七年级数学下册二元一次方程组试卷及答案培优试卷

一、选择题
1．若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3
4x y =⎧⎨=⎩，则方程组111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是( )
A ．21
28x y =⎧⎨=⎩
B ．9
8x y =⎧⎨=⎩
C ．7
14x y =⎧⎨=⎩
D ．9787x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
2．如图，长方形的宽为a ，长为b ，2a b a <<，第一次分割出一个最大的正方形1M ，第二次在剩下的长方形中再分割出一个最大的正方形2M ，依次下去恰好能把这个长方形分成四个正方形1M ，2M ，3M ，4M ，并且无剩余，则a 与b 应满足的关系是（ ）
A ．53
b a = B ．53b a =或43
b a = C ．43b a =
或5
4
b a = D ．53
b a =或54
b a =
3．已知方程组2106x y bx ay +=⎧⎨+=⎩和10312ax y b
x y -=⎧⎨-=⎩有相同的解，则-a b 的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
4．两位同学在解方程组时，甲同学由2
4ax by cx y +=⎧⎨-=-⎩正确地解出32x y =⎧⎨=-⎩，乙同学因把c 写错
了解得2
2x y =-⎧⎨=⎩，则a b c ++的值为（ ）
A ．3
B ．0
C ．1
D ．7
5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x 匹，小马有y 匹，那么可列方程组为（ ）
A ．100
33100x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．100
3100x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩
D ．1001
31003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
6．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《磁不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x 人，物价为y 钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A ．8374x y x y +=⎧⎨-=⎩
B ．8374x y
x y -=⎧⎨+=⎩
C ．8374x y
x y +=⎧⎨+=⎩
D ．8374x y
x y
-=⎧⎨-=⎩
7．已知方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3
4x y =⎧⎨=⎩，则方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是（ ）
A ．1
2
x y =⎧⎨=⎩
B ．34
x y =⎧⎨=⎩
C ．10103x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
D ．5
10
x y =⎧⎨=⎩
8．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。

在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的。

《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数,x y 的系数与相应的常数项。

把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是
3219
423x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x 的值为3，则被墨水所覆盖的图形为
A ．
B ．
C ．
D ．
9．笔记本4元/本，钢笔5元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去162元，那么最多购买钢笔（ ）支． A ．28
B ．29
C ．30
D ．31
10．甲、乙两人同求方程ax -by =7的整数解，甲正确地求出一个解为11x y =⎧⎨=-⎩，乙把ax -by =7看成ax -by =1，求得一个解为12
x y =⎧⎨=⎩，则a ，b 的值分别为( )
A ．25a b =⎧⎨=⎩
B ．5
2a b =⎧⎨=⎩
C ．35a b =⎧⎨=⎩
D ．5
3a b =⎧⎨=⎩
二、填空题
11．有一片开心农场，蔬菜每天都在匀速生长，如果每天有20名游客摘菜，6天就能摘完；如果每天有17名游客摘菜，9天就能摘完（规定每名游客每天摘菜量相同），那么每天有14名游客摘菜，___天就能摘完．
12．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是_____．
13．若方程组 23 4.73519.4a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是 4.31.3a b =⎧⎨=⎩
，则方程组 2(1)3(1) 4.7
3(1)5(1)19.4x y x y --+=⎧⎨-++=⎩的解为
__________________
14．关于x ，y 的二元一次方程()()2127m x m y m -++=-，无论m 取何值，所得到的方程都有一个相同解，则这个相同解是______．
