2014届高三数学一轮复习精讲精练：4.4向量综合应用

第4课 向量综合应用
【考点导读】
1. 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法解决向量知识内部综合问题和与函数、不等式、三角函数、数列等知识的综合问题.
2. 能从实际问题中提炼概括数学模型,了解向量知识的实际应用.
【基础练习】
1.已知a ＝（5，4），b ＝（3，2），则与2a －3b 平行的单位向量为e =±
2.已知a ＝1，a 与b 的夹角为60°，x ＝2a －b ,y ＝3b －a ，则x 与y 的夹 【范例导析】
例1.已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 2
3). (1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f （t ）；
(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f (t )的单调区间。

分析:利用向量知识转化为函数问题求解.
解:（1）法一：由题意知x ＝(23322--t ,223232--t ), y ＝(2
1t －3k ，23t ＋k )，又x ⊥y
故x · y ＝23322--t ×（2
1t －3k ）＋223232--t ×(23t ＋k )＝0。

整理得：t 3－3t －4k ＝0，即k ＝41t 3－4
3t . 法二：∵a ＝(3，－1)，b ＝(21, 23), ∴. a ＝2，b ＝1且a ⊥b ∵x ⊥y ，∴x · y ＝0，即－k a 2＋t (t 2－3)b 2＝0，∴t 3－3t －4k ＝0,即k ＝
41t 3－43t (2) 由(1)知：k ＝f (t ) ＝41t 3－43t ∴k ´＝f ´(t ) ＝43t 2－4
3, 令k ´＜0得－1＜t ＜1；令k ´＞0得t ＜－1或t ＞1.
故k ＝f (t )的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）. 点拨:第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，
值得注意）。

第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。

例2.已知两个力（单位：牛）1f r 与2f r 的夹角为60o ，其中1f =r （2，0），某质点在这两个力的共同作用下，由点A （1，1）移动到点B （3，3）（单位：米）
（1） 求1f r ；
（2） 求1f r 与2f r
的合力对质点所做的功
分析:理解向量及向量数量积的物理意义,将物理中的求力和功的问题转化为向量问题解决.
点拨:学习向量要了解向量的实际背景,并能用向量的知识解决方一些简单的实际问题.
【反馈练习】
1.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C 满足
OC OA OB =α+βu u u r u u u r u u u r ，其中α，β∈R 且α+β=1，则点C 的轨迹方程为x ＋2y －5=0 2.已知a ,b 是非零向量且满足（a －2b ）⊥a ，（b －2a ）⊥b ，则a 与b 的夹角是3π
3. 已知直线x+y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|OA +OB |=|OA -OB |,其中O 为原点,则实数a 的值为2或-2
4.已知向量a =(cos ,sin θθ)，向量b =(3,1-)，则|2a －b |的最大值是 4
5．如图，AB (6,1),BC (,),CD (2,3)===--u u u r u u u r u u u r x y ，
（1）若BC u u u r ∥DA u u u r ，求x 与y 间的关系；
（2）在（1）的条件下，若有AC BD ⊥u u u r u u u r ，求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积. 解（1）),2,4(-+=y x AD 又BC ∥,DA
（2）由AC ⊥BD ，得（x －2）(6＋x)＋(y －3)·(y＋1)＝0,②
即x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0 由①，②得63x y =-⎧⎨=⎩或2
1x y =⎧⎨=⎩16=∴S
第5题。