乘法公式运用的六个方面
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乘法公式运用的六个方面
同学们学习乘法公式,不仅要能熟记,而且要能善用.如何才能用好乘法公式呢?不妨从以下几个方面进行训练.
一、直接套用
简析
2y分别看成是公式中的a和b,就可直接套用公式求解了.
二、合理运用
例2 计算
(x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1).
简析初学乘法公式的同学,遇到本题,要么束手无策(主要是对后面两个括号处理不好)要么给出如下解法:
解原式=(x2-1)[(x2+1)+x][(x2+1)-x]
=(x2-1}(x2+1)2-x2]
=(x2-1)(x4+x2+1)
=x6-1.
其实,若能合理运用公式,本题还有如下巧解:
解原式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)
=(x3+1)(x3-1)=x6-1.
三、创造条件运用
例3 计算(1)(2x-3y-1)(-2x-3y+5);
(2)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1.
简析这两道题从表面看都与乘法公式无关.但是,在(1)中,若把“-1”变为“-3+2”,“5”变为“3+2”再巧妙分组则可运用公式;在(2)中,只需乘以“1=(2-1)”便可多次运用平方差公式,使问题获解.
解
(1)原式=(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)
=[(2-3y)+(2x-3)][(2-3y)-(2x-3)]
=(2-3y)2-(2x-3)2
=9y2-4x2+12x-12y-5.
(2)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(24-1)(24+1)(28+1)+1
=(28-1)(28+1)+1
=216-1+1=216.
四、逆向运用
(2)1.23452+0.76552+2.469×0.7655.
简析这两道题显然不宜直接计算,对于(1),若将分母中的2拆成1+1并分别与前面两个数结合,同时注意逆用平方差公式,则可巧妙求解.对于(2)只需将2.469写成2×1.2345.则可逆用完全平方公式.使运算过程大大简化.解(1)对分母逆用平方差公式:
分母=199819962-1+199819982-1
=19981997×19981995+19981999×19981997
=19981997×[(19981995+2)+(19981999-2)]
=2×199819972.
(2)原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552
=(1.2345+0.7655)2
=22=4.
五、变形运用
例5 已知a-b=4,ab=5,求a2+b2的值.
简析按常规应先由a-b=4和ab=5求出a,b的值,然后代入式中计算.但
是,这对初一学生来说是不可能的.此时,若注意到完全平方公式
(a-b)2=a2+b2-2ab,适当变形后为a2+b2=(a-b)2+2ab.于是,问题便可迎刃而解.解∵(a-b)2=a2+b2-2ab,
∴a2+b2=(a-b)2+2ab=42+2×5=26.
六、综合运用
所谓综合运用公式,就是把几个乘法公式采用某种运算合起来,得出一个派生公式,利用这个派生公式往往可以巧妙地解决一类问题.例如,把完全平方和与完全平方差公式相加则有
(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),(1)
把完全平方和与完全平方差公式相减则有
(a+b)2-(a-b)2=4ab (2)
下面举一例说明应用.
例6 计算(a+b+c-d)2+(b+c+d-a)2.
简析本题若按一般方法,将不胜其烦,但是,若巧妙地将两个括号变形为[(b+c)+(a-d)]和[(b+c)-(a-d)],再注意公式(1)的运用,则可简解如下:解原式=[(b+c)+(a-d)]2+[(b+c)-(a-d)]2
=2[(b+c)2+(a-d)2]
=2a2+2b2+2c2+2d2+4bc-4ad.。