2020年厦门市名校数学高二下期末考试试题含解析

2020年厦门市名校数学高二下期末考试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若命题p ：0x ∃∈R ，2
0010x x -+≤，命题q ：0x ∀<，x x >.则下列命题中是真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()p q ∧⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．()()p q ⌝∧⌝
【答案】C 【解析】 【分析】
先判断命题p 和q 的真假，再判断选项得解. 【详解】
对于命题p,2
2
00013
1=()02
4
x x x -+-+
>,所以命题p 是假命题，所以p ⌝是真命题； 对于命题q, 0x ∀<，x x >,是真命题. 所以()p q ⌝∧是真命题. 故选：C 【点睛】
本题主要考查复合命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（ ）
① 2018能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③ 2018是偶数； A ．①②③ B ．②①③ C ．②③① D ．③②① 【答案】C
【解析】分析：根据三段论的一般模式进行排序即可．
详解：由题意知，“一切偶数都能被2整除”是大前提，“2018是偶数”是小前提，“2018能被2整除”是结论．故这三句话按三段论的模式排列顺序为②③①． 故选C ．
点睛：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断．
3．已知双曲线 C 与椭圆E
：22
1925
x y +=有共同的焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线 C 的标准方程为（ ）
A ．22
1124x y -=
B ．221412x y -=
C ．221412y x -=
D ．22
1124
y x -=
【答案】C 【解析】 【分析】
由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案． 【详解】
由椭圆22
1925
x y +=，得225a =，29b =，
则22216c a b =-=，
∴双曲线与椭圆的焦点坐标为()10,4F -，()20,4F ，
∴椭圆的离心率为
45，则双曲线的离心率为
144
255
-=． 设双曲线的实半轴长为m ，则4
2m =，得2m =，
则虚半轴长n ==
∴双曲线的方程是22
1412
y x -=．
故选C ． 【点睛】
本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题． 4．设复数z 满足1i z =-，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．1 B ．-1
C ．i -
D ．i
【答案】A 【解析】 【分析】
先求解出z 的共轭复数z ，然后直接判断出z 的虚部即可. 【详解】
因为1z i =-，所以1z i =+，所以z 的虚部为1. 故选：A. 【点睛】
本题考查共轭复数的概念以及复数的实虚部的认识，难度较易.复数z a bi =+的实部为a ，虚部为b . 5．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因
A B C D四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻
业务发展需要，需将,,,
的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则
A．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种
B．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种
C．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种
D．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种
【答案】D
【解析】
【分析】
先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．
【详解】
（1）A→D调5辆，D→C调1辆，B→C调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次，
（2）A→D调4辆，A→B调1辆，B→C调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次，
故选：D
【点睛】
本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．
6．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种
【答案】D
【解析】
种，应选D.
每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有5232
7．有m 位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外n 位同学，但是不能改变原来的m 位同学的顺序，则所有排列的种数为（ ） A ．m
m n C + B ．m
m n A +
C ．n
m n A +
D ．m n
m n A A +
【答案】C 【解析】 【分析】
将问题转化为将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案． 【详解】
问题等价于将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，因此，所有排列的种数为n
m n A +，故选C.
【点睛】
本题考查排列问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，考查转化与化归数学思想的应用，属于中等题． 8．下列有关命题的说法正确的是
A ．“21x =”是“1x =”的充分不必要条件
B ．“x=2时，x 2－3x+2=0”的否命题为真命题
C ．直线1l ：210ax y ++=，2l ：220x ay ++=，1
2l l 的充要条件是1
2
a =
D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】
A 选项不正确，由于21x =可得1x =±，故“21x =”是“1x =”的必要不充分条件；
B 选项不正确，“2x =时，2320x x -+=”的逆命题为“当2320x x -+=时，2x =”，是假命题，故其否命题也为假；
C 选项不正确，若两直线平行，则
211122a a =≠，解得12
a =±；D 选项正确，角相等时函数值一定相等，原命题为真命题，故其逆否命题为真，故选：D ．
9．已知随机变量()11X N ～，，其正态分布曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则
落入阴影部分的点数估计值为（ ） （附：()2,N ξ
μσ则()0.6826μσξμσ-<≤+= ）
A ．6038
B ．6587
C ．7028
D ．7539
【答案】B 【解析】
∵随机变量()1,1N ξ~， ∴()1
(01)34.13%2
P P ξμσξμσ<<=
-<<+=， ∴2
10.34130.6587S =-=阴影，
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为100000.65876587⨯=个．选B ． 10．如果f(n)1111(n n 1n 2n 32n
=+++⋯++++∈N +),那么f(n+1)-f(n)等于( ) A ．
1
2n 1
+ B ．1 2n 2+ C ．11 2n 12n 2+++ D ．11
2n 12n 2
-++
【答案】D 【解析】
分析：直接计算 f(n+1)-f(n). 详解：f(n+1)-f(n)()11111(1)1(1)22212(1)
f n n n n n n =
++⋯+++-++++++
1
1111111 (23)
22122122n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++++-+++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭
11111
.212212122
n n n n n =
+-=-+++++ 故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平.（2）不能等于11
2122
n n +++，因为前面还有项
1
1
n +没有减掉. 11．二项式()()1n
x n N *
+∈的展开式中2
x
项的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【解析】
二项式()1n
x +的展开式的通项是1C r r
r n x +T =，令2r
得2x 的系数是2
C n ，因为2x 的系数为15，所以
2C 15n =，即
，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．
【考点定位】二项式定理． 12．已知()1in 32s πθπθ⎛-<=
⎫
⎪⎝⎭
，则sin 2θ=
A
．
9
B
．
3
C
．
9
D
．
9
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知求出sin cos θθ，，再求sin 2θ. 【详解】 因为()1in 32s πθπθ⎛-<=
⎫
⎪⎝⎭，
故1
cos 3
3
sin θθ==
，，
从而1sin 22339
θ=⨯⨯=
. 故选C 【点睛】
本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题
13．函数22,1
()log ,1
x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩的值域为____________．
【答案】(,2)-∞ 【解析】 【分析】
对x 的范围分类，即可求得：当1x <时，函数()f x 值域为：()0,2，当1x ≥时，函数()f x 值域为：
(],0-∞，再求它们的并集即可。

