江西省新八校2020-2021学年高三上学期第一次联考理科数学试题及答案

江西省新八校2020-2021学年高三上学期第一次联考理科数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1
．设集合{|A y y ==
，{}|2,x B y y x A ==∈，则A B 等于（ ） A ．[1,)+∞ B ．R C ．[1,2] D ．[0,4] 2．已知i 为虚数单位2020
2021
11i z i +=-，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -
3．α、β为不重合的平面，a 、b 为两条直线，下列命题正确的为（ ） A ．若a α⊂，b β⊂，//αβ，则//a b
B ．若//a b ，b β⊂，则//a β
C ．若αβ⊥，a α⊂，则a β⊥
D ．若a α⊥，b β⊥，a b ⊥，则αβ⊥
4．若实数x ，y 满足约束条件2302302250x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≥⎩
，则32z x y =+的最小值（ ）
A ．5
B ．112
C ．7
D ．132
5．若曲线x y e m =-的一条切线为1y x n e =
+（e 为自然对数的底数），其中m ，n 为正实数，则m n +的值是（ ）
A ．e
B ．1e
C ．2e
D ．2e 6．设函数tan (),,00,22x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则()f x 是（ ） A ．奇函数，且存在0x 使得()01f x ≤ B ．奇函数，且对任意0x ≠都有|()|1f x >
C ．偶函数，且存在0x 使得()01f x ≤
D ．偶函数，且对任意0x ≠都有|()|1f x >
7．设双曲线221x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作x 轴的垂线与双曲线的
渐近线在第一象限交于点B ，连接1BF 交双曲线的左支于A 点，则2ABF 的周长为（ ）
A
．2++B
2 C
．2+D
2 8．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4b =，点O 为其外接圆的圆心．已知6CO BA ⋅=，则角A 的最大值为（ ）
A ．6π
B ．3π
C ．4π
D ．2
π 9．十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于89
，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）参考数据：（lg 20.3010,lg30.4771==）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
10．已知抛物线24y x =上有两点()11,A x y 、()22,B x y ，焦点为F ，则
111FA FB +=是“直线AB 经过焦点F ”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不
必要条件 11．设函数,(),x x x a f x e x x a
⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1a ≤
B ．1a <
C ．1a e ≤
D ．1a e
< 12．若等差数列{}n a 满足22132a a +=，且11a ≥，求2312
a a a a ++的取值范围（ ） A ．(1,1)-
B ．[1,1]-
C ．(,1)(1,)-∞-+∞
D ．(,1][1,)-∞-+∞
二、填空题
13．已知向量,a b 满足||3b =，||4a b +=，||5a b -=，则向量a 在向量b 上的投影为______．
14．()3
21212x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______．
15．已知D ABC -是球O 的内接三棱锥，2,4AB BC CA BD DA =====．二面角D AB C --为120，则球O 的半径为________．
16．已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭
恒成立，则3b a +的最小值是_____．
三、解答题
17．如图，在ABC 中，2AB =，3B π
∠=，点D 在线段BC 上．
（1）若4BAD π
∠=，求AD 的长；
（2）若3BD DC =，且ABC S =sin sin BAD CAD ∠∠的值． 18．如图，AB 是O 的直径，动点P 在O 所在平面上的射影恰是O 上的动点C ，2PC AB ==，D 是PA 的中点，PO 与BD 交于点E ，F 是PC 上的一个动点．
（1）若//CO 平面BEF ，求PC FC
的值； （2）若F 为PC 的中点，BC AC =，求直线CD 与平面BEF 所成角的余弦值． 19．李雷、韩梅梅两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止．设李雷在每局中获胜的概率为12P P ⎛
⎫> ⎪⎝⎭
，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为
58
． （1）求P 的值； （2）设ξ表示比赛停止时李雷的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ．
20．已知椭圆22
22:1(0)x y M a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上、下顶点分别为C ，D ，右焦点为F ，离心率为
12
，其中24||||||FA FB CD =⋅． （1）求椭圆的标准方程．
（2）过椭圆的左焦点F '的直线l 与椭圆M 交于E ，H 两点，记ABE △与ABH 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．
21．已知函数2(),()2ln x f x x e g x x -=⋅=-．
（1）求函数()y f x =的单调区间．
（2）()()()h x xf x g x =+，若0x 为2()y x h x '=极值点，其中()h x '为函数()h x 的导函数．证明：()042ln292ln2h x -<<-．
22．平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1121t x t t y t -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
（t 为参数，且1t ≠-）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24cos sin θρθ
=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）已知点A 的极坐标为（1,0），直线:()l R θαρ=∈与1C 交于点B ，其中(0,)
2π
α∈
过点A 的直线n 与2C 交于M ，N 两点，若n l ⊥，且
2||||16,||
AM AN OB ⋅=，求α的取值 23．已知函数()|1||21|f x x x =+--．
（1）求()3f x ≥-的解集． （2）若存在a ，b ，关于x 的不等式|||2|||(|1||2|)(0)b a b a a x x m a +--≥++-≠有解，求实数m 的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】
化简集合,A B ，根据交集运算的概念可求得结果.
