§4.02 拉普拉斯变换的定义、收敛域
信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
(完整)拉普拉斯变换公式总结,推荐文档
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。
能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰逆变换 1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换： 正变换()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2） 定义域若0σσ>时，lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()stf t dt e +∞--⎰存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。
0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。
0σ与函数()f t 的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 11()0()[]()(0)n n n n r r nr d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt 在0-时刻的取值。
§4.02 拉普拉斯变换的定义、收敛域
tn −st ∞ n ∞ n−1 −st e = + ∫ t e dt −s 0 s 0
n ∞ n−1 −st = ∫ t e dt s 0 n n−1 n 所以 L t = L t s n =1
[ ]
∞
[ ]
[ ]
L[t] = ∫ t ⋅ e dt
−st 0
[ ]
[ ]
1 ∞ t de−st = − s ∫0
X
第
Hale Waihona Puke 三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
1 −st ∞ 1 = e L[u(t)] = ∫ 1⋅ e dt = 0 0 s −s
∞ −st
9 页
2.指数函数
Le
[ ]=∫
α − t
∞
0
3.单位冲激信号
∞ 0
∞
1 e e e dt = = − (α + s) 0 α + s
α − t −st
−(α+s) t
n ! 所以 L t = n+1 s
n
[ ]
⋯ ⋯
X
∞ −∞
X
第
2．拉氏逆变换
F(σ + jω) = ∫ f (t) e
∞ −(σ +jω) t
4 页
f 对于 (t) e
F 是 (σ + jω)的 傅里叶逆变换 1 ∞ −σ t f (t) e = F(σ + jω) ejω tdω 2π ∫−∞ σt 两 同 以e 边 乘 1 ∞ f (t) = F(σ + jω) e(σ +jω)t dω 2π ∫−∞ 其中 s =σ + jω ; 若 取常数， ds = jdω : σ取常数， 则
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 1、基本定义： ⎰∞∞--=dt e t x s X st )()(2、收敛域：（1）右边信号：−→−=<0)(0t x t t 时，极点右侧 （2）左边信号：−→−=>0)(0t x t t 时，极点左侧（3）双边信号：占有整个时间域的信号−→−带状区域 （4）时限信号：有限长信号，只在某一个时间区间不等于0，在其他所有时间内全为0−→−整个s 区域（意味着变换式中没有极点）4、拉式变换的主要性质：)()()()()()(11s X t x s X t x s X t x LLL−→←−→←−→← ROC: 21R R R5、用拉普拉斯变换分析与表征LTI 系统一个LTI 系统输入和输出的拉普拉斯变换是通过乘以系统单位冲激响应的拉普拉斯变换联系起来的，即)()()(s X s H s Y =当ωj s =时，)(s H 就是这个LTI 系统的频率响应；在拉普拉斯变换范畴内，一般称)(s H 为系统函数或转移函数（1）因果性（2）稳定性6、由线性常系数微分方程表征的LTI 系统 见504P7、系统函数的代数属性与方框图表示两系统级联：单位冲激响应 )()()(21t h t h t h *=→)()()(21s H s H s H=两系统并联：单位冲激响应 )()()()()()(2121s H s H s H t h t h t h +=→+=两LTI 系统的反馈互联：)()(1)()()()(211s H s H s H s H s X s Y +==−→−+)(t x )(t y8、单边拉式变换：重要价值在于求解非零状态下的系统响应⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰+-∞-ωσωσπj j st st ds e s X t x dte t x s X )(21)()()(0 收敛域：要么在极点的右半平面，要么是整个s 平面（1）单边拉普拉斯变换性质（2）利用单边拉普拉斯变换求解微分方程 见518P。
