【单元练】上海华东政法大学附属中学九年级数学下册第二十七章《相似》经典题(含解析)

一、选择题
1．如图，在▱ABCD中，M、N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB与点E，连接EN 并延长交CD于点F，则DF：FC等于（）．
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4B
解析：B
【分析】
由题意可得DN=NM=MB，据此可得DF：BE=DN：NB=1：2，再根据BE：DC=BM：MD=1：2，AB=DC，故可得出DF：FC的值．
【详解】
解：由题意可得DN=NM=MB，AB//CD，AB//BC
∴△DFN∽△BEN，△DMC∽△BME，
∴DF：BE=DN：NB=1：2，BE：DC=BM：MD=1：2，
又∵AB=DC，
∴DF：AB=1：4，
∴DF：FC=1：3
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用．
2．如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝k
x
（k＞0）的图象相交于A、B两
点（A在B的右侧），直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y
轴于点D，若
5
2
BC
BD
，则△ABC的面积为（）
A ．12
B ．10
C ．9
D ．8B
解析：B
【分析】 过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，则//BM CN ，可证得23BM BC CN CD ==，设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由已知可求得A 、B 、C 的坐标，则可求得直线BC 的解析式，进而求得点D 、F 的坐标，由ABD ADF BDF S S S -=△△△及:2:5ABD ABC S S =△△可求得ABC S
．
【详解】 过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，如图，
则有//BM CN ，
∴
BMD CND ∽，又52BC BD = ∴23
BM BD CN CD ==， 设点2,2k B x x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵点A ，B 在直线AB 上，
∴2210223103k x x k x x
⎧=-⨯+⎪⎪⎨⎪=-⨯+⎪⎩ ∴解得：112
x k =⎧⎨=⎩， ∴点()3,4A ，点()2,6B 、点()3,4C --．
设直线BC 的解析式为y=mx+n ，
则有：2634m n m n +=⎧⎨-+=-⎩
， 解得：22m n =⎧⎨
=⎩，
∴直线BC 解析式为22y x =+，
∴点()0,2D ，
∵点F 是直线AB 与y 轴的交点，
∴点()0,10F
∴()()10232102224ABD ADF BDF S S S -==-⨯÷--⨯÷=△△△
又∵:2:5ABD ABC S S =△△， ∴55S 4102
2
ABC ABD S ==⨯=， 故选：B ．
【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数的图象交点问题、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、直线上点的坐标特征、等高三角形的面积比等于底的比等知识，求出点A 、B 的坐标和作辅助线借助相似三角形解决问题是解答的关键．
3．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使3OA OD =，3OB OC =），然后张开两脚，使A 、B 两个尖端分别在线段I 的两个端点上．若12AB cm =，则CD 的长是（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．6cm
D ．8cm B
解析：B
【分析】 首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解. 【详解】
∵OA =3OD ，OB =3OC ，
∴3OA OB OD OC
==， ∵AD 与BC 相交于点O ，
∴∠AOB =∠DOC ，
∴△AOB ∽△DOC ，
∴3AB OA DC OD
==，
∵12AB cm =
∴CD=12433
AB ==cm, 故选B.
【点睛】 本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.