15．已知x ＝4，y ＝1和x ＝2，y ＝﹣1都是方程mx +ny ＝6的解，则m +n 的值为 ___．
16．若关于x ，y 的方程组4510
(1)8x y kx k y +=⎧⎨--=⎩
中x 的值比y 的相反数大2，则k ＝_____．
17．如图，将6个大小、形状完全相同的小长方形放置在大长方形中，所标尺寸如图所示（单位：cm ），则图中含有阴影部分的总面积为 _____cm 2．
18．有一块矩形的牧场如图1，它的周长为560米．将它分隔为六块完全相同的小矩形牧场，如图2，每一块小矩形牧场的周长是__________米．
19．已知x ，y 满足方程组22331x y k
x y k +=⎧⎨+=-⎩．给出下列结论：①若方程组的解也是
23x y +=的解，则2k =；②若方程组的解满足2x
y
=-，则0k =；③无论k 为何值，282x y ⋅=；④若()()0x y x y +-=，则1
2
k =
．正确的是________．（填序号） 20．若m 1，m 2，…，m 2021是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，且
m 1+m 2+…+m 2021=1530，(m 1-1)2+(m 2-1)2+…+(m 2021-1)2=1525，则在m 1，m 2，…，m 2021中，取值为2的个数为_________．
三、解答题
21．如图，平面直角坐标系中，已知点A （a ，0），B （0，b ），其中a ，b 满足
323390a b a b --+--=．将点B 向右平移24个单位长度得到点C ．点D ，E 分别为线
段BC ，OA 上一动点，点D 从点C 以2个单位长度/秒的速度向点B 运动，同时点E 从点O 以3个单位长度/秒的速度向点A 运动，在D ，E 运动的过程中，DE 交四边形BOAC 的对角线OC 于点F ．设运动的时间为t 秒（0＜t ＜10），四边形BOED 的面积记为S 四边形BOED （以下面积的表示方式相同）． （1）求点A 和点C 的坐标；
（2）若S 四边形BOED ≥3
2S 四边形ACDE ，求t 的取值范围；
（3）求证：在D ，E 运动的过程中，S △OEF ＞S △DCF 总成立．
22．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,0A -，点()0,3B ，点()3,0C ．
（1）ABC 的面积为______；
（2）已知点()1,2D -，()2,3E --，那么四边形ACDE 的面积为______．
（3）奥地利数学家皮克发现了一类快速求解格点多边形的方法，被称为皮克定理：如果用m 表示格点多边形内的格点数，n 表示格点多边形边上的格点数，那么格点多边形的面积S 和m 与n 之间满足一种数量关系．例如刚刚求解的几个多边形面积中，我们可以得到如表中信息：
形内格点数
m 边界格点数n
格点多边形面积
S
ABC
6 11 四边形ACDE 8 11 五边形ABCDE
20
8
②中六边形
FGHIJK 的面积为______（本大题无需写出解题过程，写出正确答案即可）．
23．对于不为0的一位数m 和一个两位数n ，将数m 放置于两位数之前，或者将数m 放置于两位数的十位数字与个位数字之间就可以得到两个新的三位数，将较大三位数减去较小三位数的差与15的商记为(),F m n ．例如：当1m =，68n =时，可以得到168，618．较大三位数减去较小三位数的差为618168450-=，而4501530÷=，所以()1,6830F =． （1）计算：()2,17F ．
（2）若a 是一位数，b 是两位数，b 的十位数字为x （18x ≤≤，x 为自然数），个位数字
为8，当()()11
,509,862F a F b +=时，求出所有可能的a ，b 的值．
24．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组321
327x y x y -=-⎧⎨+=⎩，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解
为 ；
（2）如何解方程组()()()()35231
35237m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩
呢？我们可以把m +5，n +3看成一个整体，设
m +5＝x ，n +3＝y ，很快可以求出原方程组的解为 ； （3）由此请你解决下列问题：
若关于m ，n 的方程组7
22am bn m bn +=⎧⎨-=-⎩与351m n am bn +=⎧⎨-=-⎩有相同的解，求a 、b 的值．
25．如图，已知()0,A a ，(),0B b ，且满足|4|60a b -++=.
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）点(),C m n 在线段AB 上，m 、n 满足5n m -=，点D 在y 轴负半轴上，连CD 交x 轴的负半轴于点M ，且MBC MOD S S ∆∆=，求点D 的坐标；
（3）平移直线AB ，交x 轴正半轴于E ，交y 轴于F ，P 为直线EF 上第三象限内的点，过P 作PG x ⊥轴于G ，若20PAB A ∆=，且12GE =，求点P 的坐标.
26．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x 的多项式用记号f(x)来表示．例如f(x)＝x 2＋3x －5，把x ＝某数时多项式的值用f(某数)来表示．例如x ＝－1时多项式x 2＋3x －5的值记为f(－1)＝(－1)2＋3×(－1)－5＝－7.
