2020届全国百强中学新高考押题仿真模拟(十八)文科数学

2020届全国百强中学新高考押题仿真模拟（十八）
数学试卷（文科）
★祝你考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题相应答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题相应答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持答题卡卡面清洁，无污渍，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数z 满足3z i i +=-，则z = A. 12i -+ B. 12i -
C. 32i +
D. 32i -
【答案】C 【解析】
试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C. 【考点】 复数的运算，共轭复数
【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈的共轭复数是(,)a bi a b R -∈，据此先化简再计算即可. 【此处有视频，请去附件查看】
2.已知全集U =R ，集合A={x|x ＜﹣1或x ＞1}，则U C A = A. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B. （﹣∞，﹣1]∪ [1，+∞） C. （﹣1，1） D. [﹣1，1]
【答案】D
【解析】 【分析】
直接进行补集的运算即可． 【详解】∵A={x|x ＜﹣1或x ＞1}， ∴U C A = [﹣1，1] 故选D
【点睛】本题考查描述法、区间表示集合，以及补集的运算，属于基础题． 3.命题“0x ∀>，1
ln 1x x
≥-”的否定是
A. 0x ∀>，1
ln 1x x
<-
B. 00x ∃>，00
1ln 1x x <-
C. 00x ∃≤，00
1ln 1x x <- D. 0x ∀>，1ln 1x x
≤-
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 【详解】命题“0x ∀>，1
ln 1x x
≥-”的否定是“00x ∃>，001ln 1x x <-”.
故选B
【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题． 4.在如图的程序框图中，若输入m =77，n =33，则输出的n 的值是
A. 3
B. 7
C. 11
D. 33
【答案】C 【解析】
这个过程是7723311=⨯+，33311=⨯，故所求的最大公约数是11． 5.在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m （m ＞0）的概率为7
8
，则m 的值等于 A.
72
B. 3
C. 4
D. ﹣2
【答案】C 【解析】 【分析】
求出原区间长度，分类求出满足|x|≤m（m ＞0）的解集的区间长度，由长度比为7
8
列式求得m 值． 【详解】区间[﹣3，5]的区间长度为5﹣（﹣3）=8， 当0＜m≤3时，
满足|x|≤m（m ＞0）的解集的区间长度为2m ，
又在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m（m＞0）的概率为7
8，
∴2
8
m
=
7
8
，得m=
7
2
（舍）；
当3＜m≤5时，满足|x|≤m（m＞0）的解集的区间长度为m+3，
又在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m（m＞0）的概率为7
8，
∴
37
88
m+
=，得m=4．
∴m的值等于4．
故选C．
【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
6.《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为
A. 2
B. 2
3
C. 1
D. 462
+
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图中的数据求出几何体的体积．【详解】根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC﹣A′B′C′，
22
11
+2，斜边为2，
且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，
∴几何体的体积为V=Sh=1
2
22
故选A．
【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”
的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
7.已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=6，a 4+a 5=48，则数列{a n }前8项的和S 8为 A. 510 B. 126
C. 256
D. 512
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等比数列的通项公式建立方程关系求出首项和公比，结合前n 项和公式进行计算即可．
【详解】由a 1+a 2=6，a 4+a 5=48得1134
1
16
48a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩得a 1=2，q=2， 则数列{a n }前8项的和S 8=(
)821212
--=510，
故选A ．
【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：
①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素1a 和q ，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解． ②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解． ③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．
④化基本量求和．直接将基本量代入前n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解．
8.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，()()11f x f x +=-+，且当01x ≤≤时，()tan f x x =，则下列结论正确的是 A. ()32123f f f ⎛⎫⎛⎫
-
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B. ()13322f f f ⎛⎫⎛⎫
-
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C. ()22313f f f ⎛⎫⎛⎫
<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D. ()13223f f f ⎛⎫⎛⎫
<-
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可知f （x ）关于直线x=1对称且周期为4，然后想法设法把自变量转化到单调区间[]
0,1上，即可比
较大小.
