四川省广元市阆中中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析

四川省广元市阆中中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如果执行右面的程序框图，则输出的结果是
A．2 B．3
C．D．
参考答案：
C
2. 如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN 上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】点到直线的距离公式；平面向量坐标表示的应用．【分析】法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；
解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，由M、N分别为OA与OB的中点，可得x+y=，下同法一
【解答】解法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，
∴=x+y
得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；
解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，
又因为M、N分别为OA与OB的中点，
所以=
∴x+y=
原题转化为：当x时，求x2+y2的最小值问题，
∵y=
∴x2+y2==
结合二次函数的性质可知，当x=时，取得最小值为
故选B
3.
若复数
A．B．0 C．1 D．－1
参考答案：
答案:C
4. 是定义在上的奇函数，且时，则不等式的解集
是（）.
A． B．
C． D．
参考答案：
B
5. 若x、y满足约束条件，则的最小值为（）
A. 0
B. －1
C. －2
D. －3
参考答案：
C
【分析】
画出可行解域，画出直线，平移直线，找到使直线
在轴截距最大的点，把坐标代入即可求出的最小值。

【详解】画出可行解域如下图：平移直线，当经过交点时，直线
在轴截距最大，即有最小值，最小值为，故本题选C。

【点睛】本题考查了线性规划问题，解决此类问题的关键是画出正确的可行解域.
6. 函数的图象大致是
参考答案：
A
略
7. 已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是
（A）0 （B）2 （C） 5 （D）6
参考答案：
C
由画出可行域及直线如图所示，平移发现，
当其经过直线与的交点（-3，4）时，最大为，选C.
8. 函数的大致图象为
参考答案：
D
9. 设全集，集合，，则（）A．[－1,0) B．(0,5] C．[－1,0] D．[0,5]
参考答案：
C
10. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（A）1 （B）（C）（D）
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某学校的组织结构图如图所示：
则政教处的直接领导是_______．
参考答案：
副校长乙
12. 已知点是内一点（不包括边界），且,R，则
的取值范围是▲．参考答案：
考点：向量表示，线性规划
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 13. 已知函数f(x)=|x+1|，若f(a)=2a ，则a= ．
参考答案：
1
14. 已知圆和圆是球的大圆和小圆，其公共弦长等于球
的半径，
则球
的表面积等于 .
参考答案：
16
π
15. 己知x ，y 满足约束条件的最小值是 .
参考答案：
16. 设x ∈（0，
），则函数y=
的最大值为 ．
参考答案：
略
17. 极坐标与参数方程）
在极坐标系（ρ,θ）（ρ>0, 0 ≤θ <2π）中，曲线ρ=2sin θ 与ρcos θ=-1的交点的极坐标为
______。

参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数
，其中
（Ⅰ）若f(x)在x=3处取得极值，求常数a 的值； （Ⅱ）若f(x)在上为增函数，求a 的取值范围
参考答案：
解析：（1）
（2分）
因
在x=3处取得极值，所以
解得a=3 (4分)
经检验知当a=3时，x=3为f(x)的极值点。

（6分） （2）由
=0得。

当a<1时，若
，则
，所以f(x)在
和（1，+）上为增函数，故当
时，f(x)在（
为增函数； （8分） 当
时，若
，则
，所以f(x)在
和（a ，+
）上为增
函数，故f(x)在（
上也为增函数 （10分）
综上所述：当
时，f(x)在
上为增函数
19. 已知多面体ABCDEF 如图所示，其中ABCD 为矩形，△DAE 为等腰等腰三角形，DA ⊥AE ，四边形AEFB 为梯形，且AE ∥BF ，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2． （1）若G 为线段DF 的中点，求证：EG ∥平面ABCD ；
（2）线段DF 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值等于？若存在，请
指出点N 的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）以B为原点，BA，BF，BC分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角
坐标系，求出平面ABCD的一个法向量，通过，推出，即可证明EG∥平面ABCD．
（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直线BN与平面FCD所成角的余弦值为，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为，求出平面FCD的法向量，设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于，设
，通过向量的数量积，转化求解λ，推出当N点与D点重合时，直线BN与平
面FCD所成角的余弦值为．
【解答】解：（1）证明：因为DA⊥AE，DA⊥AB，AB∩AE=A，故DA⊥平面ABFE，
故CB⊥平面ABFE，以B为原点，BA，BF，BC分别为x轴，y轴，z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，2，0），D（2，0，1），，E（2，1，0），C（0，0，1），所以，易知平面ABCD的一个法向量，所以
，所以，又EG?平面ABCD，所以EG∥平面ABCD．（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：
直线BN与平面FCD所成角的余弦值为，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为，因为
，设平面FCD的法向量为，由，得，取y1=1得平面FCD的一个法向量
假设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于，
设，则，
，
所以，
所以9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）
因此，线段DF上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值为．
20. （本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，为的中点.
(Ⅰ)求证：;
(Ⅱ)在线段是是否存在点，使得//平面，若存在，说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.
参考答案：
证明：（Ⅰ）连接BD，交AC于点O，连接MO
ABCD为矩形，O为BD中点
又M为SD中点，
MO//SB ………………………………3分
MO平面ACM，SB平面AC………………4分
SB//平面ACM …………………………5分
(Ⅱ) SA平面ABCD，SA CD
ABCD为矩形，CD AD，且SA AD=A
CD平面SAD，CD AM…………………8分
SA=AD，M为SD的中点
AM SD，且CD SD=D AM平面SCD
AM SC ……………………………………………………………………10分又SC AN，且AN AM=A SC平面AMN
SC平面SAC，平面SAC平面AMN. …………………
略21. 如图，已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左右焦点，椭圆的短轴长为2，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，三角形F1BF2面积的最大值为（a＞1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程（用a表示）；
（Ⅱ）求三角形F1AB面积的最大值．
参考答案：
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）确定c=，即可求椭圆C的方程（用a表示）；
（Ⅱ）设直线方程，代入椭圆方程，求出三角形F1AB面积，分类讨论，即可求出最大值．
解答：解：（Ⅰ）由题意，椭圆的上顶点为（0，1），下顶点为（0，﹣1），
当B与上（或下）顶点重合时，三角形F1BF2面积最大S==，
∴c=，
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）三角形F1AB面积S==c?AB?sinα（α为F2B与x轴正向所成的角）
设F2（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），AB：y=k（x﹣c），
代入椭圆方程可得（1+a2k2）x2﹣2a2k2cx+a2k2c2﹣a2=0，
∴x1+x2=，x1x2=
∴AB=|x1﹣x2|=，
∴S=c?AB?sinα=，
a时，S≤=a；
1＜a＜时，S≤=．
点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查求最值，属于中档题．
22. 已知向量,函数的最大值为6. (Ⅰ)求;
(Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域.
参考答案：。