(1)已知g(x)＝－2x 2－3x ＋1，分别求出g(－1)和g(－2)；
(2)已知h(x)＝ax 3＋2x 2－ax －6，当h(1
2
)＝a ，求a 的值；
(3)已知f(x)＝2+3kx a －6
x bk -－2(a ，b 为常数)，当k 无论为何值，总有f(1)＝0，求a ，b 的值．
27．如图，学校印刷厂与A ，D 两地有公路、铁路相连，从A 地购进一批每吨8000元的白纸，制成每吨10000元的作业本运到D 地批发，已知公路运价1.5元/（t •km ），铁路运价1.2元/（t •km ）．这两次运输支出公路运费4200元，铁路运费26280元． （1）白纸和作业本各多少吨？
（2）这批作业本的销售款比白纸的购进款与运输费的和多多少元？
28．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，回答下列问题： （1）可得到下列哪一个方程组？
A ．68,
1010990.x y x y y x +=⎧⎨+-+=⎩ B ．()()68,1010990.x y x y y x +=⎧⎨+-+=⎩
C ．()()68,100100990.x y x y y x +=⎧⎨+-+=⎩
D ．()()1068,
100100990.x y x y y x +=⎧⎨+-+=⎩
（2）解所确定的方程组，求这两个两位数．
29．题目：满足方程组3512332x y k x y k
+=+⎧⎨+=-⎩的x 与y 的值的和是2，求k 的值．
按照常规方法，顺着题目思路解关于x ，y 的二元一次方程组，分别求出xy 的值（含有字母k ），再由x ＋y ＝2，构造关于k 的方程求解，从而得出k 值．
（1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究利用整体思想，对于方程组中每个方程变形得到“x ＋y ”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形得到“x ＋y ”整体值，从而求出k 值请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程． （2）小勇同学的解答是：观察方程①，令3x ＝k ，5y ＝1
解得y ＝15
，3x ＋y ＝2，∴x ＝9
5
∴k ＝3×95＝27
5
把x ＝9
5，y ＝15
代入方程②得k ＝﹣35
所以k 的值为
27
5或﹣35
． 请诊断分析并评价“小勇同学的解答”．
30．规定:二元一次方程ax by c +=有无数组解，每组解记为(),P x y ,称(),P x y 为亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题： (1) 已知()()()1,2,4,3,3,1A B C ---，则是隐线326x y +=的亮点的是 ; (2) 设()10,2,1,3P Q ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭是隐线26t x hy +=的两个亮点，求方程
()
22
144265t x t h y ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭
中,x y 的最小的正整数解; (3)已知,m n 是实数，
27n =,
若)
P n 是隐线23x y s -=的一个亮点，求隐线s
中的最大值和最小值的和.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
先将111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩化简为111222
3
277
327
7a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，然后用“整体代换”法，求出方程组的解即
可； 【详解】
解：111
222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，
111222
3277327
7a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，
设727
y s ⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
1112
22a t b s c a t b s c +=⎧∴⎨+=⎩， 方程组111222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，
∴方程组111222
a t
b s
c a t b s c +=⎧⎨
+=⎩的解为3
4t s =⎧⎨=⎩，
3
37247
x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩， 解得：714
x y =⎧⎨=⎩．
故选C ． 【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．
2．B
解析：B 【分析】
根据长方形的宽为a ，长为b 进行分割，第一次分割出边长a 的正方形，第二次分割出边长（b -a ）的正方形，并进行分类讨论，画出几何图形，利用边长的关系即可得出a 、b 的关系． 【详解】 解：①如图：
∵AB =AE =a ，AD =BC =b ， ED =EI =IG =GF =b -a ， ∴a =3（b -a ）， ∴4a =3b ，
3
②如图：
∵AB =AF =BE =a ，AD =BC =b ， ∴EI =IC =2a -b ， ∴b =a +2a -b +2a -b ， ∴5
3
b a = 综上所述：43
b a =或53b a =
故选：B ． 【点睛】
本题考查了矩形和正方形边长的关系，准确的画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
3．A
解析：A 【分析】
根据两个方程组解相同，解方程组210
312x y x y +=⎧⎨-=⎩，把求得的x 、y 的值分别两个方程组中的
另一个方程即可得到关于a 、b 的方程组，解方程组即可求得a 、b 的值，从而可求得结果的值． 【详解】
∵方程组2106x y bx ay +=⎧⎨+=⎩和10312ax y b
x y -=⎧⎨-=⎩有相同的解
∴方程组210312x y x y +=⎧⎨-=⎩①②与106ax y b
bx ay -=⎧⎨+=⎩有相同的解
由①×3+②得：7x =42 解得：x =6
把x =6代入①得：12+y =10 解得：y =－2
∴6
2x y =⎧⎨=-⎩是方程组210312x y x y +=⎧⎨-=⎩
①②与106ax y b bx ay -=⎧⎨+=⎩的解
把
6
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
代入
10
6
ax y b
bx ay
-=
⎧
⎨
+=
⎩
中，得：
6210
626
a b
b a
+=
⎧
⎨
-=
⎩
化简得：
351
33
a b
a b
-=-
⎧
⎨
-+=
⎩
③
④
③+④×3得：4b=8
解得：b=2
把b=2代入④得：－a+6=3解得：a=3
故方程组解为
3
2 a
b
=⎧
⎨
=⎩
∴a－b=3－2=1
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解是本题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求．
【详解】
解：把
3
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
代入方程组
2
4
ax by
cx y
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
得：
322
324
a b
c
-
⎧
⎨
+-
⎩
＝
＝
，
把
2
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
代入ax+by=2得：-2a+2b=2，即-a+b=1，
联立得：
322
1
a b
a b
-
⎧
⎨
-+
⎩
＝
＝
，
解得：
4
5
a
b
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
由3c+2=-4，得到c=-2，
则a+b+c=4+5-2=7．
故选：D．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．D
解析：D
【分析】
设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数＋小马数＝100；②大马
拉瓦数＋小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】
解：设大马有x 匹，小马有y 匹，由题意得：
100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
， 故选：D ．
【点睛】
本题考查列二元一次方程组解决实际问题，是中考的常考题型，正确找到等量关系是关键 6．B
解析：B
【分析】
根据译文可知“人数×8-3=钱数和人数×7+4=钱数”即可列出方程组．
【详解】
解：由题意可得，8374x y x y -=⎧⎨+=⎩
， 故选：B ．
【点睛】
本题考查列二元一次方程组．解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 7．D
解析：D
【分析】 将方程组变形，设
32,55
x y m n ==，结合题意得出m=3，n=4，即可求出x ，y 的值． 【详解】
解：方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩可以变形为：方程组11122232··5532··55x y a b c x y a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 设32,55
x y m n ==， 则方程组可变为111222···
·a m b n c a m b n c +=⎧⎨+=⎩， ∵方程组111222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩， ∴方程组1112
22····a m b n c a m b n c +=⎧⎨+=⎩的解是34m n =⎧⎨=⎩， ∴323,455
x y ==，解得：x=5，y=10， 故选：D ．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据3219423
x y x y +=⎧⎨+=⎩，结合图1可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“||||”中的横线表示5；因此，设被墨水所覆盖的图形表示的数字为k ，列出方程组求解即可.