4．有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）
①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似． A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个D
解析：D
【分析】
直接利用相似图形的判定方法分别判断得出答案．
【详解】 解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；
②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；
③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；
④两个正方形相似，正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似多边形的判定，正确掌握判定方法是解题的关键． 5．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ：BD=5：3，CF=6，则DE 的长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12C
解析：C
【分析】 根据DE ∥BC ，EF ∥AB ，判断出DE BF =，在根据DE ∥BC ，EF ∥AB ，便可以找到分的线段成比例。

AD AE DB EC =，CE CF CA CB
=，便可求解了． 【详解】
解：DE ∥BC ，EF ∥AB ∴ 四边形BFED 是平行四边形
DE BF ∴=
DE ∥BC AD ：BD=5：3
53AD AE DB EC ∴== 38
CE CA ∴= 又EF ∥AB 38
CE CF CA CB ∴== 又
CF=6 16CB ∴=
10BF BC FC ∴=-=
即DE=10
故选C
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，以及平行四边形的判定和性质，掌握这些基本知识是解此题的关键．
6．△ABC 与△DBC 如图放置，已知，∠ABC ＝∠BDC ＝90°，∠A ＝60°，BD ＝CD ＝22，将△ABC 沿BC 方向平移至△A'B'C'位置，使得A'C 边恰好经过点D ，则平移的距离是（ ）
A ．1
B ．22﹣2
C ．23﹣2
D ．26﹣4C
解析：C
【分析】 过点D 作DJ ⊥BC 于J ，根据勾股定理求出BC ，利用等腰直角三角形的性质求出DJ 、BJ 、JC ，利用平行线分线段成比例定理求出JC′即可解决问题．
【详解】
解：过点D 作DJ ⊥BC 于J ．
∵DB ＝DC ＝2，∠BDC ＝90°，
∴BC ()()222222+4，DJ ＝BJ ＝JC ＝2，
∵∠ABC ＝90°，∠A ＝60°，
∴∠ACB ＝30°，
∴AC=2AB ，
∵AB 2+42=(2AB)2，
∴A′B′=AB＝
3
，∵DJ//A′B′，
∴DJ
A B''＝
C J
C B
'
''
，
∴
3
4
C J'
，
∴C′J＝
∴JB′＝4﹣
∴BB′＝2﹣(4﹣
＝﹣2.
故选：C．
【点睛】
本题考查了平移的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及平行线分线段成比例定理．
7．已知a3
b4
=，则下列变形错误的是（）
A．
3
4
a
b
=B．
34
a b
=C．4a=3b D．
4
3
b
a
=A
解析：A
【分析】
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【详解】
解：由
3
4
a
b
=得，4a=3b，
A、由等式性质可得：ab=12，原变形错误，故这个选项符合题意；
B、由等式性质得到4a=3b，原变形正确，故这个选项不符合题意；
C、由等式性质可得：4a=3b，原变形正确，故这个选项不符合题意；
D、由等式性质可得：4a=3b，原变形正确，故这个选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．
8．已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ长为（）
A．B．+1) C．D．C
解析：C
【分析】
画出图像，根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，求出AQ、PB的长度，再根据PQ=AQ+PB－AB即可求出PQ的长度．
【详解】
解：如图，
根据黄金分割点的概念，可知512PB AQ AB AB -==， ∴AQ =PB ，
AB =10，
∴AQ =PB =51105552
-⨯=-， ∴PQ =AQ +PB －AB =555555101052010(52)-+--=-=-．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键．