【详解】∵R 上的奇函数f （x ）满足：()()11f x f x +=-+， 可知：函数f （x ）的图象关于直线x=1对称．
∴f（2+x ）=f （﹣x ）=﹣f （x ），∴f（x+4）=f （x ），因此函数f （x ）的周期T=4． ∴11022f f ⎛⎫
⎛⎫
-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＜，()()()()334110f f f f =-=-=-＜， 3111112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＞0， 又()f x 在[]
0,1上单调递增，∴()112f f ⎛⎫
⎪⎝⎭＜，即()132f f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
＞ 故选D
【点睛】本题考查大小的比较，考查函数的对称性与周期性，解题关键是利用函数性质把问题归结为同一个单调区间上的大小问题，属于中档题.
9.已知0a >，实数x ，y 满足()133x x y y a x ⎧≥⎪
+≤⎨⎪≤-⎩
，若z=3x +y 最小值为1,则a 的值为
A. 1-
B. 1
C. 3
2
-
D. 1-或1
【答案】B 【解析】 【分析】
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z 的最优解，然后确定a 的值即可． 【详解】作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=3x+y ，得y=﹣3x+z ，
平移直线y=﹣3x+z ，由图象可知当直线y=﹣3x+z 经过点C 时，直线y=﹣3x+z 的截距最小，此时z 最小． 即3x+y=1，
由131x x y =⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩
，
即C （1，﹣2），
∵点C 也在直线y=a （x ﹣3）上， ∴﹣2=﹣2a ， 解得a=1． 故选B ．
【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
10.已知抛物线24y x =的一条弦AB 经过焦点,F O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且3OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过N M ， 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,?C D ,则CD 的最小值为 A. 4 B. 6
C. 8
D. 10
【答案】A 【解析】
【分析】
设直线AB 的方程为x=my+1，代入抛物线y 2=4x ，可得y 2﹣4my ﹣4=0，CD =2122
1112
333y y y y =+﹣，利用基本不等式即可得出结论．
【详解】设直线AB 的方程为x=my+1，代入抛物线y 2=4x ，可得y 2﹣4my ﹣4=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=﹣4， ∴CD =
2122
1112
333y y y y =+﹣≥4，当且仅当y 2=6时，取等号， 即CD 的最小值为4， 故选：A ．
【点睛】本题考查|EG|的最小值的求法，具体涉及到抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
11.向量a b c r r r ，，满足：()4,0a =r ，()4,4b =r ，()()
0a c b c --=r r r n r ，则b c r n r 的最大值是
A. 24
B. 24-
C. 24+
D. 【答案】C 【解析】 【分析】
设()y c x =r
，，结合条件易得()()2
2
424x y -+-=，利用三角换元法表示b c r n r
，由正弦型函数的有界性
得到结果.
【详解】设()y c x =r ，，则()4y a c x -=--r r
，
，()44y b c x -=--r r ， 又()()
0a c b c --=r r r
r n ，
∴()()2
2
424x y -+-=
设42y 22sin θx cos θ=+=+，
则244b c πθ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭n r r
∴当4
π
θ=时，b c r n r
的最大值是2482+
故选C
【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数. 12.若关于x 的不等式1
2
22
x e e x m ex +-
+>+（其中e 为自然对数的底数，0,x m Z >∈）恒成立，则m 的最大值为 A. 4 B. 5
C. 3
D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】
变量分离可得1
22x e e
x +-
﹣ex+2＞m ，构造新函数h （x ）=122
x e
e x +-﹣ex+2，（x ＞0），研究其最值即可. 【详解】由题意可得：1
22
x e e x +-﹣ex+2＞m
设h （x ）=1
22
x e e x +-﹣ex+2，（x ＞0），
则h′（x ）=e x+1﹣ex ﹣e ，
令p （x ）=h′（x ）=e x+1﹣ex ﹣e ，则p′（x ）=e x+1﹣e ，
当x ＞0时，恒有p′（x ）＞0，∴函数h′（x ）在区间（0，+∞）为增函数， ∴h′（x ）＞h′（0）=0，
∴函数h （x ）在区间（0，+∞）上是增函数， ∴x＞0时，h （x ）＞h （0）=e+2≈4.72， 又1
12e +﹣
2122e ⨯﹣ln 1
4.852
≈， ∴整数m 的最大值为4．
【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
5log =_________.