【详解】
由题意可知，（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“||||”中的横线表示5，
设被墨水所覆盖的图形表示的数字为k ，则有：
211427x y x ky +=⎧⎨+=⎩
将3x =代入可解得：53
y k =⎧⎨=⎩ 根据图形所表示的数字规律，可推出3k =代表的图形为“|||”.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据图1和其方程组判断出图形所表示的数字是解题关键，此型题较为新颖，是近年来的常考点.
9．C
解析：C
【分析】
设该同学购买钢笔x 支，笔记本y 本，根据总价=单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数，即可得出各购买方案，取x 的最大值即可得出结论．
【详解】
解：设该同学购买钢笔x 支，笔记本y 本，
依题意得：5x +4y =162．
∵x ，y 均为正整数，
∴303x y =⎧⎨=⎩或268x y =⎧⎨=⎩或2213x y =⎧⎨=⎩或1818x y =⎧⎨=⎩或1423x y =⎧⎨=⎩或1028x y =⎧⎨=⎩或633x y =⎧⎨=⎩或238x y =⎧⎨=⎩
； ∴最多购买钢笔30支．
故选：C
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
10．B
解析：B
【解析】
把甲的解代入ax -by =7可得a +b =7，把乙的解代入可得a -2b =1，由它们构成方程组可得721a b a b +=⎧⎨-=⎩，解方程组得52a b =⎧⎨=⎩
，故选B ． 二、填空题
11．18
【分析】
首先设原有蔬菜量为a ，每天生长的蔬菜量为b ，每名游客每天摘菜量为c ，有14名游客摘菜x 天就能摘完．根据“原蔬菜量＋每天生长的蔬菜量×采摘天数＝每名游客每天摘菜量×人数×天数”列出方程
解析：18
【分析】
首先设原有蔬菜量为a ，每天生长的蔬菜量为b ，每名游客每天摘菜量为c ，有14名游客摘菜x 天就能摘完．根据“原蔬菜量＋每天生长的蔬菜量×采摘天数＝每名游客每天摘菜量×
人数×天数”列出方程组6206917914a b c a b c a bx cx +=⨯⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩
①②③，可解得x 的值即为所求． 【详解】
解：首先设原有蔬菜量为a ，每天生长的蔬菜量为b ，每名游客每天摘菜量为c ，有14名游客摘菜x 天就能摘完，
依题意得 6206917914a b c a b c a bx cx +=⨯⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩
①②③， 由②﹣①得：11b c ＝
④ 由③﹣②得：()()914153x
b x
c ﹣＝﹣⑤ 将④代入⑤得：()()91114153x
c x c ⨯﹣＝﹣， 解得：18x ＝
故答案是：18.
【点睛】
本题考查方程组的应用，有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知数辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求.”
