
…………9分，解得
．
所以S = bcsinA = hAC ，所以h =．
2.在斜三棱柱
中，
，平面
底面
，点、D 分别是线段
、BC 的中
点．
（1）求证：； （2）求证：AD//平面．
【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】
(1)利用题意证得AD ⊥平面，结合线面垂直的定义可得AD ⊥CC 1． (2)利用题意可得EM // AD ，结合题意和线面平行的判断法则即可证得结论. 试题解析：
证明：（1）∵AB AC ，点D 是线段BC 的中点，∴AD ⊥BC ． 又∵平面底面，AD 平面ABC ，平面底面，
∴AD ⊥平面． 又CC 1平面，∴AD ⊥CC 1．
（2）连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，DE ．
在斜三棱柱
中，四边形BCC 1B 1是平行四边∴点E 为B 1C 的中点．
∵点D 是BC 的中点，∴DE//B 1B ，DE
B 1B ． ……10分
又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点， ∴AM//B 1B ，AM
B 1B ．∴AM// DE ，AM DE ．
∴四边形ADEM 是平行四边形． ∴EM // AD ．
又EM 平面MBC 1，AD 平面MBC 1， ∴AD //平面MBC 1．
点睛：用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．
3.在平面直角坐标系
中，已知
、
是椭圆
的左右顶点，离心率为,且椭圆过定点
， 为椭
圆右准线上任意一点，直线分别交椭圆于． （1）求椭圆的方程；
（2）若线段MN 与轴交于Q 点且,求的取值范
围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
(1)由题意列方程可得
，所以椭圆的方程为
； (2)联立直线与椭圆的方程，结合题意可得 ，则
.
试题解析： （1）由题意可知
又因为
解之得
，所以椭圆的方程为
因为AM 的斜率存在，设AM 的为,则AM 的方程为
得
令得
，
,则BP 方程为
得 因为，所以
=
因为
所以
4.如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路上，街道由两条平行于对称轴l 且关于l 对称的两线段EF 、CD ，及夹在两线段EF 、CD 间的弧组成．若商业街在两线段EF 、CD 上收益为每千米2a 元，在两线段EF 、CD 间的弧上收益为每千米a 元．已知，设，
（1）将商业街的总收益
表示为的函数；
（2）求商业街的总收益的最大值．
【答案】（1）；（2）在时，商业街总收益最大为
元.
【解析】
(1)利用题意可得函数的解析式为，注意该函数的定义域；
(2)结合(1)中函数的解析式和函数的单调性可得在时，商业街总收益最大为元.
试题解析：
（1） 当时：,
所以
‚当时：,
所以
由 可得
•当时,,
因为所以
列表：
所以在时，有最大值
‚当时：
因为，所以
所以在时单调递减所以
又因为
所以当时，在时，有最大值
答:在时，商业街总收益最大为元
5.数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”.（1）设是首项为2，公差为2的等差数列，证明为“3阶可分拆数列”；
（2）设数列的前项和为，若数列为“阶可分拆数列”，求实数的值；
（3）设，试探求是否存在使得若数列为“阶可分拆数列”．若存在，请求出所有，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或3.
【解析】
(1)利用题中所给的新定义内容结合等差数列的通项公式即可证得结论；
(2)由题意整理计算可得；
(3)假设实数m存在，讨论可得或3.
试题解析：
（1）由题意可知
，所以
所以为“3阶可分拆数列”；
因为数列的前项和为
当时，；当时，
所以
因为存在正整数得成立
•当时即
因为，
所以，而所以不存在正整数（）使得成立
‚当时，得
所以时存在正整数使得成立
由 得.
假设存在使得若数列为“阶可分拆数列”
即存在确定的正整数，存在正整数使得成立
•当时，，时方程成立
‚当时
当时；当时
当时，所以不存在正整数使得成立
ƒ当时，当时成立
④当时
所以不存在正整数使得成立
综上：或3.
