《自动控制理论教学课件》五稳定性分析

第五讲 控制系统的稳定性分析
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几何判据-乃氏判据
1932年Nyquist稳定判据 利用开环系统乃氏图来判别闭环系统的稳定性。 优点： G（s）无法写出时，通过实验法得出开环频率曲 线，进而判别闭环系统的稳定性； 指出系统的稳定储备（相对稳定性），以及进一 步提高和改善系统动态性能（包括稳定性）的途 径和方法。
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Routh 阵列第一列不全为正号，系统不稳定 变号几次，就有几个正实部的闭环极点
特殊情况： 1． Routh 阵列任意一行第一个元素为 0， 而后各元素不为 0： 用一个很小的正数ε 代替 2． Routh 阵列任意一行全为 0 用上一行元素构成辅助多项式
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系统稳定性分析的内容
系统的稳定条件 代数稳定判据 几何稳定判据 对数幅相频率特性的稳定性判据 相对稳定性
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系统的稳定条件
设线形系统具有一个平衡点，对于该平衡点来说： 当输入 xi(t)=0，则 xo(t)=0 当干扰信号 f(t)作用与系统，其输出将偏离工作点， 在干扰信号消失瞬间 t=0,则 xo(0-)及其 xo(i) (0-)(i=1,2…)就是 xo(t)的初 始偏差（初始状态） 。 输出信号本身就是系统在初始偏差影响下的过渡过程 若系统稳定，则 xo(t)就能以足够的精确的程度恢复到原平衡工作点， 即随 t 的推移，xo(t)→0； 否则系统就不可能回到原平衡工作点
Z：闭环特征多项式在右半面的零点数（闭环极点）
P：开环特征多项式在右半面的零点数（开环极点）
即：s=(j)代入，且从－变化到＋时，G（j）逆 时针包围（-1，j0）点的次数等于开环传递函数在S平面 右半面的极点数。
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对数幅相频率特性的稳定性判据
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Routh 阵列： sn a0 a2 a4 a6 sn-1 a1 a3 a5 a7 sn-2 b1 b2 b3 b4 sn-3 c1 c2 c3 c4 s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1
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…. …. …. ….
b1=(a1a2- a0a3)/ a1 b2=(a1a4- a0a5)/ a1 c1=(b1a3- a1b2)/ b1 c2=(b1a5- a1b3)/ b1
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需要指出： 1. 稳定性是控制系统的固有特性，取决于系统本身的结 构和参数，而与输入无关；对于纯线形系统来说，系统 的稳定与否并不与初始偏差的大小有关。 2. 控制理论讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定 性，即讨论输入为0，系统仅存在初始偏差不为0时的稳 定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。
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代数稳定判据
Routh 判据： 必要条件：
1884 年劳斯（Routh）判据 1895 年赫尔维兹（Hurwitz）判据
系统特征方程 D(s)=a0sn+ a1sn-1+ a2sn-2+…. +an-1s+ an= a0 (sn+ sn-1 a1/ a0+ sn-2 a2/ a0+…. +s an-1/ a0+ an/ a0) = a0（s-s1） （s-s2）…（s-sn）=0 由根与系数的关系可求得： a1/ a0=-（s1+s2+…. + sn） a2/ a0=+（s1s2+ s1s3+…. + sn-1sn） a3/ a0=-（s1s2s3+ s1s2s4+…. + sn-2sn-1sn） …. an/ a0=(-1)n（s1s2…. sn）

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（n 2 p q） p q 2 2 2
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故： arg[ 1 G ( j )] n


