2020年河北省保定市铁路第一中学高三数学文模拟试卷含解析

2020年河北省保定市铁路第一中学高三数学文模拟试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
参考答案：
D
本题主要考查了三视图的识别与判断等，关键是空间想象能力与推理分析能力的考查，难度一般。

通过俯视图可以排除选项A和C，又通过正视图可以排除选项B，故选D；
2. 下列说法中，正确的是（）
A.任何一个集合必有两个子集；
B.若则中至少有一个为
C.任何集合必有一个真子集；
D.若为全集，且则
参考答案：
D
3. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
参考答案：
D
略
4. 已知曲线＝2 （x≥0，y≥0）和x＋y＝围成的封闭图形为，则图形绕y轴旋转一周后所形成几何体的表面积为
A．π B．（8＋4）π C．（8＋2）π D．（4＋2）π
参考答案：
D
封闭图形为，如图所示：
该几何体的表面积由两个部分组成：
第一部分为半圆的表面积为S1=2πR2，R=，∴S1=4π
第二部分为圆锥的侧面积S2，S2=πRl，R=，l=2
S2=2π，
故S=（4+2）π
故答案为D
5. 阅读如图的程序框图，若运行相应的程序,则输出的是
参考答案：
6. 在△ABC中，若,则( )
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
7. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）
A．4.5 B．6 C．7.5 D．9
参考答案：
B
【考点】EF：程序框图．
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=4时，不满足条件n
＜4，退出循环，输出S的值为，即可解得k的值．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
n=1，S=k
满足条件n＜4，执行循环体，n=2，S=k﹣=，
满足条件n＜4，执行循环体，n=3，S=﹣=，
满足条件n＜4，执行循环体，n=4，S=﹣=，
此时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，
由题意可得： =1.5，解得：k=6．
故选：B．
8. 某锥体三视图如右，根据图中所标数据，该锥体的各侧面中，面积最大的是（）
A. 3
B. 2
C. 6
D. 8
参考答案：
C
【知识点】由三视图求面积、体积．G2
解析：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为：
=，所以后面三角形的面积为：×4×=2．两个侧面面积为：
×2×3=3，前面三角形的面积为：×4×=6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选C．
【思路点拨】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD 的四个侧面中面积，得到最大值即可．
9. 若函数，则f(x)是（）
A、最小正周期为的偶函数；
B、最小正周期为的奇函数；
C、最小正周期为2的偶函数；
D、最小正周期为的奇函数；
参考答案：
10. 设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为（）.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
参考答案：
B
试题分析：，，
又，，
注意到，只有这两组．故选B．
【考点】三角函数
【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在极坐标系中，圆＝4cos的圆心到直线的距离是＿＿＿＿
参考答案：
1
12. 如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若
，则与的夹角等于__________________。

参考答案：
13. （5分）按如图的程序框图运行后，输出的S应为．
参考答案：
40
【考点】：程序框图．
【专题】：算法和程序框图．
【分析】：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞5，计算输出S 的值．
解：由程序框图知：第一次运行i=1，T=3×1﹣1=2，S=0+2=2，i=2，不满足条件i＞5，循环，
第二次运行i=2，T=3×2﹣1=5，S=5+2=7，i=3，不满足条件i＞5，循环，
第三次运行i=3，T=3×3﹣1=8，S=7+8=15，i=4，不满足条件i＞5，循环，
第四次运行i=4，T=3×4﹣1=11，S=15+11=26，i=5，不满足条件i＞5，循环，
第五次运行i=5，T=3×5﹣1=14，S=26+14=40，i=6，满足条件i＞5，程序终止，
输出S=40．
故答案是：40
【点评】：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．比较基础．
14.
如图所示，二面角的大小为，点A在平面内，的面积为，且，过A点的直线交平面于B，，且AB与平面所成的角为30°，则当________时，的面积取得最大值为_________。

参考答案：
答案:
15. 已知函数有3个零点分别为，则的取值范围是__________.
参考答案：
略
16. 设x、y满足约束条件则目标函数z=6x+3y的最大值是. 参考答案：
5
17. 数轴上有四个间隔为1的点依次记为A、B、C、D，在线段AD上随机取一点E，则E点到B、C两点的距离之和小于2的概率为．
参考答案：
【考点】几何概型．
【分析】求出满足条件的E点所在的位置，从而求出E点到B、C两点的距离之和小于2
的概率即可．
【解答】解：设AB的中点是M，CD的中点是N，
则E在MN上时满足条件，
故E点到B、C两点的距离之和小于2的概率p=，
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. △ABC的三内角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，a2﹣b2=bc，AD为角A的平分线，且△ACD与△ABD面积之比为1：2．
（1）求角A的大小；
（2）若AD=，求△ABC的面积．
参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由a2﹣b2=bc得，由正弦及余弦定理化简整理可得
A=2B，由AD为角A的平分线，且S△ACD：S△ABD=1：2，解得，由正弦定理可得cosB，即可求得B，A的值．
（2）由已知可求BD，CD，AC，根据三角形面积公式即可得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）由a2﹣b2=bc得，
由正弦及余弦定理得：，…
可得：2sinAcosB=sinB+sin（A+B），
整理得sin（A﹣B）=sinB，即A=2B，…
因为AD为角A的平分线，且S△ACD：S△ABD=1：2，
所以，
所以，…即…
（2）∵
所以，…
∴．…
19. 等比数列中，已知
（1）求数列的通项公式；
（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。

参考答案：
解：（I）设的公比为
由已知得，解得
（Ⅱ）由（I）得，，则，
设的公差为，则有解得
从而
所以数列的前项和
20. 某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当文明交通宣传志愿者，20名学生的名额分配为高一12人，高二6人，高三2人．
（Ⅰ）若从20名学生中选出3人做为组长，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
（Ⅱ）若将4名教师随机安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考答案：
21. 数列中，.
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）求通项；
参考答案：
（1）证明：由，得：，即：
，则数列{}是等差数列；
（2），所以。

22. 的内切圆与三边的切点分别为，已知
，内切圆圆心，设点的轨迹为。

（1）求的方程；
（2）过点的动直线交曲线于不同的两点，问在轴上是否存在一定点
（不与重合），使恒成立，若存在，试求出点的坐标，若不存在，说明理由。

参考答案：
解：（1）设点，由题知|AB|-|AC|=|BE|-|CE|=|CE|+2|OE|-|CE|=2 根据双曲线定义知，点A的轨迹是以B、C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去点E（1，0），故L的方程为4分
（2）设点由（I）可知
①当直线轴时
点在轴上任何一点处都能使得成立
②当直线MN不与轴垂直时，设直线
由得
9分
要使，只需成立
即即
即故,故所求的点Q的坐标为时
使成立。

略。