关于医科高等数学知识点

1.极限存在条件
2. 法则1(夹逼法则) 若在同一极限过程中,三个函数)(1x f 、)(2x f 及)(x f 有如下关系:
)()()(21x f x f x f ≤≤且A x f x f ==)(lim )(lim 21 则A x f =)(lim
3.
法则2(单调有界法则) 单调有界数列一定有极限
4.无穷小定理0])(lim[)(lim =-⇔=A x f A x f 以~-A 为无穷小，则以A 为极限。

性质1 有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小 性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.
性质 3 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
5.高阶同低阶无穷小，假设.0,,≠αβα且个无穷小是同一变化过程中的两
;),0(lim
)3(是同阶的无穷小与就说如果αβα
β
≠=C C C=1时，为等价无穷小。

6. 则有若,)(lim ,)(lim B x g A x f ==
推论 则为常数而存在若,,)(lim c x f )(lim )(lim x f c x cf =
例题11lim 22--→x x x 11
lim 22--→x x x 1lim 1lim lim 22
22--=→→→x x x x x 3
1= 7. 为非负整数时有和所以当n m b a ,0,000≠≠ 8.例题)2(lim 2
x x x x -+∞
→求 )2(lim 2
x x x x -+∞
→x
x x x x x x x ++++-+=∞
→2)
2)(2(lim
2
22
x
x x x ++=∞
→22lim
21212
lim
2++=∞
→x
x =1 9.两个重要的极限
例题nx mx x sin sin lim
0→求 nx mx x sin sin lim 0→nx
nx mx mx n m x sin sin lim 0⋅
⋅=→ 例题x x x 3)21(lim -∞→求 x
x x
3)21(lim -∞→)3)(2
(2]
)21[(lim x x x
x x --∞→-=662])21[(lim ---∞→=-=e x x
x 例题2 x x x x )11(lim -+∞→求 x x x x )11(lim -+∞→x x x )121(lim -+=∞→⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-+-+
=-∞→)121(])121[(lim 2
21
x x x x 解法2 x x x x x )11()11(lim -+=∞→211])1
1[(lim )1
1(lim e e
e x
x x x x
x ==-+=---∞→∞→
10.函数在一点连续的充分必要条件是 11. .
)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数x x f x x f ⇔
12.
满足下列三个条件之一的点0
x 为函数)(x f 的间断点.
跳跃间断点 可去间断点
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点为 左右极限都存在 第二类间断点 左右极限至少有一个是不存在的
第二类间断点中包括 无穷间断点（有一段的极限为正或负无穷） 震荡间断点（x
x 1sin lim 0
→）
13.例题.)
1ln(lim 0x
x x +→求 x
x x 1
0)1ln(lim +=→原式e ln ==1
14.（最值定理）若函数)(x f y = 闭区间],[b a 上连续，则)(x f y =在闭区间],[b a 上必有最大值和最小值．
（有界性定理） 若函数)(x f y =闭区间],[b a 上连续，则其在闭区间上必有界 （介值定理） 若函数)(x f y =闭区间],[b a 上连续，则对介于)(a f 和)(b f 之间的任
何数C ，至少存在一个),(b a ∈ξ，使得c f =)(ξ 根的存在定理 两侧异号 至少有一根。

