【创新设计】2021-2021学年高中数学 2-3-2事件的独立性标准训练 苏教版选修2-3(1)

2.3.2 事件的独立性
双基达标 限时15分钟
1．已知A 、B 是彼此独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23
，那么P (A B )＝________；P (A B )＝________. 解析 P (A )＝12，∴P (A )＝12
， P (B )＝1－P (B )＝13
. ∵A 、B 彼此独立，∴A 与B ，A 与B 也彼此独立，
∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝16
， ∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝16
. 答案 16 16
2．以下事件A 、B 是彼此独立事件的是________．
①一枚硬币掷两次，事件A 表示“第一次为正面”，事件B 表示“第二次为反面” ②袋中有2白，2黑的小球，不放回的摸两球，事件A 表示“第一次摸到白球”，事件B 表示“第二次摸到白球” ③掷一枚骰子，事件A 表示“显现的点数为奇数”，事件B 表示“显现的点数为偶数” ④事件A 表示“人能活到20岁”，事件B 表示“人能活到50岁”
答案 ①
3．将一枚硬币持续抛掷5次，5次都显现正面朝上的概率是________．
解析 每一次显现正面朝上的概率为12，且它们彼此独立，因此P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132
. 答案 132 4．某篮球队员在竞赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中最多命中一次的概率为1625
，那么该队员每次罚球的命中率为________．
解析 设该队员每次罚球的命中率为p (其中0＜p ＜1)，那么依题意有1－p 2＝1625，p 2＝925
.又0＜p ＜1，因
此有p ＝35. 答案 35 5．有一道数学难题，在半小时内甲能解决的概率是12，乙能解决的概率为13，两人试图独立地在半小时解决，那么两人都未解决的概率为________．
解析 都未解决的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝13
. 答案 13
6．设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率别离为、和0.5.三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率．
解 设A k 表示“第k 人命中目标”，k ＝1,2,3.
那个地址，A 1，A 2，A 3独立，且P (A 1)＝，P (A 2)＝，P (A 3)＝.
从而，至少有一人命中目标的概率为1－P (A 1·A 2·A 3)＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝1－××＝.
恰有两人命中目标的概率为
P (A 1·A 2·A 3＋A 1·A 2·A 3＋A 1·A 2·A 3)
＝P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)
＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋
P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝××＋××＋××＝.
∴至少有一人命中目标的概率为，恰有两人命中目标的概率为.
综合提高 限时30分钟
7．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必需且只须在其当选做
一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12
.那么其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率为________．
解析 设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，那么甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A B ”，且事件A 、B 彼此独立
∴P (AB ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )
＝12×12＋⎝
⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12. ∴甲、乙两名学生选做同一道题的概率为12
. 答案 12
8．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率别离是,,，那么三人都达标的概率为________，三人中至少有一人达标的概率为________．
解析 每一个人是不是达标是彼此独立的，“三人中至少有一人达标”的对立事件为“三人均未达标”，设三人都达标为事件A ，三人中至少有一人达标为事件B ，那么P (A )＝××＝，P (B )＝1－××＝.
答案
9．某次知识竞赛规那么如下：在主办方预设的5个问题中，选手假设能持续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每一个问题的概率都是，且每一个问题的回答结果彼此独立，那么该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
解析 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都能够．因为每一个问题的回答结果彼此独立，故所求的概率为1××＝.
答案
10．从某地域的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15
，躯体关节构造合格的概率为14
，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是________(假定体型与躯体关节构造合格与否彼此之间没有阻碍)．
解析 两项都不合格的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝35
， ∴至少有一项合格的概率是1－35＝25
.
答案2 5
11．某课程考核分理论与实验两部份进行，每部份考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部份考核都是“合格”，那么该课程考核“合格”，假设甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率别离为,,，在实验考核中合格的概率别离为,,，所有考核是不是合格彼此之间没有阻碍．
(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
(2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)．
解记“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，记事件A i为A i的对立事件，i＝1,2,3.记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.
(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记C为事件C的对立事件，
P(C)＝P(A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3)
＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)
＝××＋××＋××＋××＝.
因此，理论考核中至少有两人合格的概率为.
(2)记“三个人该课程考核都合格”为事件D.
P(D)＝P[(A1·B1)·(A2·B2)·(A3·B3)]
＝P(A1·B1)·P(A2·B2)·P(A3·B3)
＝P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3)
＝×××××≈.
因此，这三个人该课程考核都合格的概率为.
12．如图，由M到N的电路中有4个元件，别离标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是.电流可否通过各元件彼此独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为.
(1)求p；
(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率．
解 记A i 表示事件：电流能通过T i ，i ＝1,2,3,表示事件：T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流．B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过．
(1)A ＝A 1·A 2·A 3，A 1，A 2，A 3彼此独立，
P (A )＝P (A 1·A 2·A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)
＝(1－p )3，又P (A )＝1－P (A )＝1－＝，
故(1－p )3＝，p ＝.
(2)B ＝A 4＋(A 4·A 1·A 3)∪(A 4·A 1·A 2·A 3)
P (B )＝P (A 4)＋P (A 4·A 1·A 3＋A 4·A 1·A 2·A 3)，
＝P (A 4)＋P (A 4)P (A 1)P (A 3)＋P (A 4)P (A 1)P (A 2)P (A 3)
＝＋××＋×××
＝ 1.
13．(创新拓展)甲、乙两人破译一密码，它们能破译的概率别离为13和14
，试求： (1)两人都能破译的概率；
(2)两人都不能破译的概率；
(3)恰有一人能破译的概率；
(4)最多有一人能破译的概率；
(5)假设要使破译的概率为99%，至少需要多少乙如此的人？
解 设事件A 为“甲能译出”，事件B 为“乙能译出”，那么A 、B 彼此独立，从而A 与B 、A 与B 、A 与B 均彼此独立．
(1)“两人都能译出”为事件AB ，那么
P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112
.
(2)“两人都不能译出”为事件A B ，那么
P (A B )＝P (A )P (B )＝[1－P (A )][1－P (B )]
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝12
.
(3)“恰有一人能译出”为事件A B ＋A B ，又A B 与A B 互斥，那么P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B )
＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )
＝13×⎝
⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝512. (4)“最多一人能译出”为事件A B ＋A B ＋A B ，且A B 、A B 、A B 互斥，故 P (A B ＋A B ＋A B )
＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＋P (A )P (B )
＝13×⎝
⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝1112. (5)设至少需n 个乙如此的人，而n 个乙如此的人译不出的概率为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－14n ，故n 个乙如此的人能译出的概率为1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－14n ≈99%. 解得n ＝16.
故至少需16个乙如此的人，才能使译出的概率为99%.。