(完整版)拉普拉斯变换
t
Re(s) 0
4)卷积特性（convolution）
若 则有
f1 (t) L F1 (s) f 2 (t) L F2 (s)
Re( s) s 1 Re( s) s 2
f1 (t) f 2 (t) L F1 (s)F2 (s) Re( s) max( s 1,s 2 )
L[ f1(t) f2 (t)] 0
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
0 T 2T 3T
t
定义：f1
(t)
f 0
(t
)
0t T 其它
单边周期信号
f (t)
k 0
f1(t - kT)u(t - kT)
L[ f (t)]
k 0
e-skT F1(s)
F1(s) 1- e-sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1
01
2345 周期方波信号
L[u(t) - u(t -1)] 1- e-s s
F(s) 1- e-s s
1 1- e-2s
1 s(1 e-s )
若
f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (at) L 1 F ( s ) aa
a 0, Re( s) as 0
L[ f (t)]
0-
f (at)e-st dt
1 a 0-
f
-st
(t)e a dt
1
F(
拉普拉斯
一.拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是f(t)从时域到复频域F(S)的积分变换。
设f(t)在t>=0上有定义,则称为函数f(t)的拉普拉斯变换,简称拉氏变换.S为复平面上某一收敛范围.式中的f(t)：像原函数；F(S)：f(t)在S域中的像函数。
二.拉氏变换存在定理必须满足2个条件(1) t<0时, f(t)=0. t>=0时, f(t)至少分段连续.(2) 当t→+∞时, f(t)的增长速度不超过某一指数函数. 即存在常数M>0, c0>0,使| f(t)|<=Mec0t.其中: c0称为增长指数.由上可知, 物理学和工程技术中常见的函数大都能满足这两个条件.三. 一些常用函数的拉氏变换四. 拉氏变换的性质2．微分定理1、线性定理()()()()()()()()()()1122121212,:L f t F S L f t F S L af t bf t aL f t bL f t aF S bF S ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦±=±=±⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()L f t F S =⎡⎤⎣⎦对于微分定理有以下推论：3，积分定理6卷积定理五. 拉氏反变换方法一，利用定义方法二. 利用卷积定理方法三. 用部分分式法通常：m ≤ nm=n 时：设法把F(S)分解成若干个较简单的、能够从表中 查到的项的和，通过查表或对照常用函数的拉氏 变换公式和性质，可直接得到所求的原函数101101()()()m m mn n na S a S a N S F S D Sb S b S b --+++==+++ 101()()()()N S F S F S D S =+。
(完整)拉普拉斯变换公式总结,推荐文档
[
f1 (t )
f2 (t)]
1 2
j
[F1(s)
F2 (s)]
=
1 2
j
j
j F1( p)F2 (s p)dp
3. 拉普拉斯逆变换 （1） 部分分式展开法
首先应用 海维赛展开定理将 F (s) 展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，
最后叠加起来即得到原函数 f (t) 。
（2）留数法
1
1s s2
1 es 1 es
2
本文例 4-3下载后请自行对内容图4-2编（c） 辑修改删除，
应用微分性质求图 4-3（a）中 f1t , f2 (t), f3t 的象函数下面说明应用微分性质应注意的
问题，图 4-3（b）f1t , f2 t, f3t是的导数f1t , f2t , f3t 的波形。
1 t estd t 2 2 t estd t
0
1
1
t 1 est 1 1 estd t 2 1 estd t 2 t estd t
s
0
s 0
0
1
1 es s
1 s2
es
1 s2
2 e2s s
2 es s
2 e2s s
1 s2
es
1 s2
1 es
2
方法二：利用线性叠加和时移性质求解 由于
F
(s) 则 [ df (t)] dt
sF (s)
f (0 )
[
d
nf dt
(t)
n
]
sn
F
(s)
n1 r0
s n r 1