9．如图在ABC 中，其中D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且31AD =，29DB =，30AE =，32EC =．若50A ∠=︒，则图中1∠、2∠、3∠、4∠的大小关系正确的是（ ）．
A ．13∠=∠
B ．24∠∠=
C ．23∠∠=
D ．14∠<∠C
解析：C
【分析】 根据31AD =，30AE =，可得21∠<∠；根据题意，通过计算AB 和CD ，可得
12
AD AE AC AB ，即证明ADE ACB ∽，即可得到各个角度的大小关系． 【详解】
∵31AD =，30AE =
∴21∠<∠
∵31AD =，29DB =，30AE =，32EC =
∴60AB AD BD =+=，62AC AE EC =+=
∴12
AD AE
AC AB
∵50A ∠=︒
∴
ADE ACB ∽
∴14∠=∠，23∠∠=
∴13∠>∠，24∠<∠
故选：C ．
【点睛】 本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
10．如图，要使ABC ACD ∆∆，需补充的条件不能是（ ）
A ．ADC AC
B ∠=∠
B ．AB
C AC
D ∠=∠ C ．AD AC AC AB
= D ．AD BC AC DC ⋅=⋅D 解析：D
【分析】
要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．
【详解】
∵∠DAC=∠CAB
∴当∠ACD=∠ABC 或∠ADC=∠ACB 或AD ：AC=AC ：AB 时，△ABC ∽△ACD ． 故选：D
【点睛】
本题考查相似三角形的判定方法的开放性的题，相似三角形的判定方法：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
二、填空题
11．如图，点О是正方形ABCD 的中心，DE 与О相切于点E ，连接,BE 若10,DE =102BE =О的面积是________________．
25【分析】连接EO 可知EO ⊥ED 延长DE 到点F 作
BF ⊥DF 根据题意可知△DEO ∽△DFB 在△EFB 中根据勾股定理求解得出半径的长然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO 可知EO ⊥ED 解析：25π
【分析】
连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，根据题意可知△DEO ∽△DFB ，在△EFB 中，222EB EF FB =+，根据勾股定理求解得出半径的长，然后再根据圆的面积公式求解即可；
【详解】
如图：连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，
∵∠FDB=∠EDO ，∠DEO=∠DFB ，
∴△DEO ∽△DFB ，
∵EO=r ，ED=10，EB=102， ∵DO=OB ，
∴
12DO EO DE DB FB DF
===， ∴EF=10，FB=2r ， 在△EFB 中，222EB EF FB =+，
()22102=1004r +，
∴ r=5，
∴ 圆的面积为225r ππ=，
故答案为：25π
【点睛】
本题考查了圆的面积公式、相似三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握这些公式是解题的关键；
12．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，P 是BC 边上一动点（不与B ，C 重合），DE AP ⊥于E ．若PA x =，DE y =，则y 关于x 的函数解析式为_____．
【分析】根据正方形的性质以及DE ⊥AP 即可判定
△ADE ∽△PAB 根据相似三角形的性质即可列出y 与x 之间的关系式需要注意的是x 的范围【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°∴∠ 解析：(16442y x x =
<< 【分析】
根据正方形的性质以及DE ⊥AP 即可判定△ADE ∽△PAB ，根据相似三角形的性质即可列出y 与x 之间的关系式，需要注意的是x 的范围．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°，
∴∠EAD +∠BAP ＝90°，
∠BAP +∠APB ＝90°，
∴∠EAD ＝∠APB ，
又∵DE ⊥AP ，∠AED ＝∠B ＝90°，
∴△ADE ∽△PAB ． ∴=AD DE AP AB ，即4=4
y x ∴(16442y x x
=<<． 故答案为：(16442y x x
=<< 【点睛】 本题考查相似三角形，解题关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等题型．
13．已知线段=AB 6，点c 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >．那么
