天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考数学(理)答案

∴数列 an 的通项公式为 an 2n ，数列 bn 的通项公式为 bn 2n 1………………６ 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 cn
bn an
2n 1 2n ，
13 ∴ Tn 2 22
2n 1 2n
① …………………………………７ 分
1 13 ∴ 2 Tn = 22 23
2n 3 2n 1
2n
2n 1 ，② …………………………………８ 分
∴ Tn 3
2n ……………………………………………………
分13
1
2
1
3
3
10
5
10
………………… 12分
所求 的期望 E X
1
3
3
0
12
10 5 10
………………………………
6
. …………………………… 1分3
5
17．解：（Ⅰ）连接 B1C ，交 BC1 于点 O ，则点 O 为 B1C 的中点，
因为 D 为 AC 的中点， 所以 OD ∥ AB1 . ……………………………………………２ 分
10 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数
分别为 3 人、 2 人，
所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数
X 的可能取值为 0,1,2 ………………７ 分
所以 P( X
0)
C22 C52
1 ， P( X
10
1)
C13C21 C52
3 ， P( X
5
2)
C32 C52
3
… 10 分
10
所以 的分布列为
0
建立空间直角坐标系（如右图所示）， ………………５ 分
则 C1(0,0,2), B(0,,1 0), D( 1 ,0,0) ， 2
所以 C1D
1
2 C1B
2.
2
设平面
的法向量为 n ( x, y, z) ，
n C1D 则有
n C1 B
1 即 2z 2
2z
令
，则得 n (4,2,1) .
………………７ 分
天津市部分区 2018～2019 学年度第一学期期末考试
高三数学 ( 理 ) 试题参考答案与评分标准
一、选择题： ( 本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分 )
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
C
B
A
D
D
二、填空题： ( 本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分)
1 3i
9．
22
10．240 11． 9
又平面 BDC 的法向量为 CC1=(0,0,2) ，且二面角 C1 BD C 为锐角，
故二面角 C1 BD C 的余弦值为 |cos CC 1, n | |CC1 n| | CC1 | | n |
2 4 21
21 …９分 21
（Ⅲ）设 AA1=a, AP AB1, 因为 A(1，0，0), B1 (01，, a) ，所以 AP (
2bc
1
， ………………４ 分
2
又因为 A 0, ，所以 A （Ⅱ）由（Ⅰ）知， B C
. …………………………５ 分
3 A ， 所以 C 2 B ， ……………６ 分 3
所以 sin B
sinC
sin B
2 sin(
B)Βιβλιοθήκη 3313
3
sinB
cosB sin B sin B
cos B ………８ 分
2
2
2
2
因为 0 故3
2
3sin( B ) ……………………………………………
分10
6
B 2 ，所以
B
5
3
6
66
……………………………… 1分1
3 sin( B ) 3 ……………………………………………
分12
6
所以 sin B sinC 的取值范围为
3 ， 3 …………………………… 13 分 2
16．解：（Ⅰ）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为
CP CA AP (1 , , a) . …………………………………………
1
又 C1D
a,
2
1 , CP 平面 BDC1 ，
2
, , a) ， 1分0
CP C1D
所以
CP BD
21
a
1
2
1 1
2
0 解得 a 1,
0
所以 AA1 1，且点 在线段 的三等分点处，即
1
.………………… 12分
3 1
. ………… 13分 3
又 AB1 平面 B D C1 ， OD 平面 B D C1 ，
所以 AB1 ∥平面 B D C1 . ……………………………………………………………４
分
（Ⅱ）因为 AA1 平面 ABC ， AA1 ∥ CC1 ，
所以 CC1 平面 ABC ，又 BC AC
故以 C 为原点，分别以 CA, CB, CC1 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向
① -②得
1 1 11 2 Tn 2 2( 22 23
1 2n 1 2n ) 2n 1 …………………………… 9 分
11
1 2
2
(1 4
2n 1 )
11
2n 1 2n 1 …………………………………………
2
10 分
3 2n 3 2 2n 1 ……………………………………………………………
12 分
2n 3
12．
三、解答题： （本大题共 6 个小题，共 80 分）
13 ．
14 ．
15．解：（Ⅰ）因为 sin 2 A sin2 B sin 2 C sin B sin C ,
a
由正弦定理
b
c ，得 a 2 b2 c 2 bc ， ………………２ 分
sin A sinB sin C
2
2
2
由余弦定理 cos A b c a
从参加问卷调查的
名学生中随机抽取两名的取法共有
C120
3，4，2，1 （人），1 分
45 （种）， ……２ 分
抽取的两名学生来自同一小组的取法共有
C
2 3
C
2 4
C
2 2
10（种），……………４ 分
所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为
10 2
P
. …………………５ 分
45 9
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在参加问卷调查的
18．解：（Ⅰ）设等比数列 an 的公比为 q q 0 ，等差数列 bn 的公差为 d ，
依题意有 a2 b2 2q 1 d
7
2q d 6
，即
， …………………２ 分
a3 b3 2q2 1 2d 13
q2 d 6
解得 q 2 或 q
d2
d
0 （舍） …………………………………４ 分 6
∴ a n 2 n , bn 1 2 n 1 2n 1，