【解析版】河南省济源市中考数学一模试卷

河南省济源市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列各数中，最小的数是（）
A．﹣3 B． |﹣4| C．﹣D．
2．以下是中国四大银行（工、农、中、建）标志，其中仅是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（）
A． a3+a3=a6B． 2（a+1）=2a+1 C．（a﹣b）2=a2﹣b2D． a6÷a3=a3
4．开封市测得3月22日到29日PM2.5（可入肺颗粒物）的日均值（单位：μg/m3）如下：65，39，52，45，55，71，65，133，这组数据的极差和中位数分别是（）
A． 65和60 B． 65和55 C． 94和60 D． 94和55
5．不等式组的解集在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
6．如图是几何体的三视图，该几何体是（）
A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥
7．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（）
A． 30°B． 25°C． 20°D． 15°
8．如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．计算：（）2﹣|﹣2|=．
10．如图，一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，若∠1=56°，则∠2的度数为．
11．国家统计局于2月26日发布的（国民经济和社会发展统计公报）显示，全国普通高中招生796.6万人，796.6万用科学记数法表示为．
12．甲、乙两人进行象棋比赛，比赛规则是3局2胜制，如果两人在每局比赛中获胜的机会均等，且比赛开始后，甲先胜了1局，那么甲获胜的概率是．
13．如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则
S1+S2=．
14．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长．
15．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．按要求化简：（a﹣1）÷•，并选择你喜欢的整数a，b代入求值．
小聪计算这一题的过程如下：
解：原式=（a﹣1）÷…①
=（a﹣1）•…②
=…③
当a=1，b=1时，原式=…④
以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第步（填序号），原因：；还有第步出错（填序号），原因：．
请你写出此题的正确解答过程．
17．开封市某初中为了更好地开展“阳光体育一小时”活动，围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么（只写一项）？”的问题，对全校学生进行了随机抽样调查，以下是根据得到的相关数据绘制的统计图的一部
分．
各年级人数统计表
年级七年级八年级九年级
学生人数850 680
请根据以上信息解答下列问题：
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？
（2）请将图1和图2补充完整；
（3）已知该校七年级学生比九年级学生少20人，请你补全上表，并利用样本数据估计全校学生中最喜欢跳绳运动的人数约为多少？
18．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）证明四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．
19．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
20．如图，直线y=mx与双曲线y=相交于A、B两点，A点的坐标为（1，2），AC⊥x轴于C，
连结BC．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围．
21．黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．
22．情景观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示，将将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是，∠CAC′=°；
问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H，若AB=kAE、AC=kAF，探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．
23．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．
（3）在抛物线上是否存在点G，使△DGB为直角三角形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
河南省济源市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列各数中，最小的数是（）
A．﹣3 B． |﹣4| C．﹣D．
考点：有理数大小比较．
分析：根据绝对值的性质先得出|﹣4|=4，再根据有理数的大小比较的法则进行比较即可．
解答：解：∵|﹣4|=4，
∴﹣3＜﹣＜＜|﹣4|，
∴最小的数是﹣3，
故选A．
点评：本题考查了有理数的大小比较，注意：正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．以下是中国四大银行（工、农、中、建）标志，其中仅是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了轴对称及中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．下列运算正确的是（）
A． a3+a3=a6B． 2（a+1）=2a+1 C．（a﹣b）2=a2﹣b2D． a6÷a3=a3
考点：完全平方公式；合并同类项；去括号与添括号；同底数幂的除法．
分析：根据同类项合并、多项式乘法、完全平方公式和同底数幂的除法计算判断即可．
解答：解：A、a3+a3=2a3，错误；
B、2（a+1）=2a+2，错误；
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，错误；
D、a6÷a3=a3，正确；
故选D．
点评：此题考查同类项合并、多项式乘法、完全平方公式和同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．开封市测得3月22日到29日PM2.5（可入肺颗粒物）的日均值（单位：μg/m3）如下：65，39，52，45，55，71，65，133，这组数据的极差和中位数分别是（）
A． 65和60 B． 65和55 C． 94和60 D． 94和55
考点：极差；中位数．
分析：根据中位数、极差的定义求出各数解答即可．
解答：解：按由小到大顺序排列为39，45，52，55，65，65，71，133，故中位数为（55+65）
÷2=60，
极差为133﹣39=94．
故选C．
