1911温州环大罗山高二数学(含答案)

2019学年第一学期环大罗山联盟高二期中联考
数学试卷
（考试时间120分钟，满分150分，不得使用计算器）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.直线023=-+y x 的倾斜角为(▲
)A．0
30B．0
60C．0
120D．0
1502.圆心为)2,2(，且过原点的圆的方程是（
▲
）
A．8)2()2(22=-+-y x B．2)2()2(22=-+-y x C．8
)2()2(22=+++y x D．2
)2()2(22=+++y x 3.设b a ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面。

下列命题中，正确的是（▲
）
A.若b a ,与α所成的角相等，则b a //
B.若αβα//,a ⊥，则β⊥a
C.若βα//,a a ⊥，则β
α⊥ D.若βα//,//b a ，则b
a //4.若直线02=-+y ax 和直线04)1(2=+-+y a x 平行，则a 的值为（▲
）
A．1-或2
B．1
-C．2
D．不存在
5.已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，1114
1
C A E A =,若1AA z A
D y AB x B
E ++=,则x 的值为（
▲
）
A.
41 B.4
3-
C.1
D.
2
16.已知圆02:22=++y y x M 与直线053:=+-+a y ax l ，则圆心M 到直线l 的最大距离为（▲）
A.5
B.6
C.5
3 D.41
D
B
D
C
B
A
P
B C
D A 1
B 1
C 1
D 1
8.已知三棱锥ABC S -的每个顶点都在球O 的表面上，
ABC ∆是边长为34的等边三角形，⊥SA 平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6
π
，则球O 的表面积为（▲）
A.π
20 B.π
40 C.π
80 D.π
1609.已知圆01142:22=--++y x y x O ，过点)0,1(M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形
ABCD 的面积最大值为(▲)
A．42
B．24
C．
2
21D．6
10.在侧棱1AA 垂直底面ABCD 的四棱柱1111D C B A ABCD -中，P 是棱DC 上的动点.记直线P A 1与平面ABCD 所成的角为α，与直线11C D 所成的角为β，二面角B AC D --1为γ，则γβα,,的大小关系是（▲
）
A.γβα<<
B.γαβ<<
C.β
γα<< D.α
βγ<<二、填空题（共7小题，11—14题每空3分，15—17题每空4分，共36分）11.在空间直角坐标系中，已知点)2,0,1(A 与点)1,3,1(-B ，则AB =
▲
；若在z 轴上有一点M 满
足MB MA =，则点M 的坐标为
▲
.
12.过原点且倾斜角为060的直线与圆04:2
2
=-+y y x C 相交，则圆C 的半径
为
▲
；直线被圆截得的弦长为
▲
.
13.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积V =
▲
；
表面积S =▲．
14.已知二面角βα--l 的大小是0
60，设4,,=∈∈AB l B A α，若A 到l 的距离为2，则AB 与平面β所成的角的正弦值为
▲；若0
60的二面角βα--l 内一点P 到面βα,的距
离分别是4,2，则点P 到直线l 的距离为
▲
.
15．若圆锥的侧面展开图是半径为5、圆心角为
85
π
的扇形，则该圆锥的体积为▲．16.若圆4)3()(22=--++a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为
▲
.
17.如图,在ABC ∆中,1,=⊥BC BC AC ,D 是AB 的中点,将BCD
∆沿直线CD 翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得AD CB ⊥,则
AC 长的取值范围是▲
.
O F
E
C
B
A
三、解答题（共5小题，第18题满分14分，其余各题每题15分，共74分）18.已知直线052:1=-+y x l 与0
2:2=-y x l (1)直线l 经过点)0,5(A ，且与1l 垂直，求直线l 的方程；
(2)直线l 经过直线1l 与2l 的交点，点)0,5(A 到l 的距离为3，求直线l 的方程
19.如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧棱⊥1AA 平面ABC ,ABC ∆为等腰直角三角形,090=∠BAC ,且1AA AB =,G F E ,,分别是11,,AB BC CC 的中点.(Ⅰ)求证://FG 平面11A ACC ；(Ⅱ)求直线FG 与平面AEF 所成的角.20.如图，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 为矩形，AC BC =．O 为AB 的中点，OF EC ⊥.（1）求证：OE FC ⊥；（2）若FC 与平面ABC 所成的角为°30，求二面角F CE B --的余弦值.F
A 1
B 1
C 1
E G C
B
A
P
D
C
B
A
S
21.已知圆024:22=+-++a y x y x C ,点)0,1(P 为圆内的一点,直线l 与圆C 相交于B A ,两点，且点P 恰好为弦AB 的中点。

(1)求实数a 的取值范围以及直线l 的方程；(2)若以AB 为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程。

22.如图,四棱锥ABCD S -的底面是正方形,4,22===SD SB CD ,P 为侧棱SD 上的点,⊥SD 面APC .
(1)求二面角D AC S --的余弦值；
(2)侧棱SC 上是否存在一点E ,使得//BE 平面APC ?若存在,求EC SE :的值；若不存在,试说明理由。