AC BC -=________．【分析】根据黄金比值为进行计算即可得到答案【详解】解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点AB=6∴AC=×6=3-3BC=6-（3-3）=9-3AC-BC=3-3-（9-3）=6-12；故答案为：【点睛】 解析：6512- 【分析】 根据黄金比值为
512-进行计算即可得到答案． 【详解】
解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，AB=6，
∴AC=512
-×6=35-3， BC=6-（35-3）=9-35，
AC-BC=35-3-（9-35）=65-12；
故答案为：6512-
【点睛】
本题考查的是黄金分割的知识和二次根式的计算，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 14．如图，EF 是ABC 纸片的中位线，将AEF 沿EF 所在的直线折叠，点A 落在BC 边上的点D 处，已知AEF 的面积为7，则图中阴影部分的面积为______．
14【分析】根据三角形的中位线定理结合相似三角形的性质
可以求得△ABC 的面积再根据折叠的性质得到△DEF 的面积从而求解【详解】∵EF 是△ABC 的中位线∴EF ∥BCEF=BC ∴△AEF ∽△ACB ∴∵△
解析：14
【分析】
根据三角形的中位线定理，结合相似三角形的性质可以求得△ABC 的面积，再根据折叠的性质得到△DEF 的面积，从而求解．
【详解】
∵EF 是△ABC 的中位线，
∴EF ∥BC ，EF=
12
BC ， ∴△AEF ∽△ACB ， ∴22
AEF
ACB 1124S EF S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵△AEF 的面积为7，
∴△ABC 的面积=28，
由折叠的性质得△DEF 的面积为7，
∴图中阴影部分的面积为28-7-7=14．
故答案为：14．
【点睛】
本题综合考查了折叠问题，三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质．关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
15．如图，一个半径为2的圆P 与x 正半轴相切，过原点O 作圆P 的切线OT ，切点为T ，直线PT 分别交x y ，轴的正半轴于A B 、两点，且P 是线段AB 的三等分点，则圆心P 的坐标为__________．
或【分析】分两种情况①当AP=2BP 时当ＢP=2ＡP 时
讨论解答即可【详解】解：P 是线段AB 的三等分点有两种情况：连接OP 过点P 作PC ⊥y 轴设OD=x 则CP=x①当AP=2BP 时∵PD ∥OB ∴∴AD= 解析：2,2)或(25,2)
【分析】
分两种情况①当AP=2BP 时，当ＢP=2ＡP 时讨论解答即可．
【详解】
解：P 是线段AB 的三等分点，有两种情况：连接OP ，过点P 作PC ⊥y 轴，
设OD=x ，则CP=x ，
①当AP=2BP 时，
∵PD ∥OB ， ∴=2AP AD PB DO
=， ∴AD=2DO ，即AD=2x ，
在RT △ADP 中，22222(2)221AD DP x x +=+=+21x +， ∵23
AP PD AB OB ==，PD=2， ∴OB=3， ∵1122
BOP S BO CP BP OT =⋅=⋅， ∴21x +x ， 解得122x =222x =-舍去)，
∴P(222)；
②当ＢP=2ＡP 时，
∵PD ∥OB ， ∴1=2AP AD PB DO =， ∴AD=12DO ，即AD=12
x ， 在RT △ADP 中， AP=
2222211()2424AD DP x x +=+=+，BP=216x +， ∵13
AP PD AB OB ==，PD=2， ∴OB=６，
∵1122
BOP S BO CP BP OT =⋅=⋅， ∴６x=216x +·x ，
解得125x =，225x =-(舍去)，
∴P(22，2)；
故答案为：P(22，2)或P(22，2)．
【点睛】
本题考查了切线的性质、平行线分线段成比例及勾股定理，解题的关键是分情况讨论． 16．如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，D 是边AB 上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ，若△A ′EC 是直角三角形，则AD 长为_____．
或【分析】先根据勾股定理得到AC ＝5再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5设AD ＝x 则AE ＝A′E ＝xEC ＝5﹣xA′B ＝2x ﹣4在
Rt △A′BC 中根据勾股定理得到A′C 再根据△ 解析：78或258 【分析】 先根据勾股定理得到AC ＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54