点评：本题为统计题，考查中位数与极差的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
分析：分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
解答：解：，
由①得，x＞1，
由②得，x≥2，
故此不等式组得解集为：x≥2．
在数轴上表示为：
．
故选A．
点评：本题考查的是在数轴上表示不等式组得解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
6．如图是几何体的三视图，该几何体是（）
A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥
考点：由三视图判断几何体．
分析：如图：该几何体的俯视图与左视图均为矩形，主视图为三角形，易得出该几何体的形状．解答：解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个三角形，
则可得出该几何体为三棱柱．
故选：C．
点评：本题是个简单题，主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．
7．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（）
A． 30°B． 25°C． 20°D． 15°
考点：切线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
专题：计算题．
分析：根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C=40°求出∠AOC，根据等腰三角形性质求出
∠B=∠BDO，根据三角形外角性质求出即可．
解答：解：∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠AOC=50°，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠BDO，
∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，
∴∠ABD=25°，
故选：B．
点评：本题考查了切线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠AOC的度数，题目比较好，难度适中．
8．如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）
A．
B．
C．
D．
考点：动点问题的函数图象．
专题：压轴题；动点型．
分析：当点N在AD上时，易得S△AMN的关系式；当点N在CD上时，高不变，但底边在增大，所以S△AMN的面积关系式为一个一次函数；当N在BC上时，表示出S△AMN的关系式，根据开口方向判断出相应的图象即可．
解答：解：当点N在AD上时，即0≤x≤1，S△AMN=×x×3x=x2，
点N在CD上时，即1≤x≤2，S△AMN=×x×3=x，y随x的增大而增大，所以排除A、D；
当N在BC上时，即2≤x≤3，S△AMN=×x×（9﹣3x）=﹣x2+x，开口方向向下．
故选：B．
点评：考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．计算：（）2﹣|﹣2|=1．
考点：实数的运算．
专题：计算题．
分析：原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=3﹣2
=1．
故答案为：1．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．如图，一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，若∠1=56°，则∠2的度数为34°．
考点：平行线的性质．
分析：先根据余角的性质得出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
解答：解：∵一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，∠1=56°，
∴∠3=90°﹣56°=34°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=34°．
故答案为：34°．
点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
11．国家统计局于2月26日发布的（国民经济和社会发展统计公报）显示，全国普通高中招生796.6万人，796.6万用科学记数法表示为7.966×106．
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将796.6万用科学记数法表示为：796.6万=7.966×106．
故答案为：7.966×106．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．甲、乙两人进行象棋比赛，比赛规则是3局2胜制，如果两人在每局比赛中获胜的机会均等，且比赛开始后，甲先胜了1局，那么甲获胜的概率是．
考点：列表法与树状图法．
分析：首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与最后甲获胜的情况，然后由概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，最后甲获胜的有3种情况，
∴最后甲获胜的概率是：．
故答案为：．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
13．如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则
S1+S2=6．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
分析：欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2．
解答：解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，
∴S1+S2=4+4﹣1×2=6．
故答案为6．
点评：本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．
14．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长．
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：如图，首先求出BD的长，根据勾股定理列出关于线段AN的方程，问题即可解决．
解答：解：如图，
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD=；
由题意知：AN=DN（设为x），
则BN=9﹣x；
由勾股定理得：
x2=（9﹣x）2+32，
解得：x=5，
∴BN=9﹣5=4，
即BN的长为4．
点评：该命题主要考查了翻折变换及其性质的应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质结合其它有关定理来灵活分析、判断、推理或解答．
15．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（﹣，2）．
考点：规律型：点的坐标；翻折变换（折叠问题）；坐标与图形变化-平移．
