【突破】高中物理第5章万有引力与航天章末分层突破教师用书沪科版必修2

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第5章万有引力与航天
万有引力与航天
[自我校对]
①地心
②日心
③正比
④反比
⑤G
⑥质点
⑦6.67×10－11
⑧
⑨7.9
⑩11.2
⑪16.7
天体质量、密度等估算问题
1.估算问题一般是估算天体的质量、天体的密度、运动的轨道半径、运转周期等有关物理量．
2．估算的依据主要是万有引力提供做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律列动力学方程，另外，“黄金代换”GM＝gR2也常是列方程的依据．
3．在估算时要充分利用常量和常识．例如，地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球公转周期T＝1年＝365天，地球自转周期T＝1天＝24小时，月球公转周期T＝27.3天等．4．用测定绕行天体(如卫星)轨道半径和周期的方法测质量，只能测定其中心天体(如地球)的质量，不能测定绕行天体自身的质量，绕行天体的质量在方程式中被约掉了．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为 1.4 小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为( )
A．1.8×103 kg/m3
B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3
D．2.9×104 kg/m3
【解析】近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即＝m()2R，密度、质量和体积关系M＝ρ·πR3，解两式得：ρ＝≈5.60×103 kg/m3.由已知条件可知该行星密度是地球密度的倍，即ρ＝5.60×103× kg/m3≈2.98×104 kg/m3，D项正确．【答案】 D
天体运动的规律“一”、“二”、“三”
分析处理天体运动问题，要抓住“一个模型”、应用“两个思路”、区分“三个不同”．1．一个模型
无论是自然天体(如行星、月球等)，还是人造天体(如人造卫星、空间站等)，只要天体的运动轨迹为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动．
2．两个思路
(1)所有做圆周运动的天体，所需的向心力都来自万有引力．因此，向心力等于万有引力，据此所列方程是研究天体运动的基本关系式，即
G＝m＝mω2r＝mr＝man.
(2)不考虑地球或天体自转影响时，物体在地球或天体表面受到的万有引力约等于物体的重力，即 G＝mg
变形得GM＝gR2，此式通常称为“黄金代换式”．
3．三个不同
(1)不同公式中r的含义不同．
在万有引力定律公式中，r的含义是两质点间的距离；在向心力公式(F＝m＝mω2r)中，r的含义是质点运动的轨道半径．
当一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动时，两式中的r相等．
(2)运行速度、发射速度和宇宙速度的含义不同．
三种速度的比较，如下表所示
速圆周运动的向心加速度a′的含义不同．
①绕地球做匀速圆周运动的卫星的向心加速度a ，由G ＝ma ， 得a ＝，其中r 为卫星的轨道半径．
②若不考虑地球自转的影响，地球表面的重力加速度为g ＝，其中R 为地球的半径． ③地球表面的物体随地球自转做匀速圆周运动的向心加速度a ′＝ω2Rcos θ，其中ω、R 分别是地球的自转角速度和半径，θ是物体所在位置的纬度值．
(多选)已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，地球同步卫星质量为m ，引力常量为G ，有关同步卫星，下列表述正确的是( )
A ．卫星距地面的高度为
B ．卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C ．卫星运行时受到的向心力大小为G
D ．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
【解析】 对同步卫星有万有引力提供向心力G ＝m(R ＋h)，所以h ＝－R ，A 错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，B 正确；同步卫星运动的向心力等于万有引力，应为F ＝，C 错误；同步卫星的向心加速度为a 同＝，地球表面的重力加速度a 表＝，知a 表>a 同，D 正确．
【答案】 BD 双星问题 1.双星
众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着它们连线上的某一点共同转动，这样的两颗恒星称为双星．
2．双星问题特点
如图5­1所示为质量分别是m 1和m 2的两颗相距较近的恒星．它们间的距离为L .此双星问题的特点是：
图5­1
(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点； (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供； (3)两星的运动周期、角速度相同；
(4)两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r 1＋r 2＝L . 3．双星问题的处理方法
双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即G m 1m 2L
2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2
r 2，
由此得出：
(1)m 1r 1＝m 2r 2，即某恒星的运动半径与其质量成反比．
(2)由于ω＝2πT ，r 1＋r 2＝L ，所以两恒星的质量之和m 1＋m 2＝4π2L 3
GT
2.
宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心
做匀速圆周运动而不会因万有引力的作用吸引到一起．
(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比；
(2)设两者的质量分别为m 1和m 2，两者相距L ，试写出它们角速度的表达式． 【解析】 (1)证明：两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度ω一定相同．它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，所以两天体与它们的圆心总是在一条直线上．
设两者的圆心为O 点，轨道半径分别为R 1和R 2，如图所示．对两天体，由万有引力定律可分别列出G
m 1m 2L
2＝m 1ω2
R 1① G
m 1m 2L 2＝m 2ω2
R 2 ② 所以R 1R 2＝m 2m 1
，所以v 1v 2＝
R 1ωR 2ω＝R 1R 2＝m 2
m 1
，即它们的轨道半径、线速度之比都等于质量的反比．
(2)由①②两式相加得G
m 1＋m 2L
2
＝ω2
(R 1＋R 2)③ 因为R 1＋R 2＝L ，所以ω＝
G m 1＋m 2
L 3
. 【答案】 (1)见解析 (2)ω＝G m 1＋m 2
L 3
卫星变轨问题
1．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由G Mm r 2＝m v 2
r ，得v ＝
GM
r
，由此可见轨道半径r 越大，线速度v 越小．当由于某原因速度v 突然改变时，若速度v 突然
减小，则F ＞m v 2r ，卫星将做近心运动，轨迹为椭圆；若速度v 突然增大，则F ＜m v 2
r
，卫星将
做离心运动，轨迹变为椭圆，此时可用开普勒第三定律分析其运动．
2．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到万有引力相同，所以加速度相同．
如图5­2所示，某次发射同步卫星的过程如下：先将卫星发射至近地圆轨道1，
然后再次点火进入椭圆形的过渡轨道2，最后将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )
图5­2
A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B ．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度
D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度
【解析】 由G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2
得，v ＝
GM
r ，ω＝GM
r 3
，由于r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，ω1＞ω3，A 、B 错；轨道1上的Q 点与轨道2上的Q 点是同一点，到地心的距离相同，根据
万有引力定律及牛顿第二定律知，卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度等于它在轨道2上经过Q 点时的加速度，同理卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度，C 错，D 对．
【答案】 D
1.(2016·全国丙卷)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
【解析】 开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A 错误，选项B 正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C 错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D 错误．
【答案】 B
2．(2015·福建高考)如图5­3所示，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，
a 、
b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则( )
图5­3
A.v 1
v 2＝
r 2
r 1
B.v 1v 2＝
r 1r 2
C.v 1v 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫r 2r 12
D.v 1v 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫r 1r 22
【解析】 对人造卫星，根据万有引力提供向心力GMm r 2＝m v 2
r
，可得v ＝
GM
r
.所以对于a 、b 两颗人造卫星有v 1v 2＝
r 2
r 1
，故选项A 正确． 【答案】 A
3．(2016·全国乙卷)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A ．1 h
B ．4 h
C ．8 h
D ．16 h
【解析】 万有引力提供向心力，对同步卫星有：
GMm r 2＝mr 4π2T 2，整理得GM ＝4π2r 3
T
2 当r ＝6.6R 地时，T ＝24 h
若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R 地 三颗同步卫星A 、B 、C 如图所示分布 则有
4π2
6.6R 地
3
T 2＝
4π
2
2R 地3
T ′2
解得T ′≈T
6＝4 h ，选项B 正确．
【答案】 B
4．(2016·北京高考)如图5­4所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E 运行，在P 点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
图5­4
A ．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的速度都相同
B ．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同
C ．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D ．卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
【解析】 在P 点，沿轨道1运行时，地球对人造卫星的引力大于人造卫星做圆周运动
需要的向心力，即F 引>mv 21
r ，沿轨道2运行时，地球对人造卫星的引力刚好能提供人造卫星
做圆周运动的向心力，即F 引＝mv 22
r
，故v 1<v 2，选项A 错误；在P 点，人造卫星在轨道1和
轨道2运行时，地球对人造卫星的引力相同，由牛顿第二定律可知，人造卫星在P 点的加速度相同，选项B 正确；在轨道1的不同位置，地球对人造卫星引力大小不同，故加速度也不同，选项C 错误；在轨道2上不同位置速度方向不同，故动量不同，选项D 错误．
【答案】 B
5．(2016·天津高考)我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
图5­5
A ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两
者速度接近时实现对接
【解析】飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；同理，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误．【答案】 C
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
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