15.函数在一点可导的充分必要条件为：)()(0'0'x f x f -+= 16.可导的函数一定是连续的 连续不一定可导
.11
)(cot 2
x x +-
=' 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则)
隐函数求导法则 两边对X 求导 例题 已知函数y 是由椭圆方程122
22=+b
y a x 所确定的
求y '
方程两边分别关于x 求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有
0222
2='+y b y
a x 解得y a x
b y 22-=' 例题2 e xy e y += y x y y e y '+=' x
e y
y y -='
对数求导法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. 例
题
3
)
4)(3()2)(1(+-+-=x x x x y
)]4ln()3ln()2ln()1[ln(3
1
ln +---++-=x x x x y
)41312111(311+---++-='x x x x y y )4
1312111()4)(3()2)(1(313----++-+-+-='x x x x x x x x y 高阶导数x y sin = )2
sin()(π⋅+=n x y n )2
cos()(cos )(π⋅+=n x x n
18.
).
(,)()(000x f A x x f x x f '=且可导处在点数可微的充要条件是函在点函数
即).(.0x f A '=⇔可微可导
19.
20. 函数和、差、积、商的微分法则
例题.,cos 31dy x e y x 求设-= )(cos )(cos 3131x d e e d x dy x x ⋅+⋅=-- 微分形式不变性 微分形式始终为dx x f dy )('= 21.
Lagrange 中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 上可
导,则在),(b a 内至少存在一点 ,使下面等式成立 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ 推论 则有如果对于任意,0)(),,('=∈x f b a x c x f =)()(为常数c 例题 证明2
arccos arcsin π
=
+x x x x x f arccos arcsin )(+=设
22. 洛必达法则型未定式解法型及:0
0∞
∞
如果函数)(x f 与)(x g 满足下列三个条件 0／0 ∞／∞，导数都存在且0)(≠'x g ，
)
()
(lim
x g x f ''存在或者无穷大 则当0x x →或∞→x 则有 )
()
(lim )()(lim
x g x f x g x f ''= ⎪⎩⎪⎨⎧∞
⋅⋅∞⋅−−→−⎪⎭⎪⎬⎫∞∞
ln 01ln 0ln 01000取对数.0∞⋅⇒ 例题x x x 1)(lim +∞→求 x x x x x e x ln 1
1lim lim +∞
→+∞→=
洛必达法则不是万能的.lim x x x
x x e e e e --+∞→+-求 洛必达不能求解
111lim lim 22=+-=+---+∞→--+∞→x x x x x x x x e
e e e e e (两边同乘以x e -) 23.可导函数的的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点.（驻点为可导但是导数值为0的点） 函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 判断是否为极值点要计算驻点两侧倒数的符号是否不同
求驻点处的二阶导数 若二阶导数为正值 则为极小值 负值 则为极大值 为零则不能判断
24.二阶导数为正值则为凹的 负值则为凸的 分界点为拐点 在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在
函数作图 求定义域 函数的奇偶性和周期性 求一阶和二阶导数 讨论极值点和拐
点 渐近线25. ⎰=dx x kf )(⎰dx x f k )( ⎰=±dx x g x f )]()([⎰⎰±dx x g dx x f )()(
);1(1
)1(1
-≠++=+⎰αααα
C x dx x ⎰+=C x x dx
ln )
2( 3
=⎰dx a x
C a a x
+ln
4 =⎰dx e x C e x + ⎰=xdx cos )5(C x +sin ⎰=xdx sin )6(C x +-cos
26.第一类换元法(凑微分法) 可导具有原函数设)(),()(x u u F u f ϕ=则有
⎰='dx x x f )()]([ϕϕC x F du u f x u +=⎰=)]([]
)([)
(ϕϕ
⎰⎰=)(ln )(ln )(ln .3x d x f dx x x f ⎰⎰-=)1()1()
1(.42
x d x f dx x
x f 、 27.第二类换元积分法dt t t f dx x f )(])([)(ψψ'=⎰⎰（根式代换） 例题 求.)1(13dx x x ⎰
+ 令6t x =dt t dx 5
