高考数学压轴专题人教版备战高考《函数与导数》易错题汇编

【最新】数学《函数与导数》期末复习知识要点
一、选择题
1．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈有()()2
2f x f x x +-=，在()0+∞，
上()2f x x '<，若()()4168f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[)2+∞，
B ．[)0+∞，
C ．[]
22-，
D ．(][)22-∞-⋃+∞，
， 【答案】A 【解析】 【分析】
通过x R ∀∈有()()2
2f x f x x +-=，构造新函数()()2
g x f x x =-，可得()g x 为奇函
数；利用()2f x x '<，求()g x 的导函数得出()g x 的单调性，再将不等式
()()4168f m f m m --≥-转化，可求实数m 的取值范围.
【详解】
设()()2
g x f x x =-，
∵()()()()2
2
0g x g x f x x f x x +-=-+--=，
∴函数()g x 为奇函数，
∵在()0,x ∈+∞上，()2f x x '<，即()20f x x '-<， ∴()()20g x f x x ''=-<，
∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上是减函数， ∴函数()g x 在(),0x ∈-∞上也是减函数， 且()00g =，
∴函数()g x 在x ∈R 上是减函数， ∵()()4168f m f m m --≥-，
∴()()()22
44168g m m g m m m ⎡⎤⎡⎤-+--+≥-⎣
⎦⎣⎦， ∴()()4g m g m -≥， ∴4m m -≤， 即2m ≥. 故选：A. 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查运算求解能力、转化与化归的数学思想，是中档题.
2．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2
42f x f x x +-=+，设()()2
2g x f x x =-，
若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B 【解析】
∵()()2
42f x f x x +-=+，()()2
2g x f x x =-
∴2222
()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-= ∴函数()g x 关于点(0,1)对称
∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ∴122M m +=⨯= 故选B.
3．已知2
1()cos 4
f x x x =
+，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图像是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
Q ()21f cos 4x x x =
+，()()1
'sin ,'2
f x x x y f x ∴=-=为奇函数，∴图象关于原点对称，排除,B D ，又()'10f <Q ，可排除C ，故选A.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
4．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2
f x f x x -+=成立，
且当()0,x ∈+∞时，都有()'f x x >成立，若()()1
12
f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．(],2-∞
D ．[)2,+∞
【答案】A
【解析】 【分析】
构造函数2
1()()2
g x f x x =-
，可判断函数()g x 为奇函数且在R 上是增函数，由函数的性质可得a 的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】 令2
1()()2
g x f x x =-
，则()()g x f x x ''=-， ()0,x ∈+∞Q 时，都有()'f x x >成立，即有()0g x '>，∴在()0,∞+，()g x 单调递增,
Q 定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立,
所以(0)0f =，
22
22111()()()()()2
22g x f x x x f x x x f x g x ⎡⎤∴-=--=--=-=-⎣⎦， ()g x ∴是定义在R 上的奇函数，又(0)(0)0g f == ∴在R 上()g x 单调递增.
又()()112
f a f a a -≥+
-Q ()()()2
211111222
g a a g a a a ∴-+
-≥++-， 即()()1
112
g a g a a a a -≥⇒-≥⇒≤. 因此实数a 的取值范围为1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
故选：A 【点睛】
本题考查构造函数、奇函数的判断，及导数与单调性的应用，且已知条件构造出
2
1()()2
g x f x x =-
是解决本题的关键，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.
5．函数()1ln f x x x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当
1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】
当2x =时，1
10x x
-
=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，13
02
x x -
=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1
y x x
=-
单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】
本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.
6．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当2x >时，
()()2()x f x f x f x ''⋅+>，若(1)1f =.则不等式1
()2
f x x <
-的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,1)-∞
C ．()(1,2)2,3⋃
D ．()(,1)3,-∞⋃+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
令()|2|()F x x f x =-，当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，利用导数可得当2x >时，
()F x 单调递增，根据题意可得()F x 的图象关于2x =对称，不等式1
()|2|
f x x <
-等价
于|2|()1(2)x f x x -<≠，从而()(1)F x F <，利用对称性可得|2||12|x -<-，解不等式即可. 【详解】
当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，∴(2)()()0x f x f x '-+>，
令()|2|()F x x f x =-.