2019学年第一学期环大罗山联盟高二期中联考
数学试卷参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
DACC B A DCBA
二、填空题（共7小题，11—14题每空3分，15—17题每空4分，共36分） 11.10 ；)3,0,0(− 12.2；32 13.
62； 2332++ 14.43 ； 3
21
4
15．16π 16.)0,3(− 17.),3
3
[
+∞ 三、解答题（共5小题，第18题满分14分，其余各题每题15分，共74分） 18．解：(1)052:1=−+y x l ∵与l 垂直，∴可设02:=+−c y x l ——（3分）
代入点)0,5(A 坐标，——（4分） 由005=+−c ，得：5−=c ——（5分）
∴052:=−−y x l ——（6分）
(2)经过两已知直线交点的直线系方程为0)2()52(=−+−+y x y x λ，——（9分）
即05)21()2(=−−++y x λλ，——（10分） ∴
3)21()2(55102
2=−++−+λλλ.解得2=λ或2
1
=
λ.——（12分） ∴l 的方程为2=x 或0534=−−y x .——（14分） （若先求出交点坐标，可酌情给分）
19. (1)证明：连结B A C A 11,
∵11,AA AB AA AB =⊥,∴B B AA 11为正方形，
∴G 为B A 1中点，---------（3分）
又F 为BC 中点,∴C A FG 1//---------（5分）
又⊄FG 平面11A ACC ，⊂C A 1平面11A ACC ---------（6分）
∴//FG 平面11A ACC ---------（7分）
（2）以A 为原点，射线1,,AA AC AB 分别为z y x ,,轴建立坐标系，如图所示，---------（8分）
F
A 1
B 1
C 1
E
G C
B
A
设2=AB ，则)1,0,1(),0,1,1(),1,2,0(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(G F E C B A ,---------（9分） 设),,(z y x =为平面AEF 的一个法向量，
由⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
,取)2,1,1(−=n ---------（12分） 又)1,1,0(−=,则<,cos 23263
=⋅------（14
分）
∴2
3
sin =
θ，即所求线面角为060。

---------（15分） (点的坐标只需写出2个以上就可得分，用等积法或其他方法酌情给分。

）
20.（1）证明：连结OC ，因AC BC =，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥．——（1分） 又因平面ABC ⊥平面ABEF ，平面∩平面ABEF =AB
故OC ⊥平面ABEF ，——（2分）
于是OC OF ⊥．又OF EC ⊥，C EC OC =∩所以OF ⊥平面OEC ，——（4分）
所以OF OE ⊥，又因OC OE ⊥，C OC OF =∩故OE ⊥平面OFC ，——（6分）
由⊂FC 平面OFC ,所以OE FC ⊥．——（7分） (其他方法酌情给分。

）
(2) 解法一：由（1），得AF AB 2=．不妨设1AF =，2=AB ．因FCA ∠为直线FC 与平面ABC 所成的角，故30FCA ∠= ，所以2FC EC ==，EFC ∆为等边三角形．——（9分）
设FO EB P =∩，则O ，B 分别为PF ，PE 的中点，PEC ∆也是等边三角形．——（10分）
取EC 的中点M ，连结FM ，MP ，则FM
CE ⊥，MP CE ⊥， 所以FMP ∠为二面角F CE B −−的平面角．——（11
分） 在MFP ∆中，FM MP ==，FP =
故2221
cos 23FM MP FP FMP FM MP +−∠===−⋅，——（14分）
即二面角F CE B −−的余弦值为3
1
−．——（15分）
解法二：取EF 的中点D ，以O 为原点，OC ，OB ，OD 所在的直线分别为x
，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz −．——（8分）
不妨设1=AF ，2=AB
，则(0,1,0)B ，C ，(0,1,1)E ，(0,1,1)F −，——（9分）
从而(1,1)CE =−− ，(0,2,0)EF =−
.
设平面FCE 的法向量为),,(z y x =，由⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
，取)2,0,1(=,
同理可求得平面CEB
的法向量为)0,2,1(=m ，——（12分）
3
1
,cos <∴，——（14分） 由于二面角为钝二面角，则余弦值为31
−
.
——（15分） 21.解：(1)圆的标准方程为a y x −=−++5)1()2(22， 则圆心)1,2(−C ,半径)
5(5<−=
a a r ，-----（2分）
∵ 弦AB 的中点为)0,1(P ，
∴ 点P 在圆内部, 即a −<−++5)10()21(22，------（3分） ∴105>−a ，即5−<a .-------（4分） ∵ 弦的中点为)0,1(P ， ∴ 直线CP 的斜率为
31
1
201−=−−−，.-------（5分）
则直线l 的斜率3=k .-------（6分）
则直线l 的方程为)1(30−=−x y ，即033=−−y x .-------（7分） （2）由圆024:22=+−++a y x y x C ,与033=−−y x 联立得：
01520102=++−a x x ,-------（9分）
设))1(3,()),1(3,(2211−−x x B x x A ，故10
15
,22121+=
=+a x x x x .-------（11分） 由9)(910)1)(1(921212121++−=−−+=⋅x x x x x x x x =06=+a -------（13分） 得：6−=a -------（14分）
故0624:22=−−++y x y x C -------（15分）
（由求根公式得出B A 、两点坐标也可以，其他方法酌情给分。

）
作BD SF ⊥,垂足为F
,令t BF =，则在SBD ∆中，1,)4(16822=∴−−=−t t t 。

-----(4分） （2）假设侧棱SC 上是否存在一点E ,使得//BE 平面APC ，。