12．95
【详解】
设十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意所述的等量关系可得出方程组，求解即可得，即这个两位数为95．
故答案为95.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知
解析：95
【详解】
设十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意所述的等量关系可得出方程组
14101036x y x y y x +=⎧⎨+--=⎩，求解即可得95x y =⎧⎨=⎩
，即这个两位数为95． 故答案为95.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，注意掌握二位数的表示方法．
13．x=5.3，y=0.3
【分析】
通过观察两个方程组之间的关系，可得到，即可求解．
【详解】
方程组 的解是 ，
中，，
解得，
方程组的解为，
故答案为：x=5.3，y=0.3．
【点睛】
本题考
解析：x =5.3，y =0.3
【分析】
通过观察两个方程组之间的关系，可得到1 4.31 1.3x a y b -==⎧⎨+==⎩
，即可求解． 【详解】
方程组 23 4.73519.4a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是 4.31.3a b =⎧⎨=⎩
， ∴2(1)3(1) 4.73(1)5(1)19.4x y x y --+=⎧⎨-++=⎩中，1 4.31 1.3
x a y b -==⎧⎨+==⎩， 解得 5.30.3x y =⎧⎨=⎩
，
∴方程组的解为
5.3
0.3 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
故答案为：x=5.3，y=0.3．【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，要比较两个方程组的结构相似处，得出
1 4.3
1 1.3
x a
y b
-==
⎧
⎨
+==
⎩
是解
题的关键．
14．【分析】
将方程（m﹣2）x+（m+1）y＝2m﹣7整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m 的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组
解析：
3
1 x
y
=
⎧
⎨
=-⎩
【分析】
将方程（m﹣2）x+（m+1）y＝2m﹣7整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【详解】
解：（m﹣2）x+（m+1）y＝2m﹣7，
整理，得m（x+y﹣2）+（y﹣2x+7）＝0，
由方程的解与m无关，得
x+y﹣2＝0，且y﹣2x+7＝0，
解得
3
1
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
即这个相同解是
3
1
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
．
故答案为：
3
1
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
．
【点睛】
本题考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，转化思想是解答本题的关键，当然，本题也可以采用特殊值法来求解，即取两个不同的m值，解两次二元一次方程组，但此法比较麻烦，
15．0
【分析】
把x、y的值代入mx+ny＝6，得出关于m、n的方程组，再求出方程组的解，最后求出m+n即可得到答案．
【详解】
∵x＝4，y＝1和x＝2，y＝﹣1都是方程mx+ny＝6的解，
∴
解析：0
【分析】
把x 、y 的值代入mx +ny ＝6，得出关于m 、n 的方程组，再求出方程组的解，最后求出m +n 即可得到答案．
【详解】
∵x ＝4，y ＝1和x ＝2，y ＝﹣1都是方程mx +ny ＝6的解，
∴4626m n m n +=⎧⎨-=⎩
①② ①+②，得6m ＝12
解得：m ＝2，
把m ＝2代入①，得8+n ＝6，
解得：n ＝﹣2，
∴m +n ＝2+（﹣2）＝0，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了二元一次方程及二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的性质，从而完成求解．
16．-3
【分析】
由题意得：x ＝﹣y+2，代入方程组中的第一个方程可求得y 的值，再求出x 的值，最后代入到方程组中的第二个方程可求出k 的值．
【详解】
解：∵方程组中x 的值比y 的相反数大2，
∴x ＝﹣y
解析：-3
【分析】
由题意得：x ＝﹣y +2，代入方程组中的第一个方程可求得y 的值，再求出x 的值，最后代入到方程组中的第二个方程可求出k 的值．
【详解】
解：∵方程组4510(1)8x y kx k y +=⎧⎨--=⎩
中x 的值比y 的相反数大2， ∴x ＝﹣y +2，
∴4（﹣y +2）+5y ＝10，
解得：y ＝2，
把y ＝2代入4x +5y ＝10中，得：4x +10＝10，
解得：x ＝0，
则方程组的解是
x=0
y=2⎧
⎨
⎩
，
∴﹣（k﹣1）×2＝8，
解得：k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解，解答的关键是理解题意，求出方程组的解．17．44
【分析】
设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的对边相等，列出二元一次方程组，解之得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可得出答案．
【详解】
解析：44
【分析】
设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的对边相等，列出二元一次方程组，解之得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可得出答案．
【详解】
解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：
314
26
x y
x y y
+=
⎧
⎨
+-=
⎩
，
解得：
8
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴图中阴影部分的总面积＝14×（6+2y）﹣6xy
＝14×（6+2×2）﹣6×8×2＝44（cm2）．
故答案为：44．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．240
【分析】
根据题意列出二元一次方程组求解即可；
【详解】
设每一块小矩形牧场的长为x米，宽为y米，
依题意可得：，
解得：，
∴（米）；
故答案是：240．
【点睛】
本题主要考查了二元一次
解析：240
【分析】
根据题意列出二元一次方程组求解即可；
【详解】
设每一块小矩形牧场的长为x 米，宽为y 米，
依题意可得：()2222560x x y x x y =+⎧⎨++=⎩