当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，()(2)()()0F x x f x f x ''=-+>， 即当2x >时，()F x 单调递增. 函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，
所以(2)(2)F x F x +=-，即()F x 的图象关于2x =对称， 不等式1
()|2|
f x x <
-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠， (1)|12|(1)(1)1F f f =-==，即()(1)F x F <，
所以|2||12|x -<-，解得13x <<且2x ≠，解集为(1,2)(2,3)U . 故选：C 【点睛】
本题考查了导数在解不等式中的应用、函数的对称性的应用以及绝对值不等式的解法，属于中档题.
7．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（ ）时，其容积最大．
A ．
34
B ．
23
C ．
13
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
设正六棱柱容器的底面边长为x ,)3
1x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()3233921224
V x x x x x x x =+⋅⋅-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解. 【详解】
设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为)3
12
x -, 所以正六棱柱容器的容积为()()()()3233921224
V x x x x x x x =+⋅
⋅-=-+, 所以()227942V x x x '=-+,则在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()0V x '>；在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
上,()0V x '<,
所以()V x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减, 所以当2
3
x =时,()V x 取得最大值, 故选:B 【点睛】
本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.
8．若曲线43y x x ax =-+(0x >)存在斜率小于1的切线，则a 的取值范围为（ ） A ．3,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．5,
4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．1,
4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
对函数进行求导，将问题转化为不等式有解问题，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得答案； 【详解】
由题意可得3
2
431y x x a '=-+<在()0,x ∈+∞上有解，
设()3
2
43f x x x a =-+(0x >)，()()2
126621f x x x x x '=-=-，
令()0f x '<，得102x <<
；令()0f x '>，得12
x >， ∴()f x 在1
(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增，
∴()min 11124f x f a ⎛⎫
==-< ⎪⎝⎭
，解得：54a <.
故选：C. 【点睛】
本题考查导数的几何意义、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
9．已知3215()632f x x ax ax b =
-++的两个极值点分别为()1212,x x x x ≠，且213
2
x x =，则函数12()()f x f x -=（ ） A ．1- B ．
1
6
C ．1
D ．与b 有关
【答案】B 【解析】 【分析】
求出函数的导数，利用韦达定理得到12,,a x x 满足的方程组，解方程组可以得到12,,a x x ，从而可求()()12f x f x -． 【详解】
()2'56f x x ax a =-+，故125x x a +=，126x x a =，且225240a a ->，
又213
2
x x =
，所以122,3x a x a ==，故266a a =，解得0a =（舎）或者1a =． 此时122,3x x ==， ()32
15632
f x x x x b =-++， 故()()()()()1215182749623326
f x f x -=⨯---+-= 故选B ． 【点睛】
如果()f x 在0x 处及附近可导且0x 的左右两侧导数的符号发生变化，则0x x =必为函数的极值点且()00f x =．极大值点、极小值点的判断方法如下：
（1）在0x 的左侧附近，有()'0f x >，在0x 的右侧附近，有()'0f x <，则0x x =为函数的极大值点；
（2）在0x 的左侧附近，有()'0f x <，在0x 的右侧附近()'0f x >，有，则0x x =为函数的极小值点．
10．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛
⎫=++<< ⎪+++-⎝
⎭的最小值为
（ ） A
．
13
+ B
．
3
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】
2
2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos
1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x +++-+++=
++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x
x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=
+=⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛
⎫=
+<< ⎪⎝
⎭， 322222
21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '
'
'
--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 令()cos 0,1t x =∈，()3
2
61g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， 所以当03
x π
<<时，
()1
1,02
t g t <<<，从而()'0f x <； 当
3
2
x π
π
<<
时，()1
0,02
t g t <<
>，从而()'0f x >.
故()min 3f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
11．二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想．
12．已知函数()0,1
ln ,1x f x x x <⎧=⎨
≥⎩
，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实
数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞
C ．[)0,1
D ．(]1,0-
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数
()0,1
ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩
和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】
当1x ≥时，()'
'1
ln ,()(1)1f x x f x f x
=⇒=
⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .
在同一直角坐标系内画出函数()0,1
ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩
和()g x x k =-的图象如下图的所示：
利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】
本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.
13．若点1414(log 7,log 56)在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ） A ．1 B ．
32
C ．2
D ．
34
【答案】B 【解析】 【分析】
将点的坐标代入函数()y f x =的解析式，利用对数的运算性质得出k 的值，再解方程
()0f x =可得出函数()y f x =的零点．
【详解】
141414141414log 56log 4log 1412log 212(1log 7)32log 7=+=+=+-=-Q ，
2k ∴=-，()2 3.f x x =-+故()f x 的零点为3
2
，故选B.