x ，A ′B ＝2x ﹣4，在Rt △A ′BC 中，根据勾股定理得到A ′C ，再根据△A ′EC 是直角三角形，根据勾股定理得到关于x 的方程，解方程即可求解．
【详解】
解：在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，
∴AC ＝5，
∵DE ∥BC ，
∴AD ：AB ＝AE ：AC ，即AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，
设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54
x ，A ′B ＝24x ﹣， 在Rt △A ′BC 中，A ′C ＝22(24)3x -+，
∵△A ′EC 是直角三角形，
∴①当A '落在边AB 上时，∠EA ′C ＝90°，∠BA ′C ＝∠ACB ，A ′B ＝3×cot ∠ACB ＝39344⨯=， ∴AD ＝1974248
⎛
⎫-= ⎪⎝⎭；
②点A 在线段AB 22(24)3x -+2+（5﹣
54x ）2＝（54x ）2， 解得x 1＝4（不合题意舍去），x 2＝258
．
故AD长为7
8
或
25
8
．
故答案为：7
8
或
25
8
．
【点晴】
本题考查了勾股定理和平行线等分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键．17．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为
10cm，
2
3
AO DO
BO CO
==，则容器的内径是______．
【分析】连接ADBC后可知△AOD∽△BOC再由相似三角形的性质
和已知条件可以得到问题解答【详解】解：如图连接ADBC则在△AOD和
△BOC中∴△AOD∽△BOC（cm）故答案为15cm【点睛】本题
解析：15cm
【分析】
连接AD、BC后可知△AOD ∽△BOC，再由相似三角形的性质和已知条件可以得到问题解答．
【详解】
解：如图，连接AD、BC，
则在△AOD 和△BOC 中，AO DO BO CO DOA BOC ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOD ∽△BOC ，
233,1015322
AD AO BC AD BC BO ====⨯=（cm ）， 故答案为15cm ．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质并灵活运用是解题关键． 18．在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AB=12，AC=16，AE=4，若ABC 与ADE 相似，则AD=__________．或【分析】分类讨论：当△ADE ∽△ABC 和当△AED ∽△ABC 根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可【详解】如图∵∠DAE=∠BAC ∴当△ADE ∽△ABC ∴即解得：AD=3∴当△AED ∽△ABC ∴
解析：
163
或3 【分析】 分类讨论：当△ADE ∽△ABC 和当△AED ∽△ABC ，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．
【详解】
如图
∵∠DAE=∠BAC ，
∴当△ADE ∽△ABC ，
∴AB AD AC AE
=，
即12
164
AD
=，
解得：AD=3，
∴当△AED∽△ABC，
∴AB AE AC AD
=，
即124
16AD
=，
解得：AD=16
3
，
故答案为：16
3
或3
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
19．若
2
5
x
y
=，则
x y
y
+
=____________．【分析】由根据比例的性质即可求得的值
【详解】解：∵∴=故答案为：【点睛】此题考查了比例的性质此题比较简单注意熟记比例变形
解析：7
5
【分析】
由
2
5
x
y
=，根据比例的性质，即可求得
x y
y
+
的值．
【详解】
解：∵
2
5 x
y
=
∴x y
y
+
=
2+57
=
55
．
故答案为：7
5
．
【点睛】
此题考查了比例的性质，此题比较简单，注意熟记比例变形．
20．如图，P为△ABC的重心，连结AB并延长BC于点D，过点P作EF∥BC分别交AB，
AB 于点E ，F ．若△ABC 的面积为36，则△AEF 的面积为____．
16【分析】先根据重心性质得再证明最后根据相似三角形的性
质求解即可【详解】解：∵P 为△ABC 重心∴∵∴∴∴故答案为16【点睛】本题考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质重心到顶点的距离与重
解析：16
【分析】 先根据重心性质得
223