f
(r
)
(0
)
式中
如何理解拉普拉斯变换
如何理解拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是数学中的一个重要工具，可以用来转换微分方程为代数方程，简化计算。
拉普拉斯变换将一个时域函数f(t)转换为复频域函数F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换的定义式为：
F(s)=∫[0,∞)e^(-st)f(t)dt
其中，e^(-st)是一个指数函数，用来加权每个时刻t的值。
拉普拉斯变换的收敛条件是f(t)是一个因果、有界、连续函数，且在某个有限的时间段内f(t)的绝对值不超过一个指数函数。
如果满足这些条件，就可以利用拉普拉斯变换求解微分方程和积分方程，求解信号的时域和频域响应，并进行系统分析和设计等。
在实际应用中，拉普拉斯变换有很多重要的性质，如线性性、时移性、频移性、微分性、积分性、卷积性、初值定理和终值定理等。
这些性质可以用来简化计算，提高效率，并且方便实际应用。
此外，拉普拉斯变换还有一些重要的应用，如控制系统分析与设计、信号处理、通信系统、电路分析等。
由于拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，因此掌握拉普拉斯变换的理论和应用非常重要，对于工程、科学和技术领域的研究和实际应用有着重要的意义。
- 1 -。
信号与系统第四章知识点
第四章 拉普拉斯变换—连续信号s 域分析一、考试内容（知识点）1．拉普拉斯变换的定义及其性质、拉普拉斯逆变换； 2．系统的复频域分析法； 3．系统函数)(s H ；4．系统的零极点分布决定系统的时域、频域特性； 5．线性系统的稳定性；6．拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。
二、内容（知识点）详解1．拉普拉斯变换的定义、收敛域（1）变换式与反变换式dt e t f t f s F st -∞⎰-==0)()]([)(L ds e s F js F t f stj j ⎰∞+∞--==σσπ)(21)]([)(1L )(s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为)(s F 的原函数。
下限值取-0，主要是考虑信号)(t f 在t =0时刻可能含有冲激函数及其导数项也能包含在积分区间之内。
（2）收敛域在s 平面上，能使式0)(lim =-→∞t t e t f σ满足和成立的σ的取值范围（区域），称为)(t f 或)(s F 的收敛域。
2．常用时间函数的拉普拉斯变换（1）冲激函数 )()(t t f δ= 1)(=s F)()()(t t f n δ= n s s F =)(（2）阶跃函数 )()(t u t f = ss F 1)(= （3）n t （n 是正整数） t t f =)( 21)(s s F =2)(t t f = 32)(s s F =n t t f =)( 1!)(+=n s n s F（4）指数信号 t e t f α-=)( α+=s s F 1)(t te t f α-=)( ()21)(α+=s s F t n e t t f α-=)( ()1!)(++=n s n s F αt j e t f ω-=)( ωj s s F +=1)( （5）正弦信号、余弦信号系列)sin()(t t f ω= 22)(ωω+=s s F)cos()(t t f ω= 22)(ω+=s ss F)sin()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαω++=s s F)cos()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαα+++=s s s F )sin()(t t t f ω= 222)(2)(ωω+=s ss F )cos()(t t t f ω= 22222)()(ωω+-=s s s F )()(t sh t f ω= 22)(ωω-=s s F )()(t ch t f ω= 22)(ω-=s ss F （6） ∑∞=-=0)()(n nT t t f δ sT e s F --=11)(∑∞=-=00)()(n nT t f t f sTes F s F --=1)()(0 3．拉普拉斯变换的基本性质象函数)(s F 与原函数)(t f 之间的关系为：)]([)(t f s F L = （1）线性（叠加性）∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡ni i i n i i i s F a t f a 11)()(L ，其中i a 为常数，n 为正整数。
4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
dn n n LT[t f (t)] = (−1 ) n F(s) ds