【点睛】
本题考查对数的运算性质以及函数零点的概念，解题的关键在于利用对数的运算性质求出参数的值，解题时要正确把握零点的概念，考查运算求解能力，属于中等题．
14．()263,0
34,0
x x x x f x x ⎧---≤=⎨->⎩，则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为（ ）
A ．3
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】D 【解析】 【分析】
作出()f x 的图像，将()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数即()0f f x =⎡⎤⎣⎦的实数根个数，令
()t f x =，解()0f t =有三个实数根，再结合图像即可得到答案.
【详解】
由题意，()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数即()0f f x =⎡⎤⎣⎦的实数根个数， 作()f x 的图像如图所示，
设()t f x =，则()0f t =，
当0t ≤时，即2630t t ---=，解得，1236,36t t =-=- 当0t >时，即340t -=，解得33log 4t =； 结合图像知，()36f x =-
()36f x =-+3()log 4f x =时有三个根，
所以()0f f x =⎡⎤⎣⎦有7个根，即()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为7. 故选：D 【点睛】
本题主要考查函数的零点问题、解函数值以及一元二次函数和指数函数的图像，考查学生数形结合的思想，属于中档题.
15．已知ln 3ln 4ln ,,34a b e c e
=
==（e
是自然对数的底数），则,,a b c 的大小关系是
（ ）
A ．c a b <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
【答案】C
【解析】
【分析】 根据ln 3ln 4ln ,,34a b e c e
=
==的结构特点，令()ln x f x x =，求导()21ln x f x x
-'=，可得()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减，再利用单调性求解. 【详解】
令()ln x f x x
=， 所以()21ln x f x x -'=， 当0x e <<时， ()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，
所以()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减.
因为34e <<，
所以 ()()()34>>f e f f ，
即b a c <<.
故选：C
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性比较大小，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
16．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．12e -
B ．2e -
C ．1-
D ．e
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1x e =求得结果.
【详解】
由题意得：()()121f x f x
''=+ 令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-
()12f x x '∴=-+ 12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭
本题正确选项：B
【点睛】
本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.
17．已知函数()2cos f x x x =-，若15log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，315c f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
=⎪，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【答案】B
【解析】
【分析】 判断()f x 为偶函数，利用导数得出()f x 在()0,π上单调递增，由对数函数的性质，结合函数()f x 的单调性和奇偶性，即可得出答案.
【详解】
()()()()2
2cos cos f x x x x x f x -=---=-=，故()f x 为偶函数 故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可.
()'2sin f x x x =+，当()0,x π∈时，易得()'0f x >
故()f x 在()0,π上单调递增，()155
log 3log 3a f f ⎛
⎫== ⎪⎝⎭，()331log log 55b f f ⎛⎫== ⎪⎝
⎭， 由函数单调性可知()()3531log 3log 55f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即c a b << 故选：B
【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性比较大小，属于中档题.
18．已知函数()f x 为偶函数，当x ＜0时，2()ln()f x x x =--，则曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程为（ ）
A ．x -y ＝0
B ．x -y -2＝0
C ．x +y -2＝0
D ．3x -y -2＝0
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出当0x >时，()f x 的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案.
【详解】
当0x >时，0x -<，2()ln f x x x -=-，又函数()f x 为偶函数，所以
2()ln f x x x =-，
(1)1f =，所以'1()2f x x x
=-，'(1)1f =，故切线方程为11y x -=-，即y x =. 故选：A ．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，涉及到函数的奇偶性求对称区间的解析式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
19．设123log 2,ln 2,5a b c -===则
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．c b a << 【答案】C
【解析】
【分析】
由ln 2ln 2
ln 3
a b =<=及311log ,22a c >==<=可比较大小. 【详解】 ∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =
<=，即a b <．
又
3311log 2log ,22a c =>=
=<=．∴a c >．综上可知：c a b << 故选C.
【点睛】
本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.
20．函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D
【解析】
【分析】
根据0a >可知5y ax =-在定义域内单调递减，若使得函数
()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则需1530a a >⎧⎨-≥⎩
，解不等式即可. 【详解】
0a >Q
5y ax ∴=-在定义域内单调递减 若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数 则需1530
a a >⎧⎨-≥⎩，解得513a <≤ 故选：D
【点睛】
本题考查对数函数的单调性，属于中档题.。