分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2），继而求得把正方形ABCD 连续经过次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．
解答：解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．
∴对角线交点M的坐标为（2，2），
根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣1，﹣2），即（1，﹣2），
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2﹣2，2），即（0，2），
第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣3，﹣2），即（﹣1，﹣2），
第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2），
∴连续经过次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（﹣，2）．
故答案为：（﹣，2）．
点评：此题考查了点的坐标变化，对称与平移的性质．得到规律：第n次变换后的对角线交点M 的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2）是解此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．按要求化简：（a﹣1）÷•，并选择你喜欢的整数a，b代入求值．
小聪计算这一题的过程如下：
解：原式=（a﹣1）÷…①
=（a﹣1）•…②
=…③
当a=1，b=1时，原式=…④
以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第①步（填序号），原因：运算顺序错误；还有第④步出错（填序号），原因：a等于1时，原式无意义．
请你写出此题的正确解答过程．
考点：分式的化简求值．
分析：由于乘法和除法是同级运算，应当按照从左向右的顺序计算，①运算顺序错误；④当a=1
时，等于0，原式无意义．
解答：解：①运算顺序错误；
故答案为：①，运算顺序错误；
④当a=1时，等于0，原式无意义．
故答案为：a等于1时，原式无意义．
点评：本题考查了分式的化简求值，注意运算顺序和分式有意义的条件．
17．开封市某初中为了更好地开展“阳光体育一小时”活动，围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么（只写一项）？”的问题，对全校学生进行了随机抽样调查，以下是根据得到的相关数据绘制的统计图的一部
分．
各年级人数统计表
年级七年级八年级九年级
学生人数850 680
请根据以上信息解答下列问题：
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？
（2）请将图1和图2补充完整；
（3）已知该校七年级学生比九年级学生少20人，请你补全上表，并利用样本数据估计全校学生中最喜欢跳绳运动的人数约为多少？
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析：（1）利用各项目的人数除以各自所占的百分比，计算即可得解；
（2）求出投篮的人数，再求出所占的百分比，然后补全图形即可；
（3）先求出九年级的人数，然后用全校的人数乘以跳绳的人数所占的百分比40%，进行计算即可得解．
解答：解：（1）调查的总人数为40÷20%=200（人）．
（2）投篮的人数：200﹣80﹣40﹣20=60人．
投篮所占的百分比：×100%=30%，
如图所示：
（3）九年级的人数为：850+20=870名，
全校学生中最喜欢跳绳运动的人数为：（850+680+870）×40%=960名．
答：全校学生中最喜欢跳绳运动的人数约为960名．
点评：本题主要考查了条形统计图及扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从中获得准确信息．
18．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）证明四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．
考点：平行四边形的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
分析：（1）先证得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以
AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得．
（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．
解答：（1）证明：∵BD垂直平分AC，
∴AB=BC，AD=DC，
在△ADB与△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS）
∴∠BCD=∠BAD，
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD，
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，
∴▱ABDF是菱形，
∴AB=BD=5，
∵AD=6，
设BE=x，则DE=5﹣x，
∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，
即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2
解得：x=，
∴=，
∴AC=2AE=．
点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用．
19．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：几何图形问题．
分析：（1）根据题意得：BD∥AE，从而得到∠BAD=∠ADB=45°，利用BD=AB=60，求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；
（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60，在
Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF，然后即可求得CD的长．
解答：解：（1）根据题意得：BD∥AE，
∴∠ADB=∠EAD=45°，
∵∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠ADB=45°，
∴BD=AB=60，
∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；
（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，
∴AF=BD=DF=60，
在Rt△AFC中，∠FAC=30°，
∴CF=AF•tan∠FAC=60×=20，
又∵FD=60，
∴CD=60﹣20，
∴建筑物CD的高度为（60﹣20）米．
点评：考查解直角三角形的应用；得到以AF为公共边的2个直角三角形是解决本题的突破点．20．如图，直线y=mx与双曲线y=相交于A、B两点，A点的坐标为（1，2），AC⊥x轴于C，