17
4−1 求 列 函 的 氏 换 下 各 数 拉 变
(5) (1+2t)e
−t
LT [(1 + 2t )e − t ] = LT [e − t ] + 2 LT [te − t ] 1 d 1 = −2 ( ) s +1 ds s + 1 1 2 = + s + 1 ( s + 1) 2 s+3 = ( s + 1) 2
−1
8
2、当函数在t=0时刻出现跳变时，规定单 当函数在t=0时刻出现跳变时， t=0时刻出现跳变时 边拉氏变换定义式的积分下限从0 开始。 边拉氏变换定义式的积分下限从0-开始。
F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt
0− ∞
0-系统
4、冲激函数
∞ 0
f (t) =δ(t)
− st ∞ − st 0−
15
d 若 [ f (t)] = F(s),则 [ f (t)] = sF(s) − f (0−) LT LT dt
d LT[ 2 f (t)] = s2F(s) −sf (0−) − f '(0−) dt
d 1 LT [δ (t )] = LT [ u (t )] = sLT [u (t )] − u (0 − ) = s ⋅ − 0 = 1 dt s
2
对于不满足绝对可积条件的f (t ), 即 : lim f (t ) ⇒ ∞
t →∞
则其傅里叶变换不存在. [ f (t )为因果信号]
寻找一衰减函数 e −σt 使得 : lim f (t )e −σt = 0
拉普拉斯变换定义与收敛域.ppt
（如指数信号
eeata(ta(a00) )
）都满足狄里赫利条件（信号
f f(t()t)
双边带Laplace变换
X
第 12 页
双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂， 并且信号与其 双边拉普拉斯变换不一一对应，这就使其应用受到限制。
实际中的信号都是有起始时刻的(t＜t0时f(t)=0)，若起始时 刻t0=0, 则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变换的 积分下限为“0”，该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉 普拉斯变换收敛域简单，计算方便，线性连续系统的复频域 分析主要使用单边拉普拉斯变换。
第 1 页
第4章 连续时间系统的复频域分析
•1.拉普拉斯变换的定义 •2.拉普拉斯变换的性质 •3.系统复频域零极点分析 •4.系统复频域稳定性分析
X
第 2 页
第1节 拉普拉斯变换定义
•1.引言 •2.从傅立叶变换到拉普拉斯变换 •3.单边拉普拉斯变换定义(收敛域) •4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系
直线的右边区域，可表示为 Re[ s] 0
X
第 20
常用信号的单边拉普拉斯变换-1 页
X
第 21
常用信号的单边拉普拉斯变换-2 页
X
第 22
常用信号的单边拉普拉斯变换-3 页
X
第 23
单边拉普拉斯变换对-1 页
X
第 24
单边拉普拉斯变换对-2 页
X
第 25
单边拉普拉斯变换对-3 页
4 页
Fourier变换的局限性：
1）不是所有信号（如正指数信号）都满足狄里赫利条件 （信号 x(t) 必须绝对可积）而存在傅立叶变换。但是在 满足收敛条件下存在拉普拉斯拉斯变换；
§4.02 拉普拉斯变换的定义、收敛域
t
]
f (t ) e e
t
j t
dt
则
f (t ) e
( j ) t
d t F ( j )
令 : j s , 具有 (角) 频率的量纲, 称为复频率。
F s
f t e s t dt L [ f (t )]
t
( ) t
0
0, 0
收敛区
O
σ
X
说明
(1)例1到例3均满 足 lim f ( t )e
t t
第 9 页
0 ( 0 )
称 f ( t ) 为指数阶信号 ( 2) 有界的非周期信号的拉 氏变换一定存在 ( 0 ) n t (3) lim t e 0 0
所以
1 1 j st f (t ) F s e d s L [F ( s )] 2 π j j
j
X
第
3．拉氏变换对
F s L f t f t e s t d t 正变换 1 σ j 1 st F s e d s 逆变换 f t L F ( s ) 2 π j σ j
t
(4) e 等信号比指数函数增长 快，找不到收敛
t2
坐标， 为非指数阶信号，无法 进行拉氏变换。
X
3. 双边拉氏变换的收敛域
第
10 页
解： lim f (t )e
t
e f (t ) t e
t
t jω
t0 t0
t
, 为实数
拉普拉斯变换的定义