6.若实数满足，则称为函数的不动点．
（1）求函数的不动点；
（2）设函数，其中为实数．
①若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的不动点（是函数
的导函数），求实数的取值范围；
②令，若存在实数，使，，，成各项都为正数的等比数列，求证：函数存在不动点．
【答案】（1）函数的不动点为；（2）①，②见解析.
【解析】
(1)结合函数的单调性可得函数的不动点为;
(2)由题意得到方程组，消去c可得实数的取值范围是，
(3)满足题意时结合导函数与原函数的性质讨论计算即可证得结论.
试题解析：
（1）由题意可知，．
令，．故．
列表：
极大值
所以，方程有唯一解．
所以函数的不动点为．
（2）①由题意可知
消去，得，，所以．
②．
由题意知，，，成各项都为正数的等比数列，
故可设公比为，则
故方程有三个根，，．
又因为，所以为二次函数，
故方程为二次方程，最多有两个不等的根．则，，中至少有两个值相等．
当时，方程有实数根，也即函数存在不动点，符合题意；
当时，则，，故，又因为各项均为正数，则，也即，同上，函数存在不动点，符合题意；
当时，则，，同上，函数存在不动点，符合题意；
综上所述，函数存在不动点．
点睛：新定义型创新题是数学考题的一大亮点，通过定义新的概念，或约定新的运算，或给出新的性质等创设一种全新的问题情境，主要考查考生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的.求解此类问题通常分三大步骤进行：（1）对新定义进行信息提取，确定化归方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效地输出.其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点.
7.选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵，A的逆矩阵，求A的特征值．
【答案】的特征值为3和1
【解析】
利用题意得到特征多项式，据此即可求得相应的特征值为3和1
试题解析：
则解之得
的特征多项式
令，解之得
的特征值为3和1
8.选修4－4：坐标系与参数方程
若以直角坐标系的为极点，为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是．
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线的参数方程为（为参数），当直线与曲线相交于两点，求线段的长．
【答案】（1）曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线；（2）8.
【解析】
(1)将极坐标方程化简为直角坐标方程可得曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线；
(2)利用弦长公式可得线段的长为8.
试题解析：
（1）
曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线.
（2），化简得，则
所以
9.如图，在直角梯形中，，，．直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面．为线段的中点，为线段
上的动点．
（Ⅰ）当点是线段中点时，求二面角的余弦值；
（Ⅱ）是否存在点，使得直线//平面？请说明理由．
【答案】（1）；（2）线段上存在点且当时，使得.
【解析】
(1)利用题意建立空间直角坐标系，结合平面向量的法向量的值可得二面角的余弦值为；
(2)结合(1)中的空间直角坐标系可得线段上存在点且当时，使得.
试题解析：
易知平面的一个法向量
设平面的一个法向量，则由
如图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为；
（2）假设存在点，使得直线
设，则
所以，
设平面的一个法向量为
由，则
所以
所以线段上存在点且当时，使得．
10.已知函数
求证：（1）
（2）对,若，=1，求证：
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
(1)利用函数的单调性结合函数的定义域即可证得结论；
(2)结合题意利用数学归纳法证明结论即可.
试题解析：
⑴x>0时，=x0,f(x)单调增，f(x) f(0)="0"
⑵①=, x
=1>1,>0对任意n成立；
1
又⑴知f()0-1<,从而<,,数列{}单调减，
②下面用数学归纳法证明
当n=1时，=1>,命题成立
假设n=k时，命题成立，即
要证>,只要证明，只要证明>
设g(x)=,==->0在x>0上成立，
故g(x)在x>0上单调增，，g()=>g(),
只要证明g()=>=,设≥=t>0，
只要证明，只要证明-1>t
设-1-t=h(t),t>0,=>0在t>0时恒成立，
h(t)单调增，h(t)>h(0)="0," -1>t成立。

从而对n=k+1，不等式仍然成立总之，成立。