【详解】
由2044x ≤-≤可得02≤≤，所以[0,2]A =，
因为指数函数2x y =在[0,2]上为增函数，所以14y ≤≤，所以[1,4]B =，
∴[1,2]A B =．
故选：C
2．B
【分析】
先由i 的n 次幂的性质化简，然后由复数除法法则计算出z ，再得其共轭复数后可得结论．
【详解】
∵20200202111,i i i i i ====，∴22(1)11(1)(1)
i z i i i i +=
==+--+，∴1z i =-，虚部为1-． 故选：B
3．D
【分析】
根据选项直接判断直线a 、b 的位置关系，可判断A 选项的正误；根据已知条件判断a 与β的位置关系，可判断BC 选项的正误；利用空间向量法可判断D 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，若a α⊂，b β⊂，//αβ，则a 与b 平行或异面，A 选项错误；
对于B 选项，若//a b ，b β⊂，则a β⊂或//a β，B 选项错误；
对于C 选项，若αβ⊥，a α⊂，则//a β、a β⊂、a β⊥或a 与β斜交，C 选项错误；
对于D 选项，设直线a 、b 的方向向量分别为m 、n ，
由于a α⊥，则平面α的一个法向量为m ，b β⊥，则平面β的一个法向量为n ，
因为a b ⊥，则m n ⊥，因此，αβ⊥，D 选项正确.
故选：D.
4．B
【分析】
画出不等式组对应的可行域，平移动直线32z x y =+后可得z 的最小值.
【详解】
不等式组对应的可行域如图所示：
由2250230x y x y +-≥⎧⎨+-≥⎩可得122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故1,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合可行域，平移动直线32z x y =+至A 时，z 取最小值为11132222
⨯
+⨯=. 故选：B.
5．C
【分析】
设切点坐标()00,x y ，则根据导数的几何意义可求0x 的值，从而可求,m n 的关系.
【详解】 e x y '=，设切点坐标为()00,x y ，∴001,1x e x e ==-，∴11m n e e
-=-+，
∴2m n e
+=
， 故选：C.
6．D
【分析】 先判断函数的奇偶性，可排除A ，B ，构造函数()tan h x x x =-可得()h x 的单调递性可得答案.
【详解】 因为tan (),,00,22x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以tan ()()x f x f x x --=
=-， 所以()f x 是偶函数，故AB 错误；
令()tan h x x x =-， 则22sin sin cos sin ()cos 1cos c 111os cos x x x x x x x x h x '==-'''-⎛⎫- ⎪⎝⎭
=-， 当0,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时， 20cos 1x <<，211cos x
>， 所以()0h x '>，()h x 在0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
是单调递增函数， ()(0)tan 0h x h x x >=-=，即tan x x >，有
tan 1x x >， 由偶函数的对称性可得,00,22x ππ⎛⎫⎛⎫∈-
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，tan 1x x >. 故选：D.
【点睛】 本题考查函数的奇偶性和单调性，解题关键点是构造函数利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
7．A
【分析】
根据双曲线方程求出,,a b c ，利用双曲线的定义将2AF 化为12a AF +，可求出2ABF 的周长.
