2016高考数学二轮复习 专题一 高考客观题常考知识 第3讲 不等式与线性规划课件 文

f(x)>f(2x-1)成立的 x 的取值范围是( A )
(A) ( 1 ,1) 3
(B) (-∞, 1 )∪(1,+∞) 3
(C) (- 1 , 1 ) (D) (-∞,- 1 )∪( 1 ,+∞)
33
3
3
解析:函数 f(x)=ln(1+|x|)- 1 ,所以 f(-x)=f(x),故 f(x)为偶函数, 1 x2
x 2 y 1 0,
的最大值为
.
解析:作出可行域如图中阴影部分所示.在可行域
内,斜率为-2 的直线经过点 C 时,z=2x+y 取得最大
值,此时由
x x
y 5=0, 2 y 1=0,
解得
x y
3, 2,
所以 C(3,2),所以 zmax=8.
答案:8
备考指要
1.怎么考 (1)高考对不等式的解法考查主要与函数图象、性质、导数等相结合考查.多以 选择、填空题形式出现,难度中等或偏上. (2)线性规划主要考查直接求目标函数的最值(或范围)和已知目标函数最值求 参数的值(或范围),常以选择、填空题形式出现,难度中等或偏下. (3)高考对基本不等式一般不单独考查,有时在其他知识(如数列、解三角形、 解析几何、导数的应用等)中求最值时常用到. 2.怎么办 (1)不等式的性质是解(证)不等式的基础,要弄清条件和结论,不等式的解法 “三个二次”之间的联系的综合应用要加强训练. (2)对线性规划问题要注重目标函数的几何意义的应用,准确作出可行域是正确 解题的关键. (3)复习备考中应突出利用基本不等式求最值的方法,注意“拆”“拼”“凑” 等技巧的强化训练及等价转化、分类讨论、逻辑推理能力的培养.
而导致漏解,如求函数 f(x)= x2 2 + 1 的最值,就不能利用基本不等 x2 2
式求解最值;求解 f(x)=x+ 3 (x<0)时应先转化为正数再求解. x
(2)连续使用基本不等式求最值时,应特别注意检查等号是否能同时成立.
热点一 不等式的解法
热点精讲
【例1】 (1)(2015厦门市3月质检)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-
(2)(2014
辽宁卷)已知
f(x)为偶函数,当
x≥0
时,f(x)=
cos
πx,
x
0,
1 2
,
2x
1,
x
1 2
,
则不等式
f(x-1)≤
1 2
的
解集为( )
(A)[ 1 , 2 ]∪[ 4 , 7 ] (B)[- 3 ,- 1 ]∪[ 1 , 2 ]
43 34
4 3 43
(C)[ 1 , 3 ]∪[ 4 , 7 ](D)[- 3 ,- 1 ]∪[ 1 , 3 ]
3 4 34
4 3 34
解析:(2)当 0≤x≤ 1 时,令 f(x)=cos πx≤ 1 ,解得 1 ≤x≤ 1 ;当 x> 1 时,令 f(x)=2x-1≤ 1 ,
2
2
3
2
2
2
解得 1 <x≤ 3 ,故有 1 ≤x≤ 3 .因为 f(x)是偶函数,所以 f(x)≤ 1 的解集为[- 3 ,- 1 ]∪[ 1 , 3 ],
温馨提示 (1)求解线性规划问题时,作图一定要准确,边界的虚、实要搞清 楚,区域是否是封闭的一定要明确.
(2)求解线性规划问题时,要准确把握目标函数的几何意义,如 y 2 是指已知区 x2
域内的点与点(-2,2)连线的斜率,而不是与点(2,-2)连线的斜率;(x-1)2+(y-1)2
是指已知区域内的点到点(1,1)的距离的平方而不是距离等.
f
2 0,
x 0,
即
x 2 1 log2
0,
x
1
0,
解得
1<x<2,
当
2<x<4
时,x-2>0,不等式可化为
x
f
2 0,
x 0,
由函数
f(x)是奇函数,得
f(-x)=-f(x),又
f(x-2)=f(x+2),则 f(x)=f(x-2+2)=f(x-2-2)=-f(4-x),因为 0<4-x<2,不等式可化为
解析: (2)由不等式恒成立问题求参数,综合性较强, 考查分类讨论与数形结合思想. 当x≤0时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤0, 所以|f(x)|≥ax,即为x2-2x≥ax.当x≤0时,得a≥x-2, 即a≥-2验证知a≥-2时,|f(x)|≥ax(x≤0)恒成立. 当x>0时,f(x)=ln(x+1)>0,所以|f(x)|≥ax化简为ln(x+1)≥ax恒成立, 由函数图象可知a≤0, 综上,当-2≤a≤0时,不等式|f(x)|≥ax恒成立.故选D.
