2020年重庆忠县中学高二数学文期末试题含解析

2020年重庆忠县中学高二数学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （12分）已知命题：方程有两个不等负根；命题：无实根，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围。

参考答案：
2. 对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是()
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
参考答案：
B
3. 若、为实数，则下面一定成立的是（）
A．若,则 B．若,则
C．若,则 D．若,则
参考答案：
C
4. 从中任取个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：B
略
5. 一个人打靶时连续射击两次，事件
“至少有一次中靶”的互斥事件是（）
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
参考答案：
D
6. 用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个大于或等于60°”时，应假设（）
A. 三个内角都小于60°
B. 三个内角都大于或等于60°
C. 三个内角至多有一个小于60°
D. 三个内角至多有两个大于或等于60°
参考答案：
A
分析：写出原结论的命题否定即可得出要假设的命题．
详解：原命题的否定为：三角形三个内角都小于60°，故选A.
点睛：本题考查了反证法与命题的否定，属于基础题．
7. 若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为
A． B． C．
D．1
参考答案：
B
略
8.
A. B.
C. D.
参考答案：
B
9. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，
，则( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
10. △的三边满足，则∠C等于 ( )
A.15︒
B. 30︒
C.45
︒ D.60 ︒
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在正方体中，分别为棱和的中点，则sin〈，〉的值为________．
参考答案：
12. 关于曲线x3- y3 + 9x2y + 9xy2 = 0，有下列命题：①曲线
关于原点对称；②曲线关于x轴对称；③曲线关于y轴对称；④曲线关于直线y = x对称；其中正确命题的序号是________。

参考答案：
①
略
13. 已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A 、B 两点，则AB的长
为
．
参考答案：
椭圆的右焦点为 (1,0)，直线的方程为y=(2x-1)，代入椭圆方程，可得，解得x=0或，即有交点为，则弦长为，故答案为.
14. 设,是纯虚数,其中是虚数单位,则.
参考答案：
-2
试题分析：由题意，
考点：纯虚数的概念，复数相等的条件
15. 若直线ax＋y＋2＝0与直线x－y－2＝0平行，则实数a的值为_____________．
参考答案：
略
16. 某处有水龙头3个，调查表明每个水龙头被打开的可能性是0.1，随机变量X表示同时被打开的水龙头的个数，则_______（用数字作答）.
参考答案：
0.027
【分析】
根据二项分布概率计算公式计算出的值.
【详解】由于每个龙头被打开的概率为，根据二项分布概率计算公式有
.
【点睛】本小题主要考查二项分布的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题.
17. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的中点的纵坐标为2，则线段长为．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（3）求二面角B﹣DC﹣B1的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．只要证明，即可证明
AC⊥BC1．
（2）设CB1∩C1B=E，则E（0，2，2），可得，即DE∥AC1，即可证明AC1∥平面CDB1．（3）设平面CDB1的一个法向量为=（x，y，z），则，可求得平面CDB1的一个法向量为．取平面CDB的一个法向量为，利用=即可得出．【解答】（1）证明：∵直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），
D．
∵，∴，即AC⊥BC1．
（2）证明：设CB1∩C1B=E，则E（0，2，2），，
∴，即DE∥AC1，∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．
（3）解： =，设平面CDB1的一个法向量为=（x，y，z），则，则，
可求得平面CDB1的一个法向量为=（4，﹣3，3）．
取平面CDB的一个法向量为，
则===．
由图可知，二面角B﹣DC﹣B1的余弦值为．
19. (本小题满分12分)如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、
PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若∆PDA＝45︒，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
参考答案：
解：证明：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，
BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，
D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c)
∵E为AB的中点，F为PC的中点
∴E(a, 0, 0)，F(a, b, c) …………4分
（1）∵＝(0, b, c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0) ∴＝(＋)
∴与、共面
又∵E?平面PAD
∴EF∥平面PAD．…………6分
（2）∵＝(-2a, 0, 0)
∴·＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0
∴CD⊥EF．…………8分
（3）若∆PDA＝45︒，则有2b＝2c，即b＝c，∴＝(0, b, b)，＝(0, 0, 2b)
∴ cos〈，?＝＝
∴〈，?＝45︒
∵⊥平面AC，
∴是平面AC的法向量
∴EF与平面AC所成的角为：90︒－〈，?＝45︒．…………12分
略
20. （本小题满分12分）某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
（1）从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格，求乙班同学不及格的概率；
（2）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．
参考答案：
解：
（1）甲班有4人及格，乙班有5人及格．------2分
事件“从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格”记作，
事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作，
则．---------6分
（2）X取值为0,1,2,3 ----7分
；；
；．---10分
所以X的分布列为
所以．------12分
略
21. 运行如图所示的算法流程图，求输出y的值为4时x的值．
参考答案：
由框图知，该程序框图对应函数为
f(x)＝由f(x)＝4，可知x＝2.
22. (本小题满分14分)
已知椭圆,其左准线为，右准线为，抛物线以坐标原点为顶点，为准线，交于两点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求线段的长度.
参考答案：
（1）；（2）16。