7-卡尔曼滤波(5)

滤波稳定性定理 2（充分条件）：如果随机线性离散系统是一致完全
( 可观测的，Cˆ k1,k0)对于某k1时刻是非奇异的，系统参数矩阵Φ(k,k −1)、
G(k )、H (k )、Q(k )、R−1(k )有界，则 Kalman 滤波器是渐近稳定的。
9.3.3 随机线性定常系统的可稳定和可检测
滤波稳定性定理 3（充分条件）：如果随机线性定常离散系统是完全 可稳定和完全可检测的，则卡尔曼滤波器是渐近稳定的。
注：对于随机线性定常系统，一致完全可控和一致完全可观测就是 完全可控和完全可观测。
9.3 卡尔曼滤波器稳定性的判别
9.3.1 滤波稳定性定理
滤波稳定性定理 1（充分条件）：如果随机线性系统是一致完全随机 可控和一致完全随机可观测的，则卡尔曼滤波器是一致渐近稳定的。
对于一致完全可控和一致完全可观测的随机线性系统，当滤波时间 充分长后，它的 Kalman 最优滤波值将渐近地不依赖于滤波初始值的选 取。
k
∑
Φ(k
,
i
)G(i
)Q(i
)GT
(i
)ΦT
(k
,
i
)
>
0
i=k − N +1
N 为与k 无关的正整数。
随机离散系统的一致完全随机可控的充要条件是：如果存在正整数
N 和α1 > 0，β1 > 0，使得当k ≥ N 时，有
α1I ≤ C(k, k − N + 1) ≤ β1I
随机离散系统的完全随机可观测的充要条件是：
vkΒιβλιοθήκη 且，vk ~ (0, r )， x0 ~ (x0 , P0 )。
现在假设实际模型为
⎩⎨⎧zxk′k′
+1
=
= xk′ xk′ +
+ wk′ vk′
wk′ ~ (0, q)，vk′ ~ (0, r)， x0′ ~ (m0 , P0 )。
在滤波器中，关于 xk − xˆk 的误差协方差和增益分别为
定义：
验前误差： ~xk− = xk′ − xˆ k− ， 验后误差： ~xk = xk′ − xˆ k 模型不匹配矩阵：∆A = A − A，∆H = H − H
可得到实际误差的系统方程式
~xk−+1 = A(I − Kk H )~xk− + (∆A − AKk ∆H )xk′
+Buk′ − Buk + G wk′ − AKk vk′
[ ] [ ] 在存在模型误差时，甚至如果 E ~x0− = 0，也不能保证 E x~k−+1 = 0，
即模型不正确能够导致偏值估值（即估值是有偏的）。
（2）降阶滤波器中模型不匹配时的滤波误差
设实际系统的方程式为
xk′ +1 = Axk′ + Buk′ + G wk′ zk′ = Hxk′ + vk′
惯性导航系统采用卡尔曼滤波，常不满足随机可控或随机可稳定的 条件。而状态向量的初值都是随机向量，初始估计误差方差阵的对角线
元素一般都是不为零的正数，因此 P(0) > 0这一条件一般都能满足。这
样，针对惯导系统的实际情况，提出如下滤波稳定性判别条件。
滤波稳定性定理 4（充分条件）：如果系统是完全随机可检测的，且
分析设计时，采用滤波器模型
xk +1 = Axk + Buk + Gwk zk = Hxk + vk 往往是模型的阶数nm小于实际系统的阶数n p 。在实际工程中，如 果阶数 nm 取值相当，它仍能给出所要求的主要信息，否则将产生误差。
【例 4】设系统的滤波器模型为
⎧ ⎨ ⎩
xk zk
+1
=
= xk xk +
应于两个初始状态在k 时刻的状态。
定义 1：若对于任意给定正数ε > 0，都可以找到正数δ (ε ,t0 ) > 0，
使得对任意
x1(0) − x2(0) < δ (ε ,t0 )
恒有
x1(k ) − x2(k ) < ε ，∀k
成立，则称滤波器是稳定的。
定义 2：若滤波器稳定，且有
lim x1(k ) − x2(k ) = 0
当滤波模型不准确时，防止滤波发散的基本思想是： 设法适当限制增益阵变小，使得新息能够始终不断地维持其修正作 用，进而使状态估值保持对真值的估计能力。
1．指数加权衰减记忆滤波
衰减记忆滤波，设法加大新观测数据的作用，而相对地减小过去数 据对滤波的影响。
如果随着滤波时间的增长，估计值 xˆ k 和误差方差阵 Pk 都不受所选
初值的影响，则滤波器是稳定的。否则估计是有偏的，估计误差方差阵 也不是最小的。