核心整合
1.不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不 等式的解集.
温馨提示 解形如一元二次不等式ax2+bx+c>0时,易忽视系数a的讨论导 致漏解或错解,要注意分a>0,a<0进行讨论.
由
mx x
2
y0 y2
0
得
A(
2 2m
1
,
2m 2m 1
),
则 4 - 2m =2 解得 m=1,故选 C. 2m 1 2m 1
2x y 10,
(3)(2015
四川卷)设实数
x,y
满足
x
2
y
14,
则
xy
的最大值为(
)
x y 6,
(A) 25 (B) 49 (C)12
2
2
(D)16
解析:(3)先画出可行域,再将 xy 转化为矩形面积 S,求 S 的最大值.
2y
1
0,
则
z=3x+y
2x y 2 0,
的最大值为
.
解析:作出不等式组所表示的可行域(如图中阴影部 分所示),作直线 l0:3x+y=0,平移直线 l0,当直线 3x+y=z 过点(1,1)时,zmax=3+1=4.
答案:4
x y 5 0, 4.(2015 新课标全国卷Ⅱ,文 14)若 x,y 满足约束条件 2x y 1 0, 则 z=2x+y
解析:(1)由约束条件作出可行域如图中阴影区域.
将 z=2x-3y 化为 y= 2 x- z ,作出直线 y= 2 x 并平移使之
33
3
经过可行域,易知直线经过点 C(3,4)时,
z 取得最小值,故 zmin=2×3-3×4=-6.故选 B.
x y 0,
(2)(2015
福建卷)变量
x,y
满足约束条件
x
2
y
2
0,
若
z=2x-y
的最大值
mx y 0.
为 2,则实数 m 等于( )
(A)-2 (B)-1 (C)1
(D)2
解析:(2)如图所示阴影部分为
x x
y 0, 2y 2
0
所表示的区域,当
m≤0
时,
z=2x-y 无最大值,当 m>0 时不等式组表示区域为如图所示三角形 OAB,
则 z=2x-y 过 A 取得最大值,
举一反三1-1:(1)(2015安徽皖北协作区一模)若f(x)是奇函数,且在(0,+∞) 上是减函数,又有f(-2)=0,则不等式x·f(x)<0的解集为( ) (A)(-∞,-2)∪(2,+∞) (B)(-2,0)∪(0,2) (C)(-2,0)∪(2,+∞) (D)(-∞,-2)∪(0,2)
解析:(1)因为奇函数在(0,+∞)上是减函数, 所以在(-∞,0)上也是减函数,且 f(-2)=-f(2)=0, 即 f(2)=0.作出函数 f(x)的大致图象. 由于不等式 x·f(x)<0 等价为 x>0 时,f(x)<0, 此时 x>2;当 x<0 时,f(x)>0, 此时 x<-2, 综上,不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞), 故选 A.
2x y 10,
x
2
y
14,
表示的可行域如图中阴影部分所示.
x y 6
令 S=xy,不妨设在点 M(x0,y0)处 S 取得最大值, 且由图象知点 M(x0,y0)只可能在线段 AD,AB,BC 上. ①当 M(x0,y0)在线段 AD 上时,x0∈[-2,0],此时 S=xy≤0;
24
3
4
2
4 3 34
故 f(x-1)≤ 1 的解集为[ 1 , 2 ]∪[ 4 , 7 ].故选 A.
