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目录
一、高等数学 (1)
(一) 函数、极限、连续 (1)
(二) 一元函数微分学 (5)
(三)一元函数积分学 (13)
(四) 向量代数和空间解析几何 (20)
(五)多元函数微分学 (29)
(六)多元函数积分学 (35)
(七)无穷级数 (40)
(八)常微分方程 (47)
二、线性代数 (52)
(一) 行列式 (52)
(二)矩阵 (54)
(三) 向量 (57)
(四)线性方程组 (60)
(五)矩阵的特征值和特征向量 (62)
(六)二次型 (63)
三、概率论与数理统计 (66)
(一)随机事件和概率 (66)
(二)随机变量及其概率分布 (70)
(三)多维随机变量及其分布 (72)
(四)随机变量的数字特征 (75)
(五)大数定律和中心极限定理 (78)
(六)数理统计的基本概念 (79)
(七)参数估计 (81)
(八)假设检验 (84)
经常用到的初等数学公式 (86)
平面几何 (91)
一、高等数学(一) 函数、极限、连续
(二) 一元函数微分学
(三)一元函数积分学
'(),'(),u x v x a b u x v x 设（），（）在［，］上具有连续导函数则
()'()()()|()'()a
a
a
b b
b
u x v x dx u x v x v x u x dx =-⎰
⎰
3． 定积分不等式证明中常用的不等式
22(1)2a b ab +≥ 1
(2)0,2a a a
>+
≥ (3)柯西不等式： ()(
)222(()())()(),
b
b
b
a a
a
f x
g x dx f x dx g x dx f x g x a b ≤
⎰⎰
⎰g 其中（），（）在［，］上连续
有理函
数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分，广义积分和定积分的应 用
1． 三角函数代换 函数()f x 含根式
所作代换
三角形示意图
22a x -
sin x a t =
22a x +
tan x a t =
22x a -
sec x a t =
有理函数积分
(1)ln ||A
dx A x a C x a
=-+-⎰
1
1
(2)(1)()1()
n n A A dx C n x a n x a -=-+≠---⎰
(四) 向量代数和空间解析几何
椭球面
222
222
1
x y z
a b c
++=
(,,
a b c均为正数)
o b
c
z
y
x
单叶双曲面
222
222
1 x y z
a b c
+-= (,,
a b c均为正数)
双叶双曲面
222
222
1 x y z
a b c
--+= (,,
a b c均为正数)
椭圆的抛物
面
22
22
2
x y
pz a b
+= (,,
a b p为正数)
双曲抛物面(又名马鞍面)
22
22
2
x y
pz a b
-= (,,
a b p均为正数)
(五)多元函数微分学
(六)多元函数积分学
(7)((,)
(,))
f x y D A D
D f x y d f A
ξησξη
∃⎰⎰
D
中值定理）若在闭域上连续，为的面积，则在上至少一点（，），使=(, (8)二重积分的对称性原理
(,)
(,)
x f x y y
f x yσ
⎰⎰
D
1）如果积分域D关于轴对称，为的奇偶函数，则二重积分d
1
0,(,)(,)
2(,),(,)(,), D
f y f x y f x y
f x y d f f x y f x y
σ
-=-
⎧
⎪
=⎨-=
⎪⎩
⎰⎰
关于为奇函数，即
关于y为偶函数，即
D D
1
为在上半平面部分
这个性质的几何意义见图(a)、(b)
(,)
y f x y x
2）如果积分域D关于轴对称，为的奇偶函数，
(,)
f x yσ
⎰⎰
D
则二重积分d
2
0,(,)(,)
2(,),(,)(,), D
f x f x y f x y
f x y d f x f x y f x y
σ
-=-
⎧
⎪
=⎨-=
⎪⎩
⎰⎰
关于的奇函数，即
关于为偶函数，即
D D
2
为在右半平面部分
(,),
f x y x y
3）如果D关于原点对称，同时为的奇偶函数，
Rdz
(七)无穷级数
(八)常微分方程。