对于随机线性离散动态系统
x(k +1) = A(k )x(k ) + G(k )w(k )
设 x1(0)、 x2 (0)为滤波器的两个任意初始状态， x1(k )、 x2(k )是对
[ ] [ ] Sk = E x~k x~kT = E (xk′ − xˆk )(xk′ − xˆk )T
实际的估计误差方差曲线
10.4 滤波发散的抑制方法
设系统状态方程和测量方程为
x(k ) = A(k −1)x(k −1) + G(k −1)w(k −1) z(k ) = H (k )x(k )+ v(k ) 式中，噪声w(k )、v(k )和初始状态 x(0)满足Kalman滤波器假设条件。
设随机线性定常离散系统的模型为
x(k ) = Ax(k −1) + Gw(k −1) z(k ) = Hx(k ) + v(k )
完全可稳定：是指对状态 x(k )作满秩线性变换，将系统的可控部
分与不可控部分分离，如果系统的不可控部分是稳定的，则该随机系统
是可稳定的。设Tc 是某一满秩变换矩阵
x(k ) = Tc xc (k )
但是这些结论的获得是以系统数学模型精确为前提的。
10.2 卡尔曼滤波中的发散现象
在实际应用中，由滤波得到的状态估计可能是有偏的，且估计误 差的方差也可能很大，远远超出了按计算公式计算的方差所定出的范 围；更有甚者，其滤波误差的均值与方差都有可能趋于无穷大，这种现 象在滤波理论中称为滤波器的发散。
引起滤波器发散的主要原因有两点： （1）描述系统动力学特性的数学模型和噪声的统计模型不准确，导 致滤波器发散。 （2）由计算的舍入误差积累引起的滤波器发散，称为计算发散。
如果子系统 1 是完全随机可控的，子系统 2 是渐近稳定的，即其特
征值 λi 满足：
( ) λi A2c2 < 1 i = 1,2,L, n − nc
则称原系统是完全随机可稳定的。
完全可检测：是指系统经过满秩线性变换后被分离成可观测部分和 不可观测部分，如果不可观测部分是稳定的，则称随机系统是完全可检 测的。
P(0) > 0，则卡尔曼滤波器是滤波稳定的。
10 卡尔曼滤波器的发散与抑制方法
10.1 滤波误差的界
我们希望滤波误差的方差阵随着滤波时间的增长，能够达到稳态 值。对于离散随机系统
x(k ) = Ax(k −1) + Gw(k −1) z(k ) = Hx(k ) + v(k )
卡尔曼滤波器是线性最小方差估计，并且当系统为一致完全可控与 一致完全可观测条件下，稳态滤波效果与滤波初值的选取无关，即滤波 器具有稳定性。
xc (k ) =
⎡ ⎢ ⎣
x1c x2c
(k (k
)⎤ )⎥⎦，
Ac
=
⎡ ⎢
A1c1
⎣0
A1c2 A2c2
⎤ ⎥，G ⎦
c
=
⎡⎢G1c
⎤ ⎥
⎣0⎦
得到如下两个子系统
子系统
1：
x 1c
(k )
=
A1c1 x1c
(k
−1) +
A1c2
x
c 2
(k
−1) +
G1c w(k
− 1)
子系统 2： x2c (k ) = A2c2 x2c (k −1)
k →∞
则称滤波器渐近稳定。
定义 3：若滤波器稳定，而且对任意初始状态总有
lim x1(k ) − x2(k ) = 0
k →∞
则称滤波器一致渐近稳定。 注：对于定常系统，渐近稳定与一致渐近稳定两者等价。
9.2 随机线性系统的可控性与可观测性
设随机线性离散系统为
x(k +1) = Φ(k +1,k )x(k ) + G(k )w(k ) z(k +1) = H (k +1)x(k +1) + v(k +1)
子系统 1：
x1m (k ) = A1m1 x1m (k −1) + G1mw(k −1)
z(k ) = H1m x1m (k ) + v(k )
子系统 2：
x
m 2
(k
)
=
A2m1 x1m
(k
− 1)
+
A2m2
x2m
(k
− 1)
+
G2m w (k
− 1)
显然子系统 1 是独立子系统。如果子系统 1 是完全随机可观测的，
扩充状态向量法与以上几种方法着眼于适当增大滤波增益不同此法的处理原则是把未知的模型误差看作由白噪声激励的某个线性系统的输出再把此模型误差作为一个新分量增添到原系统状态向量中形成维数扩展的状态向量
9 卡尔曼滤波器的稳定性
9.1 稳定性定义