【详解】
由221x y -=得1,1a b ==，所以c ===2F ，
双曲线经过点B 的渐近线为y x =，所以B ，所以2BF =122F F c ==
所以1BF ===，
所以221212222AB AF BF AB a AF BF BF BF ++=+++=++=，
所以2ABF 的周长为2+
故选：A
【点睛】
关键点点睛：利用双曲线的定义将2AF 化为12a AF +是解题关键. 8．A
【分析】
取AB 的中点D ，则CO BA ⋅1()()2CA CB CA CB =
+⋅-可得a ，由余弦定理和基本不等式可得答案.
【详解】
取AB 的中点D ，则()CO BA CD DO BA CD BA ⋅=+⋅=⋅， ()211()()16622
CA CB CA CB a =+⋅-=-=，∴2a =，
又∵222cos 2c b a A bc
212112882c c c c +⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，
当且仅当c =时等号成立，∴06A π<≤
.
故选：A.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 9．C 【分析】
归纳出第n 次去掉的线段的长度n a ，然后求得和n S ，解不等式8
9
n S ≥可得． 【详解】
记n a 为第n 次去掉的长度，
113a =，剩下两条长度为13的线段，第二次去掉的线段长为2
22
12
233
a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， 第1n -次操作后有12n -条线段，每条线段长度为
11
3
n -，因此第n 次去掉的线段长度为1
1
11122
333
n n n n n a ---=⨯⨯=， 所以2281391133213
n n
n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎦⎛⎫=-≥ -
⎪⎥⎭⎭⎢⎣=
⎝，2139n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，(lg 2lg3)2lg3n -≤-，
2lg 3
5.42lg 3lg 2
n ≥
≈-．n 的最小值为6．
故选：C ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查归纳照理，考查对数的运算．解题关键是归纳出第n 次所去掉的线段长度，计算时要先得出第n 次去掉的线段条数，即第1n -次剩下的线段条数，同时得出此时每条线段长度，从而可得第n 次所去掉的线段总长度，求和后列不等式求解． 10．B 【分析】
设出直线方程与抛物线方程联解，利用焦半径公式得解. 【详解】
设直线AB 为24,y x x my n x my n
⎧==+⎨=+⎩消x 得方程2
440y my n --=，
∴12124,4y y m y y n +=⋅=-．当
111FA FB
+=时，则
1211111x x +=++，∴121x x ⋅= ∵()2
2
12
12116
y y x x n ⋅⋅===，∴1n =±，显然当直线过焦点时有
11
1FA FB
+= 故选：B
【点睛】
利用焦半径及根与系数关系是解题关键. 11．C 【分析】
x a <时，()f x a <无最大值，因此x a ≥时，()x x f x e
=有最大值，利用导数求解．
【详解】
显然x a <时，()f x a <无最大值，
x a ≥时，()x x f x e =
存在最大值，1()x
x f x e -'=，
当1x <时，()0f x '>，()f x 递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 递减， 所以1x =时，()f x 取得极大值也是最大值．1
(1)f e
=
，
因此()f x 要有最大值，必须满足1
1a a e ≤⎧⎪
⎨≤⎪⎩
，所以1a e ≤．
故选：C ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查分段函数的最大值问题．解题时要注意()f x 的最大值是在定义域内的最大值，对分段函数来讲，每一段的函数值都不能比最大值大．因此本题在x a ≥时求得最大值1(1)f e =，除这个最大值取得到，即1a ≥以外还有必须满足1
a e
≤，否则函数无最大值． 12．B 【分析】
设13a a θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩，[,)θππ∈-，根据11a ≥求出θ的范围，利用等差中项的性质得到2a ，再利用同角公式可求得结果. 【详解】
设13a a θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩，[,)θππ∈-， 又∵11a ≥，
1θ≥
，即cos ,1]2
θ∈，∴,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，
∴1322a a a θθ+=
=+，
∴2312cos sin 3sin cos 3tan 183sin 3cos tan 3tan 3a a a a θθθθθθθθθθ++++====-++++，
又∵,44ππθ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，所以tan [1,1]θ∈-，所以83[1,1]tan 3θ-∈-+， ∴
23
12
[1,1]a a a a +∈-+． 故选：B
【点睛】
关键点点睛：利用三角换元化为三角函数求解是解题关键. 13．34
-
【分析】
把模用数量积表示后求得a b ⋅，再根据投影的定义计算． 【详解】
∵||4a b +=，∴22216a b a b ++⋅=，||4a b -=，∴22225a b a b +-⋅=， ∴9
4
a b ⋅=-
，则向量a 在向量b 的投影为
34||a b b ⋅=- 故答案为：3
4
-． 14．-26 【分析】
首先原式展开，再按照生成法求展开式中的常数项. 【详解】
原式333
21112222x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，展开式中的常数项是： 2
1
211223
33112(2)2(1)226x C x C x x ⎛⎫⎛⎫⋅+-⋅⋅+-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
故答案为：-26
15 【分析】
取AB 的中点E ，设ABC 的外心1O 和DAB 的外心2O ，求出121O E O E ==，连OE ，
1OO ，2OO ，则12120O EO ∠=，求出OE ，再根据勾股定理可求出OA ，即为球O 的半径.