AP AP PD AD ==，，再证明AEF ABC ∽，最后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵P 为△ABC 重心， ∴
223
AP AP PD AD ==， ∵//EF BC
∴AEF ABC ∽ ∴23
AE AF AB AC == ∴22()163
AEF ABC S S ==△△ 故答案为16．
【点睛】 本题考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答本题的关键．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线2y x b =+经过点()2,0A -，与y 轴交于点B ，与反比例函数()0k y x x =
>的图象交于点C(m ，6)，过B 作BD y ⊥轴，交反比例函数()0k y x x
=>的图象于点D ，连接AD ，CD ． （1）求b ，k 的值；
（2）求△ACD 的面积；
（3）在坐标轴上是否存在点E(除点O 外)，使得△ABE 与△AOB 相似，若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（1）4，6；（2）4.5；（3）存在，理由见解析．
【分析】
（1）把A(－2，0)，代入y ＝2x ＋b 得到b 的值，再把C(m ，6)代入y ＝2x ＋b ，求出m 的值，进而即可得到答案；
（2）先求出B 的坐标，再求出点 D 的纵坐标，根据S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ，进而即可求解；
（3）分两种情况①△AOB ∽△EAB ，②△AOB ∽△ABE ，分别列出比例式，进而即可求解
【详解】
（1）∵直线y ＝2x ＋b 经过点A(－2，0)，
∴－4＋b ＝0，
∴b ＝4，
∴直线y ＝2x ＋4．
把C(m ，6)代入y ＝2x ＋4中，得6＝2m ＋4，
解得m ＝1，
∴C(1，6)．
把C(1，6)代入反比例函数()0k y x x
=>中，得k ＝6． （2）令x ＝0，得y ＝2x ＋4＝4，
∴B(0，4)．
∵BD ⊥y 轴于B ，
∴D 点的纵坐标为4，
把y ＝4代入反比例函数y ＝
6x 中，得x ＝32， ∴D （32
，4）， ∴BD ＝
32， ∴S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝4.5；
（3）存在．当∠BAE ＝90°时，如图①，
∵∠BAE ＝∠BOA ＝90°，∠ABE ＝∠OBA ，
∴△AOB ∽△EAB ， ∴AB BO EB BA
=， ∵222425+=
∴BE ＝5，
∴OE ＝1，
∴E(0，－1)；
当∠ABE ＝90°时，如图②，
∵∠ABE ＝∠AOB ＝90°，∠OAB ＝∠BAE ，
∴△AOB ∽△ABE ， ∴AB AO AE BA = ∴AE ＝2AB AO
＝10， ∴OE ＝AE －AO ＝10－2＝8，
∴E(8，0)．
∴存在点E(除点O 外)，使得△ABE 与△AOB 相似，其坐标为(8，0)或(0，－1)．
① ②
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数的综合以及相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法以及相似三角形的性质，是解题的关键．
22．求证：相似三角形对应边上的角平分线之比等于相似比．
要求：①根据给出的ABC 及线段A B ''，A '∠（A A ∠'=∠），以线段A B ''为一边，在给出的图形上用尺规作出A B C '''，使得A B C ABC ''''∽△△，不写作法，保留作图痕迹．
②在已有的图形上画出一组对应角平分线，并据此写出已知、求证和证明过程．
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据相似三角形的判定，只需作出∠Bˊ=∠B 即可得到A B C ''';
（2）先根据题意写出已知、求证，再根据相似三角形的性质和角平分线定义可证得ACD A C D '''∠=∠，进而可证得ACD A C D '''∽△△，则有
CD AC C D A C =''''=k ． 【详解】
解：（1）如图所示，A B C '''即为所求．
（2）已知：如图，ABC A B C '''∽△△，相似比为k ，CD 、C D ''分别平分ACB ∠，A C B '''∠，
求证：CD AC k C D A C ==''''
． 证明：∵ABC A B C '''∆∆∽， ∴A A '∠=∠，ACB A C B '''∠=∠，
AC k A C ='' ∵CD 、C D ''分别平分ACB ∠，A C B '''∠， ∴12ACD ACB ∠=∠，12
A B C C D A '∠∠'=''''， ∴ACD A C D '''∠=∠，
∵A A '∠=∠，
∴ACD A C D '''∽△△， ∴
CD AC k C D A C ==''''