， 解得：8040
x y =⎧⎨=⎩， ∴()()228040240x y +=⨯+=（米）；
故答案是：240．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．
19．②③
【分析】
利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解，进而分别分析得出答案．
【详解】
解：，
①×3-②得，
∵方程组的解也是x+2y=3的解，
∴，解得：，
∴k=3，故①错误；
∵方程
解析：②③
【分析】
利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解，进而分别分析得出答案．
【详解】
解：22331x y k x y k +=⎧⎨+=-⎩①②
， ①×3-②得31x y +=，
∵方程组的解也是x +2y =3的解，
∴3123
x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：72x y =⎧⎨=-⎩，
∴k =3，故①错误；
∵方程组的解满足
2x y
=-， ∴2x y =-，
∴20x y k +==，故②正确；
∵由①可得：31x y +=，
∴()33328222222y x y x x y x y +⋅=⋅=⋅==，故③正确； ∵()()0x y x y +-=，
∴x +y =0或x -y =0，
∴y =-x 或x =y ，
则()()22331x x k x x k ⎧+⨯-=⎪⎨+⨯-=-⎪⎩或22331
x x k x x k +=⎧⎨+=-⎩， 解得：1212x k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1434
x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故④错误； 故答案为：②③．
【点睛】
本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的定义．
20．517
【分析】
设0有a 个，1有b 个，2有c 个，由（1-1）2=0，（0-1）2=1，（2-1）2=1，可得，由m1+m2+…+m2021=1530，可得，再由数字总个数为2021，即可列出方程求
解析：517
【分析】
设0有a 个，1有b 个，2有c 个，由（1-1）2=0，（0-1）2=1，（2-1）2=1，可得1525a c +=，由m 1+m 2+…+m 2021=1530，可得21530b c +=，再由数字总个数为2021，即可列出方程求解．
【详解】
解：设0有a 个，1有b 个，2有c 个，
∵（m 1-1）2+（m 2-1）2+…+（m 2021-1）2=1525，
∵m 1，m 2，…，m 2021是从0，1，2这三个数中取值的一列数，（1-1）2=0，（0-1）2=1，（2-1）2=1，
∴1525a c +=
∵m 1+m 2+…+m 2021=1530，
∴21530b c +=，
∴
2021
21530
1525
a b c
b c
a c
++=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
，
解得
1008
496
517
a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
故取值为2的个数为517个，
故答案为：517．
【点睛】
此题考查了三元一次方程的应用，有理数的乘方和有理数的加法运算，解题的关键在于能够找到等量关系列出方程求解．
三、解答题
21．（1）A（30，0），C（24，7）；（2）42
5
≤t＜10；（3）见解析
【分析】
（1）利用非负数的性质求出a＝30，b＝7，得出A，B的坐标，由平移的性质可得出答案；
（2）由题意得出CD＝2t，则BD＝24﹣2t，OE＝3t，根据梯形的面积公式得出S四边形BOED＝
1 2×（24﹣2t+3t）×7，S四边形ACDE＝1
2
×7×（2t+30﹣3t），则可得出关于t的不等式，解不等
式可得出答案；
（3）由题意可得出S△OEF﹣S△DCF＝3.5t，根据t＞0则可得出结论．【详解】
（1）解：
∵|2339|0
a b
--=
∴＝0，|2a﹣3b﹣39|＝0．
∴a﹣b﹣23＝0，2a﹣3b﹣39＝0，
解得，a＝30，b＝7．
∴A（30，0），B（0，7），
∵点B向右平移24个单位长度得到点C，
∴C（24，7）．
（2）解：由题意得，CD＝2t，则BD＝24﹣2t，OE＝3t，
∴S四边形BOED＝1
2×（24﹣2t+3t）×7，S四边形ACDE＝1
2
×7×（2t+30﹣3t），
∵S四边形BOED≥3
2
S四边形ACDE，
∴1
2×（24﹣2t+3t）×7≥
3
2
×1
2
×7×（2t+30﹣3t），
解得t≥42
5
，
∵0＜t＜10，
∴425≤t ＜10． （3）证明：∵S △OEF ﹣S △DCF ＝S 四边形BOED ﹣S △OBC ＝12×（24﹣2t +3t ）×7﹣12×24×7，
∴S △OEF ﹣S △DCF ＝3.5t ，
∵0＜t ＜10，
∴3.5t ＞0，
∴S △OEF ﹣S △DCF ＞0，
∴S △OEF ＞S △DCF ．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，梯形的面积，解一元一次不等式，解二元一次方程组，解题的关键学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
22．（1）10.5；（2）12.5；（3）10.5，12.5，23；12
n m +
-；30 【分析】
（1）画出图形，根据三角形的面积公式求解；
（2）画出图形，利用割补法求解；
（3）设S =am +bn +c ，其中a ，b ，c 为常数，根据表中数据列方程组求出a ，b ，c ，然后根据公式即可求出六边形FGHIJK 的面积．
【详解】
（1）如图1，ABC 的底为7，高为3，所以面积为0.57310.5⨯⨯=，
故答案为：10.5；
（2）如图2，
0.523320.5310.52236 1.5212.5S =⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=+++=，
故答案为：12.5；
（3）由（1）、（2）可填表格如下：
形内格点数
m 边界格点数n 格点多边形面积
S
ABC 四边形ACDE 五边形ABCDE 设S = am +61110.581112.520823a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
， 解得
1121
a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩， ∴皮克公式为12
n S m =+-， ∵六边形FGHIJK 中，m =27，n =8，
∴六边形FGHIJK 的面积为82712
S =+-=30． 【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，三元一次方程组的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．(1) (2,17)F =6；(2)a=3，b=78或a=7，b=78.