【详解】
21
12
O E BD =
= 【点睛】
关键点点睛：利用ABC 的外心和DAB 的外心以及球的性质求解是解题关键.
163 【分析】
根据题中条件，先讨论10,
1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝
⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦
；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤
≤--⎢⎥-⎣⎦
得到b ，再由基本不等式即可求出结果.
【详解】
当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2
4
02x b x
--≤恒成立， 24222x x y x x
-==-是10,1x a ⎛⎤
∈ ⎥-⎝⎦上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤
≥
--⎢⎥-⎣⎦
， 当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2
402x b x
--≥恒成立， 24222x x y x x
-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤
≤
--⎢⎥-⎣⎦
，
∴114(1)21b a a ⎡⎤=
--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥-，当12
a =+时等号成立．
3. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这
个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17．（1
）AD =；（2
）sin sin BAD
CAD
∠∠=【分析】
（1）利用正弦定理求解即可.
（2
）用余弦定理求出AC =sin 3sin 2
BAD AC
CAD ∠=∠，
代入AC 值求解即可. 【详解】
解：（1）∵sin sin AD AB B ADB
=∠，且75ADB ︒
∠=
=，
∴AD = （2）
∵1sin 23
ABC
A S
B B
C π==
⋅⋅， 故算得4,3,1BC BD DC ===，
在ABD △中，利用正弦定理有
32
sin sin BAD ADB
=∠∠，
在ADC 中，有
1sin sin AC
DAC ADC
=
∠∠ ∴
sin 3sin 2
BAD AC
CAD ∠=∠，
∵2
1
416224122
AC =+-⨯⨯⨯
=，
∴AC =
∴
sin sin BAD
CAD
∠∠=18．（1）31PC FC =；（2
）3
. 【分析】
（1）由线面平行得出线线平行，从而将
PC FC
转化为PO
EO ，再借助三角形的重心即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，分别求得11,,122CD ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
和平面BEF 的法向量，结合夹角公式即可求解． 【详解】
解：（1）因为//CO 平面BEF ，所以//EF OC ， 所以
PC PO
FC EO
=．因为D ，O 分别为,PA AB 的中点， 所以点E 为PAB △的重心，所以
3
1PO EO =，即31
PC FC = （2）如图所示建立空间直角坐标系．
∴(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0),(0,0,0),(0,1,0)C P A O B -． ∵1
211(1,0,1),,0,,,,13322F E D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
∴112112,,1,,0,,,1,223333CD EF BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-
== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =
00EF n BE n ⎧⋅=⎨
⋅=⎩，∴2
1033
1203
3x z x y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩令1x =，∴(1,1,2)n =-
1111(1)(2)
22cos ,3||||1
CD n CD n CD n ⎛⎫
⨯+-⨯+-⨯- ⎪⋅〈〉===⋅
直线CD 与平面BEF 【点睛】
求直线与平面所成的角的一般步骤：
（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． （2）、用空间向量坐标公式求解. 19．（1）34p =；（2）分布列见解析，
33
16
. 【分析】
（1）第二局比赛结束时比赛停止等价于李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局，由此列式可解得结果；
（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，求出ξ的每个取值的概率可得分布列，根据期望公式可得所求期望值. 【详解】
（1）依题意，当李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束， ∴有2
2
5(1)8p p +-=
，解得34p =或14p =，∵1
2p >，∴34
p =
（2）依题意知，ξ的所有可能值为0，1，2，3， ∴111
(0)4416
P ξ==
⨯= ∴1
213116(1)4444256
P C ξ==⨯
⨯⨯⨯= ∴112233131345(2)44444464
P C C ξ==
⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=
∴1
2133354
(3)4444256
P C ξ==⨯
⨯⨯⨯=
∴随机变量ξ的分布列为：
故6455433232566425616
E ξ=
+⨯+⨯=． 【点睛】
关键点点睛：求出随机变量ξ的所有可能取值的概率是解题关键.