6=⇒ dx x x ⎰+)
1(13
⎰+=dt t t t )1(623
5 三角代换的形式 22)
1(x a - ;sin t a x = 22)2(x a + ;tan t a x =
22)
3(a x - .sec t a x = 倒数代换u
x 1
=
也为常用的形式
28.使用时应注意的问题 要容易求得；）（v 1⎰⎰.2容易积出要比）（udv vdu 例题.arctan ⎰xdx x 令,arctan x u =dv x d xdx ==2
2
例题2 .ln ⎰
dx x x x u = udu dx 2= ⎰⎰=udu dx x
x
ln 2ln ⎰-=)ln (2du u u 29.有理函数的积分 待定系数法 分母中若有因式k a x )(-，则分解后为
a
x A a x A a x A k k k -++-+--Λ1
2
1)()( k A A A ,,,21Λ待定的
常数
分母中有k q px x )(2++分解后为
q
px x N x M q px x N x M q px x N x M k k k k ++++++++++++-2
122
2211)()(Λ 其中042<-q p i i N M ,待定的常数 例题.13
62
22
dx x x x ⎰
+++ 分母实数范围内不能因式分解 则用凑分法 30.定积分i i n
i b
a x f dx x f ∆=∑⎰=→)(lim )(1
0ξλ
相关性质⎰⎰=b a b
a dx x f k dx x kf )()( k 为常数
⎰±b a
dx x g x f )]()([⎰
=b
a
dx x f )(⎰±b a
dx x g )( ⎰b a
dx x f )(⎰⎰+=b
c
c a
dx
x f dx x f )()(.
],[b a 上)()(x g x f ≤ dx x f b
a
⎰)(dx x g b
a
⎰≤)(
设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则 定积分中值定理dx x f b
a ⎰)())((a
b f -=ξ)(b a ≤≤ξ
积分上限函数⎰=x a dt t f x G )()(],[b a x ∈ 有)(])([)(x f dt t f x G x
a ='='⎰)(
b x a ≤≤
例题dt t t y x ⎰+-=1
33
21
求导数 先化为积分上限函数dt t
t y x ⎰+--=31321 视为dt t t y u
⎰+--=1
3213
x u =的复合函数)()21(313'⋅+--=⋅=⎰x dt t t du d dx du du dy dx dy u 例题2 ][3
2
2
'⎰-dt e x x t ][][][3
2
2
2
3
2
2
'+'='⎰⎰⎰---dt e dt e dt e x a t a
x t x x t ][][3
2
2
2
'+'-=⎰⎰--dt e dt e x a t x a t
微积分基本定理)()()()(a F b F a
b
x F dx x f b
a
-==⎰
dt t t f dx x f b a ⎰'=β
αϕϕ)()]([)(
例题⎰+1
032)1(dx x x 设t x =+12 0=x ;1=⇒t 1=x 2=⇒t 所以有⎰⎰
++=+102
32103
2
)1()1(21)1(x d x dx x x 8
151281214213===⎰t dt t
不换新变量 就不要改变积分上下限
例题2 .11
022⎰-dx x x 设tdt dx t x cos ,sin ==
⎰-=b
a
b
a vdu a
b
uv udv
例题.10⎰dx xe x ⎰⎰⎰-==1
1
10
1
dx e xe xde dx xe x x x x 1)1(0
1
=--=-=e e e e x
31.用定积分求面积 和 旋转体的体积
旋转体的体积dx y dx x f V b
a b
a 22
)]([⎰⎰==ππ（绕x 轴形成的） ⎰=d
c V πdy y 2)]([ϕdx x
d c 2⎰=π(绕y 轴形成的)
例题4
2
x y = 0=x 1=y 绕y 轴形成的体积
用公式dy x b a ⎰2π dy x V ⎰=102πdy y ⎰=1
04πππ20
1
22==y
32.无穷区间的广义积分⎰+∞
a dx x f )(⎰
+∞→=b
a
b dx x f )(lim
极限存在 则为广义积分存在或收敛 极限不存在 则为广义积分不存在或发散 相应的有形式⎰∞-b
dx x f )(⎰
-∞→=b
a
a dx x f )(lim
⎰
∞
-b
dx x f )(⎰
-∞→=b
a
a dx x f )(lim
牛顿公式a
x F a F b F dx x f b a
∞+=-=+∞
→∞
+⎰)
()()(lim )(
例题.1)3(2
⎰
+∞∞
-+x dx ⎰+∞∞-+21x dx ⎰∞-+=021x dx π=++⎰+∞021x dx （原函数为正切函数） 无界函数的广义积分⎰b
a dx x f )(⎰
+→+=b
a dx x f ε
ε)(lim
)0,0(21>>εε 若∞=→)(lim x f c
x 只有当上式右端两个极限都存在时 则称⎰b a
dx x f )(收敛
否则为发散。

