高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第6节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理、余弦定理课件理
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
答案：2
在△ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解的情况
A 为锐角
A 为钝角或直 角
图形
关系式 解的 个数
a＝bsinA ____
bsinA<a<b ____
a≥b ____
a>b a≤b ____ ____
答案 一解 两解 一解 一解 无解
3．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三
【小结归纳】 正弦定理的应用技巧
(1)求边：利用公式 a＝bssiinnBA，b＝assiinnAB，c＝assiinnAC或其 他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 sinA＝ asibnB，sinB＝bsianA，sinC＝csianA或其他相应变形公式求解．
(3)相同的元素归到等号的一边：即ab＝ssiinnAB，bc＝ssiinnCB，ac ＝ssiinnCA，可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.
如图，在△ABC 中，AB＝AC＝2， BC＝2 3，点 D 在 BC 边上，∠ADC ＝75°，则 AD 的长为________．
解析：
过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E， 则在 Rt△ABE 中， cosB＝BAEB＝12ABBC＝ 23，故 B＝30°.
在△ABD 中，∠ADB＝180°－∠ADC＝180°－75°
【解析】 (1)由正弦定理，
得 sinB＝bsianA＝
6·s2in45°＝
3 2.
因为 b>a，所以 B＝60°或 120°.
故满足条件的三角形有两个．
(2)由正弦定理得，sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB， 所以 sin(B＋C)＝2sinB，sin(π－A)＝2sinB， 即 sinA＝2sinB， 再由正弦定理得 a＝2b，所以ab＝2. 【答案】 (1)B (2)2
必考部分
第三章
三角函数、解三角形
第六节 正弦定理和余弦定理
[考纲考情] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些 简单的三角形度量问题．
主干知识·整合 热点命题·突破
课时作业
主干知识·整合 01
课前热身 稳固根基
正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
内容 ________________＝2R
余弦定理 a2＝_________ b2＝_________ c2＝_________
A．3
B．2 2
C．2
D. 3
解析：由余弦定理 b2＋c2－2bccosA＝a2，得 b2－6b＋8 ＝0，解得 b＝2 或 b＝4，∵b<c＝2 3，∴b＝2.选 C.
答案：C
2．(2015·安徽卷)在△ABC 中，AB＝ 6，∠A＝75°， ∠B＝45°，则 AC＝________．
解析：由已知及三角形内角和定理得∠C＝60°，由sAinBC ＝sAinCB知 AC＝ABs·insCinB＝ 6s·ins6i0n°45°＝2.
解决
①已知三边，求各
①已知两角和任一边，求另一
解斜
角；
角和其他两条边．
三角
②已知两边和它们
②已知两边和其中一边的对
形的
的夹角，求第三边
角，求另一边和其他两角．问题ຫໍສະໝຸດ 和其他两个角.答案
sianA＝sibnB＝sincC b2＋c2－2bccosA a2＋c2－2accosB
a2＋b2－2abcosC
角形有( )
A．无解
B．两解
C．一解
D．解的个数不确定
解析：∵bsinA＝24sin45°＝12 2<18， ∴bsinA<a<b，故此三角形有两解．
答案：B
4．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 已知 A＝π6 ，a＝1，b＝ 3，则 B＝________．
解析：由正弦定理sianA＝sibnB，代入可求得 sinB＝ 23， 故 B＝π3 或 B＝2π 3 .故答案为π3 或2π 3 .
＝105°.
由正弦定理得 AD＝sAiBn∠·AsiDnBB＝2× sins1in0350°°
＝1＝
46＋
2 4
6－
2.
答案： 6－ 2
余弦定理及应用
【例 2】 (1)(2015·北京卷)在△ABC 中，a＝4，b＝5， c＝6，则ssiinn2CA＝________．
答案：π3 或2π 3
三角形常用面积公式
1．S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
2．S＝12absinC＝__________＝__________． 答案
1
1
2.2acsinB 2bcsinA
5．在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cosC＝13，则△ABC 的面积为________．
①a＝______，b＝______， c＝________ ②sinA＝____，sinB＝____，
cosA＝________； 变形 sinC＝______
cosB＝________； 形式 (其中 R 是△ABC 外接圆半径)
cosC＝________ ③a∶b∶c＝______________ ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB， asinC＝csinA
2RsinA
2RsinB
2RsinC
a 2R
b 2R
c 2R
sinA∶sinB∶sinC
b2＋c2－a2 2bc
a2＋c2－b2 2ac
a2＋b2－c2 2ab
1．(2015·广东卷)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别
为 a，b，c.若 a＝2，c＝2 3，cosA＝ 23且 b<c，则 b＝( )
解析：∵cosC＝13，∴sinC＝2 3 2，∴S△ABC＝12absinC＝12 ×3 2×2 3×232＝4 3.
答案：4 3
6．在△ABC 中，已知内角 A＝π3 ，边 BC＝2 3，则△ABC 的面积 S 的最大值为________．
解析：∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴12＝b2＋c2－bc. ∵b2＋c2≥2bc，∴12＋bc≥2bc，∴bc≤12. ∴S△ABC＝12bcsinA＝ 43bc≤3 3. 当且仅当 b＝c＝2 3时等号成立． 答案：3 3
第一课时 正弦定理、余弦定理
热点命题·突破 02
课堂升华 强技提能
正弦定理及应用
【例 1】 (1)在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 6，A＝45
°，则满足条件的三角形有( )
A．一个
B．两个
C．0 个
D．无法确定
(2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
已知 bcosC＋ccosB＝2b，则ab＝________．
在△ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解的情况
A 为锐角
A 为钝角或直 角
图形
关系式 解的 个数
a＝bsinA ____
bsinA<a<b ____
a≥b ____
a>b a≤b ____ ____
答案 一解 两解 一解 一解 无解
3．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三
【小结归纳】 正弦定理的应用技巧
(1)求边：利用公式 a＝bssiinnBA，b＝assiinnAB，c＝assiinnAC或其 他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 sinA＝ asibnB，sinB＝bsianA，sinC＝csianA或其他相应变形公式求解．
(3)相同的元素归到等号的一边：即ab＝ssiinnAB，bc＝ssiinnCB，ac ＝ssiinnCA，可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.