【分析】
(1) (2,17)F =(217-127)÷15=6；
(2)分1≤a ＜5，a=5，5＜a≤9三种情形讨论计算.
【详解】
(1) 当2m =，17n =时，可以得到217，127．较大三位数减去较小三位数的差为21712790-=，而90156÷=，
∴()2,176F =．
(2)当m a =，50n =时，可以得a50，5a0．三位数分别为100a+50,500+10a ， 当1≤a ＜5时，（500+10a ）-（100a+50）=450-90a ，而(45090)15306a a -÷=-， ∴(),50F a =306a -，
∴()1,506
F a =5a -； 当a=5时，（500+10a ）-（100a+50）=0，而0150÷=，
∴(),50F a =0，
∴()1,506
F a =0； 当5＜a≤9时，（100a+50）-（500+10a ）=90a-450，而(90450)15630a a -÷=-，
∴(),50F a =630a -， ∴()1,506
F a =a-5； 当9m =，n b =时，可以得900+10x+8，100x+98．
∵18x ≤≤，
∴（900+10x+8）-（100x+98）=810-90x ，而(81090)15546x x -÷=-，
∴()9,F b =546x -，， ∴()19,2
F b =273x -； 当1≤a ＜5时，5-a+27-3x=8,
∴a+3x=24,
∴当a=1时，x=233
（舍去），当a=2时，x=223（舍去）， 当a=3时，x=7，当a=4时，x=
203（舍去）， ∴a=3，b=78；
当a=5时，则27-3x=8,
∴x=193
（舍去）， 当5＜a≤9时，则a-5+27-3x=8,
∴3x-a=14,
∴当a=6时，x=
203（舍去），当a=7时，x=7， 当a=8时，x=223（舍去），当a=9时，x=233
（舍去）， ∴a=7，b=78；
综上所述，a=3，b=78或a=7，b=78.
【点睛】
本题考查了新定义问题和二元一次方程的整数解，准确理解新定义的意义，灵活运用分类思想和枚举法是解题的关键.
24．（1）12x y =⎧⎨=⎩；（2）41
m n =-⎧⎨=-⎩；（3）a ＝3，b ＝2． 【分析】
（1）利用加减消元法，可以求得；
（2）利用换元法，设m+5=x ，n+3=y ，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x ，y 的值进一步可求出原方程组的解；
（3）把am 和bn 当成一个整体利用已知条件可求出am 和bn ，再把bn 代入2m-bn=-2中求出m 的值，然后把m 的值代入3m+n=5可求出n 的值，继而可求出a 、b 的值．
【详解】
解：（1）两个方程相加得66x =，
∴1x =，
把1x =代入321x y -=-得2y =，
∴方程组的解为：12x y =⎧⎨=⎩
； 故答案是：12
x y =⎧⎨=⎩； （2）设m +5＝x ，n +3＝y ，则原方程组可化为321327x y x y -=-⎧⎨+=⎩
， 由（1）可得：12x y =⎧⎨=⎩
， ∴m+5＝1，n+3＝2，
∴m ＝-4，n ＝-1，
∴41m n =-⎧⎨=-⎩
， 故答案是：41m n =-⎧⎨=-⎩
； (3)由方程组722am bn m bn +=⎧⎨-=-⎩
与351m n am bn +=⎧⎨-=-⎩有相同的解可得方程组71am bn am bn +=⎧⎨-=-⎩， 解得34am bn =⎧⎨=⎩
， 把bn ＝4代入方程2m ﹣bn ＝﹣2得2m ＝2，
解得m ＝1，
再把m ＝1代入3m +n ＝5得3+n ＝5，
解得n ＝2，
把m ＝1代入am ＝3得：a ＝3，
把n ＝2代入bn ＝4得：b ＝2，
所以a ＝3，b ＝2．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解法，重点是考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想．
25．（1）(0,4)A ，0()6,B -； （2）4(0,)D -；（3）()8,8P --
【解析】
【分析】
（1）利用非负数的性质即可解决问题；
（2）利用三角形面积求法，由ABO ACO BCO S S S ∆∆∆=+列方程组，求出点C 坐标，进而由△ACD 面积求出D 点坐标.
（3）由平行线间距离相等得到20PAB EAB S S ∆∆==，继而求出E 点坐标，同理求出F 点坐标，再由GE=12求出G 点坐标，根据PGE OEF GPFO S S S ∆∆=+梯形求出PG 的长即可求P 点坐标.