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乃氏判据另外一种表述：
函数F(s)=1+G(s)，用s=(j) 代入并从－变化 到＋时，闭环曲线顺时针方向包围原点的周数N=Z-P
M(p)=（bmpm+ bm-1pm-1+ bm-2pm-2+…. b1p+ b0） 则：D(p) xi(t)= M(p) xo(t) xo(t)= xi(t)D(p)/ M(p) L 变换得： X （s） M (s) X (s) N (s)
O
D( s )
i
D( s )
式中 M (s) G(s)
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要使全部 si 具有负实部， 必须满足以下两个 条件： 1． 系统特征方程的各项系数 ai(i=0,1,2….n) 都不能等于零； 2． 系统特征方程的各项系数 ai 符号都必须 相同。 按惯例 ai 取正数，那么上述两条件归结为： ai>0
充分必要条件： 系统特征方程 D(s)=a0sn+ a1sn-1+ a2sn-2+…. +an-1s+ an=0 ai>0，D(s)=0 不缺项（满足稳定必要条件） ， Routh 判据给出稳定的充分必要条件是： Routh 阵列第一列所有项均为正号。
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在工程设计中，希望不仅能判断系统的绝对稳定性（即 判断系统是否稳定），还希望能确定出系统的稳定程度。 对于不稳定系统，希望能指出如何改进系统参数或改变 系统的结构使其稳定。 用频率特性判断稳定的乃奎斯特判据具有上述功能。 乃奎斯特判据还能用来研究延迟系统的稳定性。
1 o n n N ( s) si t 1 N ( s ) ( s ) L A e o D( s) i i 1 D ( s ) i 1
e si t
s si
若所有 si 实部均为负值，则零输入响应最终将衰减为零，即：
lim x
t 0 o
(t ) 0 ，这样系统是稳定的
1 o n n N ( s) si t 1 N ( s ) ( s ) L A e o D( s) i i 1 D ( s ) i 1
e si t
s si
若所有 si 实部均为负值，则零输入响应最终将衰减为零，即：
lim x
t 0 o
(t ) 0 ，这样系统是稳定的
若有一个或多个 si 实部为正值，则零输入响应最终将随 t 的推 移而发散，即：
lim x
t 0 o
(t ) ，这样系统是不稳定的
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Xi(s)=0 则 X （s） N (s)
O
D( s )
若 si 为 D(s)=0 的根，即传递函数的极点 当 si 各不相同时，有： X（t） L X
其闭环传递函数为：
M k ( s) M K ( s) G( s) G（ b s） 1 G(s) DK (s) M k (s) Db (s)
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M K (s) Dk (s) M k (s) Db (s) 令： F (s) 1 G（s） 1 DK (s) Dk (s) Dk (s)
实际上是乃奎斯特判据的另外一种形式：通过开环的 Bode图来判别系统的稳定性。 Bode图可以通过实验获得，所以工程上应用广泛。
对数幅相频率特性稳定性判据的原理 对数幅相频率特性的稳定性判据
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1. 开环稳定，若Gk(jω)不包围（-1，j0）点，则闭环稳定。 P179图5-34之1曲线对应的闭环系统是稳定的，而2对 应的是不稳定的。 图5-34，开环乃氏图与单位圆交点频率为剪切切频率ωc ， 此时A(ωc)=1,即L（ωc）=0dB。 在单位圆外， A(ω)>1，相当于L（ω）>0dB； 在单位圆内， A(ω)<1，相当于L（ω）<0dB; 在单位圆上， A(ω)=1，相当于L（ω）=0dB，即 A(ωc)=1, L（ωc）=0dB。
j 1
m
(s p )
i i 1
m i i j 1
n
系统的闭环特征方程：
n
F ( s) 1 G( s) H ( s)
(s p ) K (s z )
i 1
(s p )
i i 1
n
F(s)的零点等于闭环特征方程的根或闭环极点； F(s)的极点等于系统的开环极点。
D( s )
N(s)是与初始条件 xo(i) (0-)(i=0,1,2…)有关的 s 多项式
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Xi(s)=0 则 X （s） N (s)
O
D( s )
若 si 为 D(s)=0 的根，即传递函数的极点 当 si 各不相同时，有： X（t） L X

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乃氏判据： 设单位负反馈系统的开环传递函数为：
bm s m bm1 s m1 ... b1 s b0 M K (s) G（s） n n 1 DK (s) an s an1 s ... a1 s a0
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如果开环Dk（s）有p个零点位于复平面的右半面，q 个零点位于原点，其余的n-p-q个零点位于复平面的 左半面，则：
arg Dk ( j ) （n 2 p q） 2
如果闭环稳定，则：

arg Db ( j ) n
当以s=jω代入F（s）并命ω从0连续增大到时，复数F （jω）的角增量应等于：
arg[1 G( j)] arg Db ( j) arg DK ( j)
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系统的开环传递函数：
G( s) H ( s)
K ( s zi )
自动控制理论
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概述
控制系统得到实际应用的首要条件：系统稳定 判断线形定常系统是否稳定有很多方法，本章介绍常用 的稳定判据，从而掌握改善系统稳定性的方法。 系统稳定性的概念：控制系统在任何足够小的初始偏差 的作用下，其过渡过程随时间t的推移逐渐衰减并趋于0， 具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统为稳定的，否 则为不稳定的。
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米哈伊洛夫定理： 设n次多项式D（s）有p个零点位于复平面的右半面，q 个零点位于原点，其余的n-p-q个零点位于复平面的左半 面，则当以s=jω代入D（s）并命ω从0连续增大到时， 复数D（jω）的角增量应等于：
（ n 2 p q） 2
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设线形系统的微分方程为： （anpn+ an-1pn-1+ an-2pn-2+…. a1p+ a0）xi(t)=（bmpm+ bm-1pm-1+ bm-2pm-2+…. b1p+ b0）xo(t)
d 式中 p dt
若记 D(p)=（anpn+ an-1pn-1+ an-2pn-2+…. a1p+ a0）
若有一个或多个 si 实部为正值，则零输入响应最终将随 t 的推 移而发散，即：
lim x
t 0 o
(t ) ，这样系统是不稳定的
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上述结论对于任何初始状态（只要不超出系统的线 形工作范围）都是成立的，且当传递函数极点都相 同时也是成立的。 系统稳定的充分必要条件：系统闭环传递函数极点 全部具有负实部，即全部在 S 左半面。
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将图5-34转换成Bode图，那么单位圆相当于0dB线，即 横轴；而开环乃氏图与实轴交点的频率交点频率ωj为点 处相当于Bode图相频特性的-180°。 如何判别稳定与否？ 1. 若开环稳定，且在L（ω）≥0dB的所有角频率ω 值下， 相角都大于-180° ，则闭环是稳定的； 2.(普遍情况)若开环特征方程有p个根在S右半面，则闭 环稳定的充要条件是：在L（ω）≥0dB的所有角频率ω 值下，相频特性曲线在-180°线上的正负穿越之差为 p/2次。 正穿越 负穿越 半次正穿越 半次负穿越 P181