【答案】5 【解析】 【分析】
由对数运算及根式运算可得结果. 【详解】
5log 25235+=+=,
故答案为5
【点睛】本题考查了对数式的运算性质，考查了算术平方根的性质，属于基础题.
14.直线:2(l y x =过双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>> 的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，
则C 的离心率为_____________
． 【解析】
【
分析】
结合双曲线的性质
b
a
=2，0=(2c ，求出a ，c 即可． 【详解】过双曲线C ：22
22x y a b
-=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±b a x ，
因为过双曲线C ：22
22x y a b
-=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 的直线l ：(2y x =与C 只有一个公共点，
所以
b
a
=2，0=(2c ， 又因为a 2+b 2=c 2，
解得a=1， 所以e=
c
a
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c 的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式，转化为a,c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．
15.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若134,12AB AC AB AC AA ==⊥=,,,则球O 的直径为________． 【答案】13 【解析】
【详解】因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC，AA 1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，
△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心，即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长，
因为AB=3，AC=4，BC=5，BC 1， 所以球的半径为：13． 故答案为：13
点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．
16.函数2()2cos (0)2
x
f x x ωωω=->，已知()f x 在区间2(,)33
ππ
-
恰有三个零点，则ω的范围为
_______. 【答案】7
(3,]2
【解析】 【分析】
化简得到()216f x sin x πω⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭，令t ?
6x πω=-，即1
2
sint =恰有三个实根，分成两类分别讨论即可得到ω的范围.
【详解】由题意可得(
)2
2cos
12126x
f x x x cos x sin x ωπωωωω⎛
⎫=-=--=-- ⎪⎝
⎭， 令t ?
6
x π
ω=-，即1
2
sint =
恰有三个实根， 三根为：①
()52221666
k k k π
ππ
πππ++++，，； ()()5522121666
k k k ππππππ+++++②，，，k Z ∈
∵0ω>，∴263636x π
π
πππωωω⎛⎫-
∈--- ⎪⎝⎭
， ∴()()()52126366
2521216
366k k k k π
ππππωππππππωπ⎧++-≤--<+⎪⎪⇒⎨⎪++<-≤++⎪⎩，无解；，
或()()56361226366
91352332122226
366k k k k k k k k ππππωπωπππππωπωπ⎧
--<≤--+≤--<+⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨+<≤+⎪⎪++<-≤++⎩⎪⎩，，，
当k=-1时，解得ω的范围为73,2⎛⎤
⎥⎝⎦
故答案为73,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【点睛】（1）研究函数()sin y A x ωϕ=+时，要把x ωϕ+看为一个整体，并结合函数sin y x =的性质求解，在研究单调性时要注意ω的符号对单调性的影响．
（2）对于函数零点个数的问题，可转化为函数图象公共点的个数问题处理，解题时需要画出函数图象的草图，并根据参数取值的不同情况进行逐一分析、判断，然后得解．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17.迈入2018年后，直播答题突然就火了.在1月6号的一场活动中，最终仅有23人平分100万，这23人
可以说是“学霸”级的大神.随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表：
(1)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？
(2)已知在参与调查的1000人中，有20%曾参加答题游戏瓜分过奖金，而男性被调查者有15%曾参加游戏瓜分过奖金，求女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率.
参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
．
临界值表：
【答案】（1）见解析；（2）0.275
【解析】
【分析】
（1）根据列联表中数据计算K2的值，对照临界值得出结论；（2）利用古典概型公式即可得到结果.
【详解】（1）依题意，2
K观测值
()2
1000360120240280125
7.879
60040064036012
k
⨯⨯-⨯
==>
⨯⨯⨯
，
故可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系；（2）由题意，参与答题游戏获得过奖励的人数共有100020%200
⨯=人；
其中男性被调查者获得过奖励的人数为60015%90
⨯=人，
故女性调查者获得过奖励人数为110人，记女性被调查者参与游戏瓜分过奖励为事件A，
则()110
0.275400
P A =
=.
所以女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率为0.275.
【点睛】独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式
()
()()()()
2
2n ad bc K a b a d a c b d -=
++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.