【详解】
当1x <时，()2x
f x =，其值域为：()0,2
当1x ≥时，()2log f x x =-，其值域为：(],0-∞
所以函数()22,1
log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩
的值域为：(]()(),00,2,2-∞⋃=-∞
【点睛】
本题主要考查了分段函数的值域及分类思想，还考查了指数函数及对数函数的性质，考查计算能力及转化
能力，属于中档题。

14．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）的左顶
点，则a =__________． 【答案】4-. 【解析】
分析：直接化参数方程为普通方程，得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的左顶点，代入直线的方程，即可求得a 的值.
详解：由已知可得圆4cos :sin x C y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩（ϕ为参数）化为普通方程， 可得2
2116
x y +=，故左顶点为(4,0)-，
直线x t y t a
=⎧⎨=-⎩（t 为参数）化为普通方程，
可得y x a =-，又点(4,0)-在直线上， 故04a =--，解得4a =-，故答案是4-.
点睛：该题考查的是有关直线的参数方程与椭圆的参数方程的问题，在解题的过程中，需要将参数方程化为普通方程，所以就需要掌握参数方程向普通方程的转化-----消参，之后要明确椭圆的左顶点的坐标，以及点在直线上的条件，从而求得参数的值.
15．吃零食是中学生中普遍存在的现象．长期吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的列联表
根据下面2K 的计算结果，试回答，有_____的把握认为“吃零食与性别有关”． 参考数据与参考公式：
222
()85(140480)9826000
== 4.722()()()()176845402080800
n ad bc K a b c d a c b d --=≈++++⨯⨯⨯
【答案】95%． 【解析】 【分析】
根据题意得出观测值的大小，对照临界值得出结论． 【详解】
根据题意知K 2≈4.722＞3.841，
所以有95%的把握认为“吃零食与性别有关”． 故答案为95%． 【点睛】
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
16．已知函数()f x 对任意的x ∈R 都有20192019()()0,(1)f x f x f e '-+<=，那么不等式2019()x
f x e ->的
解集为_________。