20．（1）22
143
x y +=；
（2【分析】
（1）把已知离心率为12
，其中2
4||||||FA FB CD =⋅用,,a b c 表示后可解得,a b ，得椭圆方程；
（2）当直线l 无斜率时，120S S -=，当直线l 斜率存在时，设直线方程为
(1)(0)y k x k =+≠，设()11,E x y ，()22,H x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得
1212,x x x x +，1221212||||2S S y y y y -=-=+‖，代入12x x +转化为k 的函数，由基本
不等式可得最大值． 【详解】
（1）有条件可知2
4()()(2)a c a c b +=-，∴2
131a c e b a c e
++=
==--，又1
2c a =，
2
2134a a -=，∴2
4a =，∴椭圆方程为22143
x y +=．
（2）当直线l 无斜率时，直线方程为1x =-，此时12331,,1,,022D C S S ⎛
⎫⎛⎫
---
-= ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
．
当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设()11,E x y ，()22,H x y
联立得22
143
(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得()2222
3484120k x k x k +++-=， 显然0∆>，方程有根，22121222
8412
,3434k k x x x x k k
-+=-=++． 此时
()()12212121122
12||
2||||22112(2)34k S S y y y y k x k x k x x k
-=-=+=+++=++=
+‖． 因为0k ≠
，所以
12123
4||||
S S k k -=
≤
==+，
（k =±时等号成立），
所以12S S -
【点睛】
方法点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查椭圆中面积问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程，设交点坐标，直线方程与椭圆方程联立消元应用韦达定理，把此结果代入题中其他条件，其他量得与参数有关的式子，然后求解．
21．（1）单调增区间为(,0)-∞和(2,)+∞；函数的单调减区间(0,2)；（2）证明见解析. 【分析】
（1）先求出函数()f x 的定义域，求出()'
f x ，令()0f x '>和()0f x '<可得答案.
(2)设2()()x x h x ϕ'=，求出其导函数，得出其单调区间，得出极值点0x 满足的条件0
02x x e =，
利用对数可得00ln ln 2x x +=，再代入可得到()0020
2
22ln 2h x x x =+-，然后由导数得到单调性，从而证明结论. 【详解】
（1）2()x
e f x x
=，∵()f x 的定义域为{|0}x x ≠．
∴3
(2)
()x e x f x x
'
-=，由()0f x '>可得2x >或0x <，由()0f x '<可得02x << 所以函数()f x 的单调增区间为(,0)-∞和(2,)+∞．单调减区间为(0,2)
（2）∵()()2ln 0x e h x x x x
=->，∴2
2()x x xe e x
h x x --='， 令2
()()2x
x
x x h x xe e x ϕ=-'=-,，则()2x x xe ϕ=-'
又()10()x
x x e ϕ'=+>' 在0x >时恒成立，所以()x ϕ'
在()0+∞，
是单调增函数 又∵10,(1)02ϕϕ⎛⎫<''>
⎪
⎝⎭
，则存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()0x ϕ=， 所以在()00,x 上()0x ϕ'
<，()ϕx 单调递减，在()0,x +∞上()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增.