连结BC．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：（1）把A的坐标分别代入函数的解析式，即可求得k和m的值，从而求得函数解析式；（2）根据A和B关于原点对称，求得B的坐标，则三角形的面积即可求得；
（3）mx＞即写出对于相同的x的值，一次函数的图象在上边的部分对应的自变量的取值范围．解答：解：（1）把A（1，2）代入y=mx得m=2，则解析式是y=2x，
把A（1，2）代入y=得：k=2，
则解析式是y=；
（2）A的坐标是（1，2），则B的坐标是（﹣1，﹣2）．
则S△ABC=×2×4=4；
（3）根据图象可得：﹣1＜x＜0或x＞1．
点评：本题综合考查一次函数与反比例函数的图象与性质，同时考查用待定系数法求函数解析式．本题需要注意无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．
21．黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．
考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
专题：应用题．
分析：（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，根据“5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元”列出方程组解决问题；
（2）分情况：不大于20件；大于20件；分别列出函数关系式即可；
（3）设购进玩具a件（a＞20），分别表示出甲种和乙种玩具消费，建立不等式解决问题．
解答：解：（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，由题意得，
解得，
答：每件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元；
（2）当0＜x≤20时，
y=30x；
当x＞20时，
y=20×30+（x﹣20）×30×0.7=21x+180；
（3）设购进玩具a件（a＞20），则乙种玩具消费27a元；
当27a=21a+180，
则a=30
所以当购进玩具正好30件，选择购其中一种即可；
当27a＞21a+180，
则a＞30
所以当购进玩具超过30件，选择购甲种玩具省钱；
当27a＜21a+180，
则a＜30
所以当购进玩具少于30件，多于20件，选择购乙种玩具省钱．
点评：此题考查二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式的运用，理解题意，正确列式解决问题．
22．情景观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示，将将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是AD，∠CAC′=90°；
问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H，若AB=kAE、AC=kAF，探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．
考点：几何变换综合题．
分析：观察图2可知：可发现△ABC≌△AC′D，即可解题；
问题探究：易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解题；
拓展延伸：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．根据全等三角形的判定和性质即可解题．
解答：解：观察图2即可发现△ABC≌△AC′D，即BC=AD，∠C′AD=∠ACB，
∴∠CAC′=180°﹣∠C′AD﹣∠CAB=90°；
故答案为：AD，90；
问题探究：FQ=EP，
理由如下：
∵∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，
∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，
又∵AF=AC，
在△AFQ与△CAG中，
，
∴△AFQ≌△CAG（AAS），
∴FQ=AG，
同理EP=AG，
∴FQ=EP；
拓展延伸：HE=HF，
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q，
∵四边形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°，
又AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP．
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴AG：EP=AB：EA，
同理△ACG∽△FAQ，
∴AG：FQ=AC：FA，
∵AB=k•AE，AC=k•AF，
∴AB：EA=AC：FA=k，
∴AG：EP=AG：FQ，
∴EP=FQ，
又∵∠EHP=∠FHQ，∠EPH=∠FQH，
在Rt△EPH与Rt△FQH中，
，
∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS），
∴HE=HF．
点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形内角和为180°的性质，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证△AFQ≌△CAG是解题的关键．
23．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．
（3）在抛物线上是否存在点G，使△DGB为直角三角形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）已知了抛物线的解析式，当y=0时可求出A，B两点的坐标，当x=0时，可求出C点的坐标．根据对称轴x=﹣可得出对称轴的解析式．
（2）PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，得出两函数的值的差就是PF的长．根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m 的值．
（3）可将三角形BCF分成两部分来求：
一部分是三角形PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积．
一部分是三角形PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出三角形PFB的面积．
然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式．
解答：解：（1）令y=0，则﹣x2+2x+3=﹣（x+1）（x﹣3）=0，
解得x=﹣1或x=3，则A（﹣1，0），B（3，0）．
抛物线的对称轴是：直线x=1．
令x=0，则y=0，则C（0，3）．
综上所述，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线的对称轴是x=1；
（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．。