． 【点睛】 本题考查了基本尺规作图-作与已知角相等的角、相似三角形的判定与性质，解答的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，注意文字叙述性命题的证明格式．
23．在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,2A -，()2,1B -，()4,3C -．
（1）画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △；
（2）以点O 为位似中心，在网格中画出111A B C △的位似图形222A B C △，使222A B C △与111A B C △的相似比为2:1；
（3）设点(),P a b 为ABC 内一点，则依上述两次变换后点P 在222A B C △内的对应点2P 的坐标是______．
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）()2,2a b -．
【分析】
（1）先根据关于x 轴对称的点的坐标特征描出A 1、B 1、C 1，然后再顺次连接即可； （2）先根据关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把点A 1、B 1、C 1的横纵坐标都扩大2倍得到A 2、B 2、C 2的坐标，然后描点，最后顺次连接即可；
（3）利用（1）、（2）中的坐标变换规律求解即可．
【详解】
解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求图形；
（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求图形；
（3）根据（1）（2）的变换规律可得：2P （2a ，-2b ）．
【点睛】
本题主要考查了轴对称变换和位似变换，掌握作轴对称图形和位似图形的的步骤成为解答本题的关键．
24．如图所示，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，
点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处，已知折叠55CE =，且:3:4AE AD =．
（1）判断OCD 与ADE 是否相似？请说明理由；
（2）求点E 的坐标
（3）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标．
解析：（1）OCD 与ADE 相似，理由见解析；（2）点E 的坐标为()10,3；（3）点P 的坐标为()16,0．
【分析】
（1）结论△OCD 与△ADE 相似：根据同角的余角相等即可得出∠OCD ＝∠EDA ，由此可证得两三角形相似．
（2）设3AE t =，则4AD t =，利用OCD ADE ∽△△，得到OC CD AD DE
=，10CD t =．在DCE 中，利用222CD DE CE +=，解得1t =，故可求解；
（3）根据待定系数法求出CE 的解析式，故可求解．
【详解】
（1）OCD 与ADE 相似．理由如下：
由折叠知，90CDE B ∠=∠=︒，
∴90CDO EDA ∠+∠=︒，
∵90CDO OCD ∠+∠=︒，
∴∠OCD ＝∠EDA ．
又∵90COD DAE ∠=∠=︒，
∴OCD ADE ∽△△．
（2）∵:3:4AE AD =，
∴设3AE t =，则4AD t =，
由勾股定理得5DE t =，∴358OC AB AE EB AE DE t t t ==+=+=+=．
由（1）OCD ADE ∽△△，得：OC CD AD DE
= ∴845t CD t t
= ∴10CD t =．
在DCE 中，∵222CD DE CE +=，
∴()()()22210555t t +=，解得1t =． ∴8OC =，3AE =，
∴点C 的坐标为()0,8，点E 的坐标为()10,3，
（3）设直线CE 的解析式为y kx b =+，
∴1038
k b b +=⎧⎨=⎩， ∴128
k b ⎧=-⎪⎨⎪+⎩，
∴182
y x =-
+， 令y=0,解得x=16 ∴点P 的坐标为()16,0．
【点睛】 本题考查了一次函数的应用、图形的翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
25．如图， ABC 中，中线AD ，BE 交于点F ，//EG BC 交AD 于点G ．
（1）求AG GF
的值． （2）如果3BD =4DF =，请找出与BDA 相似的三角形，并挑出一个进行证明． 解析：（1）3；（2）BDA FGE ∽△△，证明见解析
【分析】
（1）先证明AGE ADC △∽△，再证明GEF DBF ∽△△，得到2DF GF =，则问题可解； （2）根据题意分别证明BDA FDB ∽△△，BDA FGE ∽△△问题可证．
【详解】
解：（1）
D 是BC 的中点，
E 是AC 的中点，
BD CD ∴=，AE CE =，
//GE BC ，
AGE ADC ∴∽△△，
12AG GE AE AD CD AC ∴===，
AG GD ∴=，2GE CD BD ==，