2
43 34
热点二 简单的线性规划问题
x y 1 0, 【例 2】 (1)(2013 新课标全国卷Ⅱ)设 x,y 满足约束条件 x y 1 0, 则
x 3,
z=2x-3y 的最小值是( ) (A)-7 (B)-6 (C)-5 (D)-3
3.五个重要的不等式 (1)|a|≥0,a2≥0(a∈R);(2)a2+b2≥2ab(a,b∈R);
(3) a b ≥ ab (a>0,b>0);(4)ab≤( a b )2(a,b∈R);
2
2
(5) a2 b2 ≥ a b ≥ ab ≥ 2ab (a>0,b>0).
2
2
ab
温馨提示 (1)易忽视使用基本不等式求最值的条件,即“一正、二定、三相等”
又当 x∈(0,+∞)时,f(x)=ln(1+x)- 1 ,f(x)是单调递增的, 1 x2
故 f(x)>f(2x-1) f(|x|)>f(|2x-1|),所以|x|>|2x-1|,解得 1 <x<1,故选 A.
3
2.(2014
新课标全国卷Ⅰ,文
11)设
x,y
满足约束条件
x x
y y
a, 1,
且
z=x+ay
的
最小值为 7,则 a 等于( B )
(A)-5 (B)3
(C)-5 或 3
(D)5 或-3
解析:由
x x
y y
a, 1
得
x y
a 1, 2
a 1, 2
将(
a
2
1
,
a
2
1
)
代入 z=x+ay 有 7= a 1 +a· a 1 得 a=3 或 a=-5,当
2
2
a=-5
时,不等式组
方法技巧 解不等式的常见策略 (1)解一元二次不等式,一是图象法:利用“三个二次”之间的关系,借助相应 二次函数图象,确定一元二次不等式的解集;二是因式分解法:利用“同号得 正,异号得负”这一符号法则,转化为一元一次不等式组求解. (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式 不等式(一般为一元二次不等式)求解. (3)解含“f”的函数不等式,首先要确定f(x)的单调性,然后根据函数的单调 性去掉“f”转化为通常的不等式求解. (4)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类,关键是找到对参数进 行讨论的原因,确定好分类标准,有理有据、层次清楚地求解.
第3讲 不等式与线性规划
考向分析 核心整合 热点精讲
考向分析
考情纵览
考点
年份 2011
不等式的解法
简单的线性规划 问题
14
基本不等式的应用
2012 5
2013 ⅠⅡ 12
2014 ⅠⅡ 15
3 11 9
2015
Ⅰ
Ⅱ
12
15
14
21(2)
真题导航
1.(2015 新课标全国卷Ⅱ,文 12)设函数 f(x)=ln(1+|x|)- 1 ,则使得 1 x2
(2)简单分式不等式的解法
①变形⇒ f x >0(<0) ⇔f(x)g(x)>0(<0); g x
②变形⇒ f x ≥0(≤0) ⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. g x
温馨提示 求解分式不等式时应注意正确进行同解变形,不能把 f x ≤0 直接 g x
转化为 f(x)·g(x)≤0,而忽视 g(x)≠0.
2)=f(x+2),当0<x<2时,f(x)=1-log2(x+1),则当0<x<4时,不等式(x-2)0,1)∪(2,3)
(B)(0,1)∪(3,4)
(C)(1,2)∪(3,4)
(D)(1,2)∪(2,3)
解析:(1)当
0<x<2
时,x-2<0,不等式可化为
x
2.线性规划 (1)判断二元一次不等式表示的平面区域的方法 在直线Ax+By+C=0的某一侧任取一点(x0,y0),通过Ax0+By0+C的符号来判断 Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域. (2)解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意 义,数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要 注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.
x x
y y
5, 1
表示的平面区域如图.z=x-5y,5y=x-z,y=
1 5
x-
z ,画直线 y= 1 x 向上平行移动,- z 越来越大,z 越来越小,但没有最小值,舍
5
5
5
去,a=3 合题意.故选 B.
x y 2 0,
3.(2015
新课标全国卷Ⅰ,文
15)若
x,y
满足约束条件
x
x 2 0, 1 log2
5
x
0,
解得
2<x<3,则原不等式的解集为(1,2)∪(2,3),故选
D.
(2)(2013
新课标全国卷Ⅰ)已知函数
f(x)=
x 2
1n
2x, x
x 1, x
0, 0.
若|
f(x)|≥ax,则
a 的取值范围是( )
(A)(-∞,0] (B)(-∞,1]
(C)[-2,1] (D)[-2,0]