例题 求.11
02
⎰-x
dx +∞=--
→2
1
11lim x
x Θ1=∴x 是无穷间断点
计算.1
1
2⎰
-x
dx ？ 33.平面的一般方程0=+++D Cz By Ax 圆柱面222R y x =+
椭圆抛物面2
2
y x z += 双曲抛物面)0,0( 22
22>>-=b a b
y a x z
圆锥面222y x z +=（二元函数的图像通常为一张曲面） 34.二元函数的相关定义及性质同一元函数相近 35.偏导数同全微分x
y x f y x x f y x f x x ∆-∆+='→∆)
,(),(lim
),(00000
00
二阶偏导数),(22y x f x z x z x xx ''=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),(22y x f y z
y z y yy
''=∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),,(2y x f y x z x z y xy ''=∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),(2y x f x
y z
y z x yx ''=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂（混合偏导数） 混合偏导数并不都是都相等的.
如果),(y x f z =得两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2x
y z
∂∂∂2在区域D 内连续，那么有该区
域内这两个二阶混合偏导数必相等。

全微分y B x A dz ∆+∆=
如果函数),(y x f z =在点),(y
x P 处可微分，则该函数在该点处的偏导数必存在。

且函数在该点处的全微分为y y
z
x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=
一元函数在某点的导数存=微分存在 多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在
偏导数在某点连续 则在该点处可微(可微的充分条件)
若函数在某点可微分 则在该点偏导数必定存在(可微的必要条件) 例题x
y
z arctan =的全微分
22y x y x z +-=∂∂ 22y x x y z +=∂∂ 2
2y x xdy ydx dz ++-= 36. ),(y x u ϕ=),(y x v ψ=),(y x 点偏导数存在，),(v u f z =在对应点),(v u 可微，则复合
函数在),(y x 存在对x y 的偏导数。

x
v
v z x u u z x z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=∂∂ y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 例题v u z ln 2= y x u =
y x v 23-=求x z ∂∂ y
z
∂∂
),,(y x u f z =),(y x u ϕ=即],),,([y x y x u f z =则有
,x
f
x u u f x z ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ .y f y u u f y z ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 例题y x u xy u z +=+=2,32求x z ∂∂ y
z ∂∂
设),(v u f z =可微且有)(,)(x v v x u u == 有)](),([x v x u f z =为x 的一元函数 有
dx dv v z dx du u z dx dz ∂∂+∂∂= 例题v u e z 2-= x u sin = 3x v = 求dx
dz
有
dx
dv v z dx du u z dx dz ∂∂+∂∂=22232cos x e x e v u v u ⋅-⋅=--)6(cos 22sin 3x x e x x -=-
一元隐函数求导 设0),(=y x F 确定的一元隐函数为)(x f y =则有0)](,[ ≡x f x F 则有
0=⋅∂∂+∂∂dx dy y F x F 若0≠∂∂y
F
则有z x F F dx dy ''-= 例题0=+-x xe y y 所确定的函数)(x y y =的导数.dx
dy
则有0),(=+-=x xe y y x F y
,1+-=∂∂y e x
F
01≠-=∂∂y xe y F 所以有y
y y y xe
e xe e dx dy --=-+--=11
11
0),,(=z y x F 所确定的函数为),(y x f z =（二元隐函数）0)],(,,[ ≡y x z y x F
两侧分别求导
0,0=∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂y z z F y F x z z F x F 若0≠∂∂y
F
则有
例题0=-xyz e z 所确定的函数的偏导数 xyz e z y x F z -=),,(
0,,≠-='-='-='xy e F xz F yz F z z y x 所以有
xy e yz F F x z z z x -=''-=∂∂ xy
e xz
F F y z z z y -=''-=∂∂ 38.设函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极值且在改点处两个一阶偏导数都存在 则必有
,0),(00='y x f x 0),(00='y x f y （极值点也可能不是驻点.）
设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某临域内连续且有一阶及二阶连续偏导数。

又有
0),(00='y x f x 0),(00='y x f y 令A y x f xx
=''),(00B y x f xy =''),(00C y x f yy =''),(00 当02<-AC B 时 该点为极值点（A<0则为极大值点 A>0则为极小值点） 02>-AC B 时 不为极值点 02=-AC B 时 不能确定 39.条件极值
求()y x f z ,=在约束条件()0,=y x g 下的极值
构造辅助函数(lagrange 函数) ()()()y x g y x f y x F ,,,,λλ+=（λ为常数）
求()()()()()0
,0,,0
,,=='='+'='='+'='⎩⎨⎧
y x g F y x g y x f F y x g y x f F y y y x x x λ
λλ 解方程组 若),,(000λy x 为一解 则),(00y x 是可能的条件极值点（用题中所给条件判定） 40.二重积分 二重积分的相关性质
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=2
1
),(),(),(D D D
d y x f d y x f d y x f σσσ（区域可加性）
σσσ==⋅⎰⎰⎰⎰D
D
d d 1(σ为D 的面积)
若D 上有),,(),(y x g y x f ≤则有.),(),(⎰⎰⎰⎰≤D
D
d y x g d y x f σσ
⎰⎰≤≤D
M d y x f m σσσ),(（Mm 分别为最大值和最小值，σ为D 的面积)
σηξσ⋅=⎰⎰),(),(f d y x f D
（至少存在一点满足此式）
dy y f(x dx b
a
(x)
(x)
),21⎰⎰ϕϕ
dx y f(x dy d
c
(y)
(y)
),21⎰⎰
ψψ(x-型先y 后x ，y-型先x 后y)
例题⎰⎰+D
dxdy y x )(22 2x y = 2y x =为区域 求面积
)1,1(,)0,0(2
2
⇒⎩⎨⎧==y
x x y （求两曲线的交点） X-型⎩⎨⎧≤≤≤≤x y x x 210 ⎰⎰+D
dxdy y x )(2
2dx dy y x x x ])([10222⎰⎰+=dx y y x x x 21032)3(⎰+=
积分区域是圆域或圆域的一部分时 通常用极坐标积分 例题dxdy e
D
y x ⎰⎰--2
2 区域D ,222a y x ≤+.0,0≥≥y x
有2
0π
θ≤
≤，a ≤≤ρ0所以有dxdy e
D
y x ⎰⎰--2
2⎰⎰-=a
d e d 0
20
2
ρρθρπ
⎰-⋅=
a
d e 0
2
2
ρρπ
ρ
41.微分方程 例题 一曲线经过)2,1(，该曲线上任意一点的切线的斜率为x 2，求该曲线方程。