//GE BC ，
GEF DBF ∴∽△△， 12GE GF BD DF ∴==， 2DF GF ∴=， 3AG DG GF ∴==，
3AG GF
∴=． （2）当43BD =，4DF =时，
由（1）可得
122GF DF =
=，36AG DG GF ===，212AD AG ==， 1232
GE BD ==， 4334
BD DF ==，12343AD BD ==， AD BD BD DF ∴
=， 又BDG ADB ∠=∠，
BDA FDB ∴∽△△，
3GE GF
=，12343AD BD ==， AD GE BD GF
∴=， //GE BC ，
ADB EGF ∴∠=∠，
BDA FGE ∴∽△△．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似．
26．如图，在ABCD 中，DE AC ⊥于点O ，交BC 于点E ，,//=EG EC GF AD 交DE 于点F ，连接CF ，点H 为线段AO 上一点，连接HD 、HF ．
（1）判断四边形GECF 的形状，并说明理由．
（2）当∠=∠DHF
HAD 时，求证：⋅=⋅AH CH EC AD ． 解析：（1）四边形GECF 是菱形，理由见解析；（2）证明见解析过程． 【分析】
（1）由线段垂直平分线的性质可得GO=CO ，由“AAS”可证△GFO ≌△CEO ，可得GF=EC ，由菱形的判定可证四边形GECF 是菱形；
（2）通过证明△ADH ∽△CHF 可得
AD AH HC CF =，可得结论． 【详解】
解：（1）四边形GECF 是菱形，
理由：∵EG=EC ，DE ⊥AC ，
∴GO=CO ，
∵GF ∥AD ，AD ∥BC ，
∴GF ∥BC ，
∴∠FGO=∠ECO ，∠GFO=∠CEO ，
∴△GFO ≌△CEO （AAS ），
∴GF=EC ，
∴四边形GFCE 是平行四边形，
又∵EG=EC ，
∴平行四边形GFCE 是菱形；
（2）∵∠DHC=∠DAH+∠ADH=∠DHF+∠FHC ，∠DHF=∠HAD ，
∴∠ADH=∠FHC ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠DAH=∠ACB ，
∵四边形GFCE 是菱形，
∴CE=CF ，∠HCF=∠ACB ，
∴∠HCF=∠DAH ，
∴△ADH ∽△CHF ， ∴AD AH HC CF
=， ∴AH•CH=AD•EC ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，证明△ADH ∽△CHF 是解题的关键．
27．如图，在ABC 和ADE 中，BAD CAE ∠=∠，ABC ADE ∠=∠．
求证：ABD ACE ．
解析：证明见解析
【分析】 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】
证明：∵∠BAD ＝∠CAE ，
∴∠BAD +∠DAC ＝∠CAE +∠DAC ，
即∠BAC ＝∠DAE ，
又∵∠ABC ＝∠ADE ，
∴△ABC ∽△ADE ， ∴AB AC AD AE
=． 又∵∠BAD ＝∠CAE ，
∴△ABD ∽△ACE ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 28．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．
（1）在互补四边形ABCD 中，A ∠与C ∠是一组对角，若::2:3:4,B C D ∠∠∠=则A ∠= °
（2）如图，在ABC 中，点,D E 分别在边,AB BC 上，且,BE BC AB BD ⋅=⋅求证：四边形ADEC 是互补四边形．
解析：（1）90；（2）见解析
【分析】
（1）根据互补四边形的定义得到180A C ∠+∠=︒，由四边形内角和得
180B D ∠+∠=︒，根据三个角的比例，列式求出各个角的度数；
（2）根据两组对应边成比例且夹角相等，证明BDE BCA ，得到BED A ∠=∠，可以证明180A CED ∠+∠=︒，就可以证明四边形ADEC 是互补四边形．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是互补四边形，且A ∠与C ∠是一组对角， ∴180A C ∠+∠=︒，
∵四边形内角和是360︒，
∴180B D ∠+∠=︒，
∵::2:3:4B C D ∠∠∠=，
∴设2B x ∠=，3C x ∠=，4D x ∠=，
24180x x +=︒，解得30x =︒，
∴390C x ∠==︒，则1809090A ∠=-=︒︒︒，
故答案是：90；
（2）∵BE BC AB BD ⋅=⋅， ∴BE BD AB BC
=， ∵B B ∠=∠，
∴
BDE BCA ，
∴BED A ∠=∠，
∴180A CED BED CED ∠+∠=∠+∠=︒，
∴四边形ADEC 是互补四边形．
【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．。