（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.） 18.如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a C c b -=．
(1)求角A 的大小； (2)若6
ABC π
∠=，AC 边上的中线BD 35ABC ∆的面积． 【答案】（1）23
π
；（2）53【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理化简即可求解A 的大小； （2）根据角A 和∠ABC=6
π
，可得角C 的值，可得AB=AC ，利用余弦定理，即可求解AD ，即可求解△ABC 的面积
【详解】(1)由2cos 2a C c b -=． 正弦定理，可得2sin cos sin 2sin A C C B -= 即()2sin cos sin 2sin A C C A C -=+ 可得：sin 2sin cos C C A -=
sin 0C ≠Q 1
cos 2A ∴=-
()0,A π∈则23
A π
=
（2）由（1）可知23A π=．6ABC π∠= 6
C π
=
则AC AB =．
设AD x =，则2AB x =，
ABD ∆中利用余弦定理：可得．2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅
即2735x =，可得5x =，
故得ABC ∆的面积212
4sin 5323
S x π=
⨯⨯=． 【点睛】解三角形的基本策略
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
19.某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成频率分布直方图如下：
（Ⅰ）若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50件的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50件的天数；
（Ⅱ）若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1200元，每售出一件利润为50元，求该门市一天获利不低于800元的概率；
（Ⅲ）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）． 【答案】（1）80；（2）0.38；（3）52.35 【解析】 【分析】
(1)由频率分布直方图即可得到过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50件的天数； (2) 由题意，设该门市一天售出x 件，则50x ≥ ，设该门市一天获利不低于800元为事件A ，则
()()50P A P x =≥，从而得到结果；
(3)利用频率分布直方图估计该服装店网店销售量中位数.
【详解】（1）由题意，网店销量都不低于50件共有()0.0680.0460.0100.008510066+++⨯⨯=（天），实体店销售量不低于50件的天数为()0.0320.0200.0122510038++⨯⨯⨯=（天），实体店和网店销售量都不低于50件的天数为1000.24=24⨯（天），
故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66+382480-=（天） （2）由题意，设该门市一天售出x 件，则获利为50170080050x x -≥⇒≥ . 设该门市一天获利不低于800元为事件A ，则
()()()500.0320.0200.0120.01250.38P A P x =≥=+++⨯=.
故该门市 一天获利不低于800元的概率为0.38..
（3）因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为
()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<，
销售量低于55的直方图面积为()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++⨯=> 故网店销售量的中位数的估计值为0.5-0.34
50+
552.350.34
⨯≈（件）
【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
20.已知椭圆C 的两个顶点分别为()()A 2,0,2,0B - ，焦点在 x （1）求椭圆C 的方程
（2）设12,F F 为C 的左、右焦点，Q 为C 上的一个动点，且Q 在x 轴的上方，过2F 作直线1l FQ P ，记l 与C 的交点为P 、R ，求三角形PQR 面积的最大值.
【答案】（1）2
214
x y +=；
（2）2
【解析】 【分析】
（1）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c ，则b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程；
（2）设PR ：3x ty =+，代入椭圆方程可得(
)
2
2
42310t y ty ++-=，利用韦达定理表示S ＝
21431
2t PR d ⋅+⋅=，借助基本不等式求最值即可. 【详解】（1）32,
2
c a a ==
Q ∴
3,1c b == ∴
（2）因为1QPR F PR S S =
因为l 不与y 轴垂直，设PR ：3x ty =+ ()()1122,,,P x y Q x y
所以223
14
x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去x 有：()22
42310t y ty ++-=
由弦长公式可得：()
2222
41161614
t t PR t t ++=+=+ 又因为点1F 到直线l 的距离2
231d t
=
+所以S ＝222143143
211
t PR d t t ⋅+⋅==
++
因为t R ∈
≥
t =等号成立）
所以max 2S =
【点睛】在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围. 21.已知函数()ln m x
f x x
=
， ()()1g x n x =-+，其中0mn ≠ （1）若1m n ==，求()()()h x f x g x =+的单调区间；