如图，在△ABC 中，AB＝AC＝2， BC＝2 3，点 D 在 BC 边上，∠ADC ＝75°，则 AD 的长为________．
解析：
过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E， 则在 Rt△ABE 中， cosB＝BAEB＝12ABBC＝ 23，故 B＝30°.
在△ABD 中，∠ADB＝180°－∠ADC＝180°－75°
【解析】 (1)由正弦定理，
得 sinB＝bsianA＝
6·s2in45°＝
3 2.
因为 b>a，所以 B＝60°或 120°.
故满足条件的三角形有两个．
(2)由正弦定理得，sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB， 所以 sin(B＋C)＝2sinB，sin(π－A)＝2sinB， 即 sinA＝2sinB， 再由正弦定理得 a＝2b，所以ab＝2. 【答案】 (1)B (2)2
必考部分
第三章
三角函数、解三角形
第六节 正弦定理和余弦定理
[考纲考情] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些 简单的三角形度量问题．
主干知识·整合 热点命题·突破
课时作业
主干知识·整合 01
课前热身 稳固根基
正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
内容 ________________＝2R
余弦定理 a2＝_________ b2＝_________ c2＝_________
A．3
B．2 2
C．2
D. 3
解析：由余弦定理 b2＋c2－2bccosA＝a2，得 b2－6b＋8 ＝0，解得 b＝2 或 b＝4，∵b<c＝2 3，∴b＝2.选 C.
答案：C
2．(2015·安徽卷)在△ABC 中，AB＝ 6，∠A＝75°， ∠B＝45°，则 AC＝________．
解析：由已知及三角形内角和定理得∠C＝60°，由sAinBC ＝sAinCB知 AC＝ABs·insCinB＝ 6s·ins6i0n°45°＝2.
解决
①已知三边，求各
①已知两角和任一边，求另一
解斜
角；
角和其他两条边．
三角
②已知两边和它们
②已知两边和其中一边的对
形的
的夹角，求第三边
角，求另一边和其他两角．问题ຫໍສະໝຸດ 和其他两个角.答案
sianA＝sibnB＝sincC b2＋c2－2bccosA a2＋c2－2accosB
a2＋b2－2abcosC
角形有( )
A．无解
B．两解
C．一解
D．解的个数不确定
解析：∵bsinA＝24sin45°＝12 2<18， ∴bsinA<a<b，故此三角形有两解．
答案：B
4．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 已知 A＝π6 ，a＝1，b＝ 3，则 B＝________．
解析：由正弦定理sianA＝sibnB，代入可求得 sinB＝ 23， 故 B＝π3 或 B＝2π 3 .故答案为π3 或2π 3 .
＝105°.
由正弦定理得 AD＝sAiBn∠·AsiDnBB＝2× sins1in0350°°
＝1＝
46＋
2 4
6－
2.
答案： 6－ 2
余弦定理及应用
【例 2】 (1)(2015·北京卷)在△ABC 中，a＝4，b＝5， c＝6，则ssiinn2CA＝________．
答案：π3 或2π 3
三角形常用面积公式
1．S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
2．S＝12absinC＝__________＝__________． 答案
1
1
2.2acsinB 2bcsinA
5．在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cosC＝13，则△ABC 的面积为________．
①a＝______，b＝______， c＝________ ②sinA＝____，sinB＝____，
cosA＝________； 变形 sinC＝______
cosB＝________； 形式 (其中 R 是△ABC 外接圆半径)
cosC＝________ ③a∶b∶c＝______________ ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB， asinC＝csinA
2RsinA
2RsinB
2RsinC
a 2R
b 2R
c 2R
sinA∶sinB∶sinC
b2＋c2－a2 2bc
a2＋c2－b2 2ac
a2＋b2－c2 2ab
1．(2015·广东卷)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别
为 a，b，c.若 a＝2，c＝2 3，cosA＝ 23且 b<c，则 b＝( )
解析：∵cosC＝13，∴sinC＝2 3 2，∴S△ABC＝12absinC＝12 ×3 2×2 3×232＝4 3.
答案：4 3
6．在△ABC 中，已知内角 A＝π3 ，边 BC＝2 3，则△ABC 的面积 S 的最大值为________．
解析：∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴12＝b2＋c2－bc. ∵b2＋c2≥2bc，∴12＋bc≥2bc，∴bc≤12. ∴S△ABC＝12bcsinA＝ 43bc≤3 3. 当且仅当 b＝c＝2 3时等号成立． 答案：3 3
第一课时 正弦定理、余弦定理
热点命题·突破 02
课堂升华 强技提能
正弦定理及应用
【例 1】 (1)在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 6，A＝45
°，则满足条件的三角形有( )
A．一个
B．两个
C．0 个
D．无法确定
(2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
已知 bcosC＋ccosB＝2b，则ab＝________．