近年高中数学初高中衔接读本专题2.2根与系数的关系韦达定理)精讲深剖学案(2021年整理)

2018高中数学初高中衔接读本专题2.2 根与系数的关系韦达定理）精讲深剖学案
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第2讲 根与系数的关系(韦达定理）
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用,而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。

【知识梳理】
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：
,22b b x x a a
-+--==
所以:12b x x a
+=+=-，
221222()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----⋅=⋅=== 定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么:
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．
【典例解析】1.已知方程2560x kx +-=的一个根是2,求它的另一个根及k 的值．
【分析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入,求出k 的值,再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．
【解析】解法一：
∵2是方程的一个根，
∴5×22
＋k ×2－6＝0，
∴k ＝－7．
所以,方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2,x 2＝－35
． 所以，方程的另一个根为－35
，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65
， ∴x 1＝－35．由 （－35）＋2＝－5
k ，得k ＝－7． 所以,方程的另一个根为－35
，k 的值为－7． 【解题反思】本题两种解法进行比较，解法一将已知的根代入方程求解出k 的值，再求另一个根；而解法二直接运用韦达定理,建立二元一次方程求解更加高效。

2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．
（1)求12x x -的值;
(2）求
221211x x +的值； （3)x 13＋x 23．
【解析】∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2
＋5x －3＝0的两根，
∴1252x x +=-，1232x x =-． （1)∵｜ x 1－x 2｜2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494
， ∴｜ x 1－x 2｜＝72
． (2)22221212122222221212
125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-． （3)x 13＋x 23＝（x 1＋x 2)（ x 12－x 1x 2＋x 22）＝(x 1＋x 2）［ （ x 1＋x 2） 2－3x 1x 2]
＝(－52）×[（－52）2－3×(32-)]＝－2158
． 【解题反思】为了解题简便,我们探讨出一般规律：
设12,x x 分别是一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0)的根，则运用根与系数的关系以下变形需掌
握；
①222121212()2x x x x x x +=+-
②22121212()()4x x x x x x -=+- ③12121211x x x x x x ++=
④2212121212()()4x x x x x x x x -=-=+-；或
222124424222b b ac b b ac b ac x x a a a -+------=-=24||||
b a
c a a -∆== 【变式训练】
1.若12,x x 是方程2220180x x +-=的两个根，试求下列各式的值；
（1）2212x x +；
（2）12
11x x +; （3）12(5)(5)x x --；
（4)12x x -；
【分析】本题若运用求根公式先求解，运算量太大，借助韦达定理是一条更加高效的解题思路；
【点评】掌握韦达定理的常见变形可帮助我们提升解题速度。

2.已知关于x 的方程x 2＋2(m －2）x ＋m 2
＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积
大21，求m 的值．
【分析】本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从
而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
【解析】设x1,x2是方程的两根,由韦达定理，得；x1＋x2＝－2（m－2)，x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21,
∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，
即 [－2(m－2)] 2－3(m2＋4)＝21，
化简，得m2－16m－17＝0，
解得；m＝－1,或m＝17．
当m＝－1时,方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时,方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0,不合题意，舍去．
综上，m＝17．
【点评】（1）在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．(2)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
3。

已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
【分析】我们可以设出这两个数分别为x,y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程；x2－4x－12＝0的两个根．
解这个方程，得；x1＝－2，x2＝6．
所以，这两个数是－2和6．
【点评】从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．。