【详解】
解：（1）40a -≥ 60b +≥， ∴460a b -++=，
40a ∴-=，60b +=，
4a ∴=，6b =-，
()0,4A ∴，()6,0B -，
（2）由BCM DOM S S ∆∆=
∴ABO DOM S S ∆∆=，
ABO ACD S S ∆∆∴=，
1122
ABO S AO BO ∆=⨯⨯=， 如图1，连CO ，作CE y ⊥轴，CF x ⊥轴，
ABO ACO BCO S S S ∆∆∆=+，
即()11641222
m m ⨯⨯+⨯⨯-= 53212n m n m -=⎧∴⎨-=⎩
， 32
m n =-⎧∴⎨=⎩， ()3,2C ∴-，
而12
ACD S CE AD ∆=⨯⨯， ()134122
OD =⨯⨯+=， 4OD ∴=，
()0,4D ∴-，
（3）如图2：
∵EF ∥AB ，
∴20PAB EAB S S ∆∆==， ∴1202
AO BE ⨯=，即()4640OE ⨯+=， 4OE ∴=，
()4,0E ∴，
12GE =，
8GO ∴=，
()8,0G ∴-，
20ABF PBA S S ∆∆==，
()11642022
ABF S BO AF OF ∆∴=⨯⨯=⨯⨯+=， 83
OF ∴=， 80,3F ⎛⎫∴- ⎪⎝
⎭， PGE OEF GPFO S S S ∆∆=+梯形，
11818128422323PG PG ⎛⎫∴⨯⨯=⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭
， 8PG ∴=，
()8,8P ∴--，
【点睛】
本题考查的是二元一次方程的应用、三角形的面积公式、坐标与图形的性质、平移的性质，灵活运用分情况讨论思想、掌握平移规律是解题的关键．
26．(1)g(－1)＝2 g(－2)＝－1 (2)a ＝－4 (3)a ＝
132
，b ＝－4. 【解析】
【分析】（1）将x=-1和x=-2分别代入可得出答案； （2）将x=12
代入可得关于a 的一元一次方程，解出即可；
（3）由f(1)＝0，把x=1代入可得关于a 、b 、k 的方程，根据无论k 为何值时，都成立就可求出a 、b 的值．
【详解】（1）由题意得：g （-1）=-2×（-1）2-3×（-1）+1=2；
g （-2）=-2×（-2）2-3×（-2）+1=-1；
（2）由题意得：1116822
a a a +--=， 解得：a=-4；
（3）∵k 无论为何值，总有f(1)＝0， ∴21236
k a bk +---=0， 则当k=1、k=0时，可得方程组21203612036
a b a +-⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩， 解得：1324
a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. 【点睛】本题考查了代数式求值、解一元一次方程、一元一次方程的解、解二元一次方程组等，读懂新定义是解题的关键.
27．（1）白纸有100吨，作业本有90吨；（2）69520元
【分析】
（1）设白纸有x 吨，作业本有y 吨，根据共支出公路运费4200元，铁路运费26280元．列出二元一次方程组，解之即可；
（2）由销售款-（白纸的购进款与运输费的和），进行计算即可．
【详解】
解：（1）设白纸有x 吨，作业本有y 吨，由题意，得
1.5(1020)42001.2(120110)26280
x y x y +=⎧⎨+=⎩， 整理得：228012112190x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 解得10090
x y =⎧⎨=⎩． 答：白纸有100吨，作业本有90吨；
（2）10000908000100420026280⨯-⨯--06952=（元）．
答：这批作业本的销售款比白纸的购进款与运输费的和多69520元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
28．（1）C ；（2）39和29
【分析】
（1）首先设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，②100x y +比100y x +大990，根据等量关系列出方程组；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】
解：（1）解：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，
根据题意，得()()68,100100990.x y x y y x +=⎧⎨+-+=⎩
故选：C ；
（2）化简()()68,100100990.
x y x y y x +=⎧⎨+-+=⎩ 得6810x y x y +=⎧⎨-=⎩①②
， ①＋②，得278x =，即39x =．
①－②，得258y =，即29y =．
所以这两个数分别是39和29．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和解二元一次方程组，关键是弄清题目意思，表示出“较小的两位数写在较大的两位数的右边，得到一个四位数为100y x +”，把较小的两位数写在较大的两位数的左边，得到另一个四位数为100x y +．
29．（1）35
；（2）“小勇同学的解答”错误，诊断分析和评价见解析 【分析】
（1）由两种方法分别得出2=5-5k ，求解即可；
（2）从二元一次方程的解和二元一次方程组的解的概念进行诊断分析，再从创新的角度进行评价即可．
【详解】
解：（1）方法一：②×2得：4x +6y =6-4k ③，
由③-①得：x +y =5-5k ，
∵x +y =2，
∴2=5-5k ，
解得：k =35
， 方法二：由①-②得：x +2y =3k -2③，
由②-③得：x +y =5-5k ，
∵x +y =2，
∴2=5-5k ，
解得：k =35
； （2）“小勇同学的解答”错误，理由如下：。