滤波的稳定性问题是研究滤波初值的选取对估计值和估计的误差 方差阵的影响。
设
x(k ) = Tm x m (k )
Tm是某一满秩变换矩阵， x m (k )被分离为可观测部分和不可观测部分
xm
(k )
=
⎡ ⎢ ⎣
x1m
x
m 2
(k (k
)⎤ )⎥⎦ ，
Am
=
⎡ ⎢ ⎣
A1m1 A2m1
0 A2m2
⎤ ⎥ ⎦
，
[ ] Gm
=
⎣⎡⎢GG11mm
⎤ ⎥ ⎦
,
H
m
=
H1m
H
m 2
Pk
=
1
+
P0
k (P0
r)
，
Kk
=
1
+
P0 r
k (P0
r)
测量修正方程式
xˆk +1
=
xˆk
+ 1+
(k
P0 r
+ 1)(P0
r)(zk′ +1 − xˆk )
设 P0 = 1、r = 10， x0 = 3，q = 0.01。滤波比较结果如下。
状态估计结果
增益值曲线
误差方差曲线
定义实际的误差方差
10.3 卡尔曼滤波模型误差和发散
状态方程和测量方程可以认为是实际物理系统的一种数学描述，是 我们用以设计滤波器的依据。由于技术上的原因，数学模型总是不准确 的，由此引起误差。
（1）模型不匹配
在设计滤波器时，设系统模型取为
xk +1 = Axk + Buk + Gwk zk = Hxk + vk uk 为控制项，wk 、vk 是白噪声且互不相关，同 x0也不相关，即有
wk ~ (0, Q)，vk ~ (0, R)， x0 ~ (E[x0 ], P0 )
对象的真实动态方程和测量方程为
xk′ +1 = Axk′ + Buk′ + G wk′ zk′ = Hxk′ + vk′ 设wk′ 、vk′ 是白噪声且互不相关，与 x0′ 也不相关，即有
wk′ ~ (0, Q )，vk′ ~ (0, R )， x0′ ~ (E[x0′ ], P0 )
（1）如果模型是正确的，它简化为
~xk−+1 = A(I − Kk H )~xk− + Gwk − AKk vk
（2）如果∆A ≠ 0或∆H ≠ 0，误差系统被实际系统状态 xk′ 驱动， 除非 xk′ 是有界的，否则误差特性将增长。
（3）确定性输入不准确时，即控制项不准确，误差系统被
Buk′ − Buk 驱动，能够引起无边界误差。
M (k, k − N +1) =
k
∑
ΦT
(i,
k
)H
T
(i
)R
−1
(i
)H
(i
)Φ(i,
k
)
>
0
i=k − N +1
M (k, k − N + 1)为离散型随机可观测矩阵。
随机离散系统的一致完全随机可观测的充要条件是：如果存在正整
数 N 和α2 > 0，β2 > 0，使得当k ≥ N 时，有
α2I ≤ M (k, k − N +1) ≤ β2I
子系统 2 虽不可观测，但是渐近稳定的，即其特征值λi 满足：
( ) λi A2m2 < 1 i = 1,2,L, n − nm
则称原系统是完全随机可检测的。
9.3.4 适合于惯导系统的滤波稳定性判别条件
前面介绍的滤波稳定性判别条件都是充分条件，越是采用宽的条件 判别，越能接近真实地了解滤波器的稳定情况。
（4）即使 A(I − K k H )对大的k 值是稳定的（由卡尔曼滤波器稳
态性质所保证），模型的不准确性也能导致实际估值误差不收敛和无边 界。
求上式的数学期望
[ ] [ ] E x~k−+1 = A(I − Kk H )E x~k−
+(∆A − AKk ∆H )E[xk′ ]+ Buk′ − Buk
9.3.2 随机系统的可观测和推广形式的可控
放松对系统完全可控的要求，引入推广形式的可控阵：
Cˆ (k,k0 ) = Φ(k,k0 )P0ΦT (k,k0 )
+
k
∑
Φ(k
,
i
)G(i
)Q(i
)GT
(i
)ΦT
(k
,
i
)
i=k0 +1
只要 P0 > 0，而Φ(k, k0 )是满秩的，则Cˆ (k, k0 )必然满秩。
[ ] 式中，E[w(k )] = 0 ， E w(k )wT ( j) = Q(k )δkj [ ] E[v(k )] = 0 ， E v(k )vT ( j) = R(k )δkj [ ] E w(k )vT ( j) = 0
随机离散系统的完全随机可控的充要条件是：随机可控性矩阵满足
C(k,k − N +1) =