【答案】(),1-∞ 【解析】 【分析】
首先构造函数2019()()x
g x f x e =,根据()g x 函数的单调性和特殊值解得答案.
【详解】
构造函数2019()()x
g x f x e
=,则()()20192019'()20190x
x g x f x e
f x e '=+<
()g x 在R 单调减, ()2019()111g f e -⇒==
()2019()1(1)x g x x g f e -⇒>=> 1x <
【点睛】
本题考查了利用函数单调性解不等式的知识,根据等式特点熟练构造出函数是本题的关键. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的数学期望. 【答案】1 【解析】 【分析】
ξ的可能值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
ξ的可能值为0,1,2，
则()3436105C p C ξ===；()214236315C C p C ξ⋅===；()12423
61
25
C C p C ξ⋅===. 故分布列为：
ξ
1
2 p
15
3
5
15
故()0121555
E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
18．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
【答案】 (1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【解析】 【分析】
（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为，，由于
，
，分别写出分布列，
再求期望值均为；
（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】
（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：，
∴
，，
，
∴X 的分布列为：
X 1 2 3
P
∴．
，
∴，，
，，
∴Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
∴．
（2），
，
∵，
∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．
【点睛】
本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.
19．3名男生、2名女生站成一排照相：
（1）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？
（2）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？
【答案】（1）36（2）48
【解析】
【分析】
（1）先选两个男生放在两端，剩余一个男生和两个女生全排列；
（2）两名女生看成一个整体，然后和三名男生全排列，注意两个女生之间也要全排. 【详解】
解：（1）由已知得
23
33
6636 A A
⨯=⨯=.
（2）由已知得
42
42
24248 A A
⨯=⨯=.
【点睛】
排列组合组合问题中，要注意一个原则：特殊元素优先排列，当优先元素的问题解决后，后面剩余的部分就比较容易排列组合.
20．已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
3
3
x tcos
y sin
α
α
=-+
⎧⎪
⎨
=+
⎪⎩
（t为参数，0≤α＜π且
π
α
2
≠），
以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ23
=．已知直线l与曲线C交于A、B 两点，且AB23
=．
（1）求α的大小；
（2）过A、B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，求|MN|．
【答案】（1）
π
α
6
=；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，再利用点到直线的距离公式求出结果．（2）直接利用关系式求出结果．
【详解】
（1）由已知直线l的参数方程为：（t为参数，0≤α＜π且），
则：，
∵，，
∴O到直线l的距离为3，
则，
解之得．
∵0＜α＜π且，
∴
（2）直接利用关系式， 解得：
．
【点睛】
本题主要考查了参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用． 21．已知函数()()263ln f x ax a x x =-++，其中a R ∈. (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；
(2)当0a >时，若函数()f x 在区间[]1,3e 上的最小值为6-，求a 的取值范围.
【答案】 (1)240x y ++=；(1) [3，+∞）.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，计算f （1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出a 的范围即可．
【详解】
（1）当a ＝1时，f （x ）＝x 1﹣7x+3lnx （x ＞2），
∴()3'27f x x x
=-+，∴f（1）＝﹣6，f'（1）＝﹣1． ∴切线方程为y+6＝﹣1（x ﹣1），即1x+y+4＝2． （1）函数f （x ）＝ax 1﹣（a+6）x+3lnx 的定义域为（2，+∞），
当a ＞2时，()()()()()22632133'26ax a x x ax f x ax a x x x
-++--=-++==， 令f'（x ）＝2得12x =或3x a =， ①当301a
≤＜，即a≥3时，f （x ）在[1，3e]上递增， ∴f（x ）在[1，3e]上的最小值为f （1）＝﹣6，符合题意； ②当313e a ＜＜，即13a e ＜＜时，f （x ）在31a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减，在33e a
⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递增， ∴f（x ）在[1，3e]上的最小值为()316f f a ⎛⎫=-
⎪⎝⎭＜，不合题意； ③当33e a ≥，即10a e
≤＜时，f （x ）在[1，3e]上递减， ∴f（x ）在[1，3e]上的最小值为f （3e ）＜f （1）＝﹣6，不合题意．
综上，a 的取值范围是[3，+∞）．
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题． 22．已知关于x 的不等式32x x a -+-<.
（1）当3a =时，解不等式；
（2）如果不等式的解集为空集，求实数a 的取值范围.
【答案】 (1)}{
14x x <<；(2)1a ≤.
【解析】
试题分析：（1）当3a =时，不等式32x x a -+-<变为233x x -+-<。

由绝对值的意义，按绝对值号内的3,2x x --的正负，分三种情况讨论：当2x <时，不等式变为233112x x x x -+-∴∴<<；当23x ≤≤时，不等式变为23313x x -+-<∴<，恒成立，所以23x ≤≤符合不等式；当3x >时，不等式变为233253434x x x x x -+-<∴-<∴<∴<<。

取三种情况的并集，可得原不等式的解集。

（2）解法一：构造函数23y x x =-+-与y a =，原不等式的解集为空集，
23y x x =-+-的最小值比大于或等于a ，作出23y x x =-+-与y a =的图象. 只须23y x x =-+-的图象在y a =的图象的上方，或y a =与1y =重合，1a ≤。

解法二：构造函数23y x x =-+-，讨论绝对值号内式子得正负去掉绝对值可得，23y x x =-+- ()()25312352(2)x x x x x ⎧-≥⎪=≤≤⎨⎪-<⎩，求每一段函数的值域，可得函数的最小值
min 23x x ⎡⎤-+-⎣⎦=1，a 小于等于函数的最小值1.解法三，由不等式||||||a b a b +≥-可得
23231x x x x -+-≥--+=，当且仅当()()230x x --≤时，上式取等号，∴1a ≤.
试题解析：解：（1）原不等式变为233x x -+-<.
当2x <时，原不等式化为523x -<，解得1x >，∴12x <<
当23x ≤≤时，原不等式化为13<，∴23x ≤≤.
当3x >时，原不等式化为253x -<，解得4x <，∴34x <<.
综上，原不等式解集为}{14x x <<.
（2）解法一：作出23y x x =-+-与y a =的图象. 若使23x x a -+-<解集为空集， 只须23y x x =-+-的图象在y a =的图象的上方，或y a =与1y =重合，
∴1a ≤，所以a 的范围为(]
,1-∞.
解法二：23y x x =-+- ()()25312352(2)x x x x x ⎧-≥⎪=≤≤⎨⎪-<⎩
，
当3x ≥时，1y ≥，
当23x ≤<时，1y =，
当2x <时，1y >，
综上1y ≥，原问题等价于min 23a x x ⎡⎤≤-+-⎣⎦，∴1a ≤. 解法三：∵23231x x x x -+-≥--+=，当且仅当()()230x x --≤时，上式取等号，∴1a ≤.。