设曲线为)(x f y =
x dx
dy
2=（根据导数的几何意义）即xdx dy 2= 两边积分⎰⎰=xdx dy 2 得C x y +=2（C 为任意常数）根据点有12+=x y 一阶微分方程),(y x F y ='或
).,(y x F dx
dy
=高阶微分方程),,,()1()(-⋅⋅⋅'=n n y y y x F y 微分方程的实质 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.
42.可分离变量的微分方程)()(y g x f dx
dy
=（等式右端的函数可分解成x 的函数与y 的函数相乘的形式.）
)()(x Q y x P dx
dy
=+ ,0)(≡x Q 当为其次的。

不衡为零时，为非其次的。

（线性指为微分方程仅有y 得一阶导数，且y 和y ’都是一次幂
0)(=+y x P dx
dy
的通解为⎰=-dx x P Ce y )( )()(x Q y x P dx
dy
=+的通解为⎰+⎰
=-⎰dx x P dx x P e C dx e x Q y )()(])([
例题 求微分方程x e x y y sin cos -=+'的通解
)(x f y ='' 连续两次积分 例题x e y x cos 2-='' 积分一次12sin 2
1
C x e y x +-='
积分两次212cos 4
1
C x C x e y x +++=
()y x f y '='', (),x p y ='设p dx
dp
y '==''则则原方程为()p x f p ,=' 一阶微分方程求解
例题01='-''y x y 求通解 (),x p y ='设p dx dp y '==''则 原方程化为x
p
p ='
分离变量
x
dx
p dp = 两边积分x C p C x p 12ln ln ln =+=或)2(1C C = x C y p y 12 ='='代入得将 所以原方程的通解为221C x C y +=
()1,C y p y ϕ=='设其通解为 分离变量并积分，便得原方程的通解为()
⎰
+=21,C x C y dy
ϕ
例题.2的通解求方程y y y '='' ),(y p y ='设dy
dp p y =''则 代入原方程y p dy dp P 2= 0≠p 若上式化为
y dy p dp = 得1ln ln ln C y p += y C 1p =即y C dx
dy y 1=='∴ 分离变量并积分21ln ln C x C y +=即x C e C y 1
2= C y p ==:,0则立即可得若 所以解为x C e C y 1
2=
43.二阶常系数线性微分方程)(x f Cy y B y A =+'+'' 二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''Cy y B y A
定理 若函数)(1x y )(2x y 是方程0=+'+''Cy y B y A 的两个解 则有)()(2211x y C x y C y +=也为一解（1C 2C 为任意常数）
若)(1x y )(2x y 是方程0=+'+''Cy y B y A 的两个线性无关的特解)()(2211x y C x y C y +=为通解（1C 2C 为任意常数）线性无关指
≠)
()
(12x y x y 常数
,x e y λ=设代入原方程0)(2=++x e C B A λλλ,0≠x e λΘ
所以有02
=++C B A λλ（特征方程）特征根A
AC B B 2422
,1-±-=λ
讨论042>-AC B 有两个相异的特征根（前者为﹣后者为﹢） 所以通解为x x e C e C y 2
1
21λλ+=
042=-AC B 方程有两个相等的实根 特征根为,221A
B -
==λλ 通解为x e x C C y 1
)(21λ+=
042<-AC B 方程有一对共轭复根 特征根为,1βαλi +=βαλi -=2
通解为).sin cos (21x C x C e y x ββα+=
例题 求054=-'-''y y y 满足初始条件1)0(=y 2)0(='y 的特解
特征方程为0542=--λλ 两个实数根5,121=-=λλ 通解为x x e C e C y 521+=- 求导x x e C e C y 5215+-='- 根据条件有2
1,2
121==C C 所以特解为x x e e y 52
12
1+=-。