所以0x 为()ϕx 的极值点，则0
02x x e =
两边取对数可得(
)0
0ln ln 2x x e
=，即0
0ln ln 2x
x +=
∴()()0000022000
22
2ln 2ln 222ln 2x e h x x x x x x x =-=--=+- 令22()22ln 2x x x φ=+-，∴333
424
()20x x x x
φ-=-='+<在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立 ∴()x φ在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，所以()()0142ln 2192ln 22h h x h ⎛⎫-=<<=- ⎪⎝⎭
∴()042ln292ln2h x -<<- 【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数求函数的单调区间和讨论函数的极值以及证明不等式，解答本
题的关键是分析出极值点0x 满足的条件01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
和002x
x e =，以及由此得到
00ln ln 2x x +=，对隐零点的整体代换，由此得出()0020
2
22ln 2h x x x =
+-，属于中档题. 22．（1
）1
(sin cos ρρθθ=
≠+，24y x =；（2）4
πα=.
【分析】
（1）1C 参数方程化为211
221x t y t ⎧
=-+⎪⎪+⎨⎪=-
⎪+⎩，消去参数可得普通方程，再化为极坐标方程即可，
2C 的极坐标方程化为22sin 4cos ρθρθ=，再利用转换公式求解即可.
（2）根据极径的几何性质求得1
||sin cos OB αα
=
+，求出直线n 的参数方程，再根据参数
的几何意义，结合韦达定理可得24
||||cos AM AN α
⋅=，进而解方程可得答案.
【详解】
（1）1121t x t t y t -⎧=⎪⎪+⇒⎨⎪=⎪+⎩211
221x t y t ⎧=-+⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩
， ∴1(1)x y x +=≠-．
∴1
(sin cos ρρθθ
=
≠+，
∵2222
4cos sin 4cos sin 4cos sin θ
ρρθθρθρθθ
=
⇒=⇒=， ∴24y x =
（2）直线:()l R θαρ=∈与1C
：1
(sin cos ρρθθ
=
≠+交于点B ，
所以1
||sin cos OB αα
=
+，
点A 的极坐标为（1,0），则直角坐标也是（1,0）， 因为n l ⊥，所以直线n 的倾斜角2
π
α+
，
其参数方程可以设为1cos 2sin 2x t y t παπα⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝
⎭⎨⎛⎫
⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩
，化为1sin cos x t y t αα=-⎧⎨=⎩，
代入抛物线方程有22cos 4sin 40t t αα⋅+⋅-=， ∴1224
cos t t α
⋅=-
，可得24||||cos AM AN α⋅=，
则222
4
||||cos 16||1sin cos AM AN OB ααα⋅==⎛⎫
⎪+⎝⎭
∴tan 1,tan 3αα==-（舍去）， ∴4
π
α
=
【点睛】
方法点睛：消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可. 23．（1）{|15}x x -≤≤；（2）51
44
m -≤≤. 【分析】
（1）利用零点分段法，分1x ≤-，112
x -<≤
，1
2x >三段去绝对值解不等式；（2）不等
式转化为
121|1||2|b b
x x m a a
+--≥++-，将不等式能成立转化为()min max
12121b b x x m a a ⎛⎫
++-≤+-- ⎪⎝⎭，分别求不等式两边的最值，求得m 的取值范围. 【详解】
（1）当1x ≤-时，()2f x x =-，∴23,1x x -≥-≥-，∴1x =-． 当112x -<≤
时，()3f x x =，∴33,1x x ≥-≥-，∴1
12
x -<≤．
当1
2x >
时，2()f x x =-+，∴23,5x x -+≥-≤，∴152
x <≤． 综上所述：解集为{|15}x x -≤≤
（2）
|||2|
|1||2|||||
b a b a x x m a a +--≥++- ∴
121|1||2|b b
x x m a a
+--≥++-若存在a ，b ，关于x 的不等式有解， 则()
min
max
12121b b x x m
a a ⎛⎫
++-≤+-- ⎪⎝⎭
()()121221x x m x x m m ++-≥+--=+，
设
b t a =，则()1113
121112222
t t t t t t t ⎛⎫+--=+----≤+--= ⎪⎝⎭，
∴
3|21|2m ≥+，∴51
44
m -≤≤ 【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈
（1）若[]1,x a b ∀∈，[]
2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]
2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]
1,x a b ∃∈，[]
2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]
2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．。