（2）若()()0f x g x +=的两根为12,x x ，且12x x >，证明：
()1212
2
0g x x m x x ++<+. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
(1) 由已知得()()()ln 1x h x f x g x x x =+=
--，()()
221
'1ln h x x x x
=--,解不等式即可得到单调区间；（2）由题意可得()()1
1212221
ln
g 1x x x n x x x m m x x +-++==-，要证()1212
2
0g x x m x x ++<+，即证：1
22112
ln 20x x x x x x +<-+，即证：112
12
2
21ln
+01x
x x x x x ->+（）. 【详解】（1）由已知得()()()ln 1x
h x f x g x x x
=+=--， 所以()()
222
1ln 1
'11ln x h x x x x x
-=
-=--， 当01x <<时， 22
10,ln 0,1ln 0x x x x ->->∴-->Q ； 当1x >时， 2
2
10,ln 0,1ln 0x x x x -<-<∴--<Q ．
故()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞． （2）依题意()1
11
ln 1x m
n x x =+，()
2111ln +...m x n x x ∴=①， 同理，(
)
2
222ln +...m x n x x =② 由①-②得，()
()()221
112212122
ln
+1x m n x x x x n x x x x x =--=-++， ()()
121212ln
1x m x n x x x x ∴++=-，()()1
1212221ln g 1x
x x n x x x m m x x +-++==
-，
要证
()1212
2
0g x x m
x x ++<+，即证：1
22112
ln
20x x x x x x +<-+，
即证：1
12
1
2
2
21ln
+01x x x x x x -
>+（）
， 令1
21x t x =
>，即证()1ln +20,11
t p t t t t -=>∀>+． ()()()()
2
22
114'011t p t t t t t -=-=>++Q ， ()p t ∴在区间[)1,+∞上单调递增，
()()10,1p t p t ∴>=∀>成立．故原命题得证．
【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
22.在平面直角坐标系xoy ，曲线1:40C x y +-=，曲线2cos :1sin x C y θ
θ=⎧⎨=+⎩
（θ为参数），以坐标原点O 为
极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线:0,02l a a πθρ⎛⎫
=≥<<
⎪⎝
⎭
分别交1C ，2C 于M ，N 两点，求
ON
OM
的最大值. 【答案】（1）cos sin 40ρθρθ+-=，2sin ρθ=；（2）21
4
+ 【解析】 【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化； （2）利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值． 【详解】（1）因为
，
，
，
所以 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-= ， 因为 的普通方程为 ，
即 ，对应极坐标方程为
．
（2）因
射线:(0,0)2
l π
θαρα=≥<<
，则()()12,,,M N ραρα ，
则124
,2sin sin cos ρρααα
=
=+，所以()211sin sin cos 2OM ON ραααρ==+ ＝
21sin 2444πα⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭ 又
，32,444
π
ππ
α⎛⎫-
∈- ⎪⎝⎭
， 所以当 24
2
π
π
α-
=
，即38πα=
时，OM ON 取得最大值 21
4
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用． 23.已知函数()13f x x x =-+- （1）解不等式()1f x x ≤+；
（2）设函数()f x 的最小值为c ，实数ab 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22
111
a b
a b +≥++.
【答案】（1）[]1,5；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）对x 按1x <，13x ≤≤，3x ≥进行分类讨论，去掉绝对值，得到不等式的解集；（2）根据绝对值三角不等式得到()f x 最小值c 的值，再令1a m +=，1b n +=，由基本不等式进行证明.
【详解】①当1x <时，不等式可化为421x x -≤+，1x ≥.
又1x <Q ，x ∴∈∅；
②当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，1x ≥.
又13x ≤≤Q ，13x ∴≤≤.
③当3x >时，不等式可化为241x x -≤+，5x ≤.
又3x >Q ，35x ∴<≤.
综上所得，15x ≤≤.
∴原不等式的解集为[]1,5.
（2）证明：由绝对值不等式性质得，
()13(1)(3)2f x x x x x =-+-≥-+-=，
2c ∴=，即2a b +=.
令1a m +=，1b n +=，则1m >，1n >，
1a m =-，1b n =-，4m n +=，
2222
(1)(1)11a b m n a b m n
--+=+++ 21144412m n m n mn m n =+-++=≥=+⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 原不等式得证．
【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式，利用基本不等式进行证明，属于中档题.。