§ 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域主要内容从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换 1．拉普拉斯正变换[]t e et f t j td )(ωσ-+∞∞--⋅⎰te tf t j d )()(ωσ+-+∞∞-⋅=⎰则2．拉氏逆变换3．拉氏变换对:,)( ),( 依傅氏变换定义绝对可积条件后容易满足为任意实数乘以衰减因子信号σσt e t f -()[]=⋅=-tet f F F σω)(1)(ωσj F +=称为复频率。
具有频率的量纲令 , , :s j =+ωσ()()⎰∞∞--=t e t f s F t s d ()()()()()⎰⎰∞∞--∞∞-+-===+te tf s F t e t f j F t s t j d d ωσωσ()() 的傅里叶逆变换是对于ωσσj F e t f t +-()()⎰∞∞--+=ωωσπωσd 21tj t e j F e t f t e σ 以两边同乘()()()ωωσπωσd 21⎰∞∞-++=t j e j F t f ωσωσd d ; :j s j s =+=则取常数，若其中⎰⎰∞∞-∞+∞-⇒j j s σσω::对积分限：对()()⎰∞+∞-=∴j j t s s e s F j t f σσπd 21()()[]()()()[]()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎰⎰∞+∞--∞∞--j j t s t s s e s F j t f L t f t e t f t f L s F σσπ逆变换正变换 d 21 d 1()()te tf F t j d 0ωω-∞⎰=∴二．拉氏变换的收敛收敛域：使F (s )存在的s 的区域称为收敛域。
记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；例题及说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
§4.02拉普拉斯变换的定义、收敛域
>0,收敛域为S右半平面
收敛域为S平面>3的区域， 可表示为Re(s)>3的区域
X
第
说明
9
页
1.满 足 lim t
f
(t) e
t
0σ
σ0 的信号成为指数阶信号；
2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
3. lim tne t 0 0 t
4. lime te t 0 α t
对于单边信号f(t),若存在一个0,使
0时,
有
lim
t
f (t )e t
0,
则 f (t) e σ在t > 0的全部范围内满足绝对可积,Laplace变换存在.
收敛轴
jω 收敛区
收敛域：使F(s)存在的s的区 域称为 收敛域。记为：
收敛坐标 σ0 O
ROC(region of convergence) σ (实际上就是拉氏变换存在的
条件)
X
例题
第 8
页
计算下列信号Laplace变换的收敛域:
1、u(t) u(t )
收敛域为全S平面
2、 u(t)
>0,收敛域为S右半平面
3、sin(0 t)u(t)
>0,收敛域为S右半平面
4、 t的 正 次 幂 信 号: tu(t ), t n u(t )
5、 指 数 信 号e 3t u(t )
5.et2 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标， 为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
X
三．一些常用函数的拉氏变换
第 10
页
拉普拉斯变换公式总结
于是，根据卷积性质
而
所以
例4-3
应用微分性质求图4-3（a）中的象函数下面说明应用微分性质应注意的问题，图4-3（b） 是的导数的波形。
图4-3（a）
解答
说明
（1）对于单边拉氏变换, 故二者的象函数相同，即
因而
这是应用微分性质应特别注意的问题。
由图4-3（b）知
例4-4
某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。
为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出
阶跃响应
则
例4-5
电路如图4-5（a）所示
（1）求系统的冲激响应。
（2）求系统的起始状态使系统的零输
入响应等于冲激响应。
（3）求系统的起始状态，
解答
（1）求系统的冲激响应。
系统冲激响应 与系统函数 是一对拉氏变换的关系。对 求逆变换可求得 ，这种方法比在时域求解微分方程简便。
（4）最小相移函数
如果系统函数的全部极点和零点均位于s平面的左半平面或 轴，则称这种函数为最小相移函数。具有这种网络函数的系统为最小相移网络。
（5）系统函数 的求解方法
由冲激响应 求得，即 。
对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由 获得。
根据s域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为 。
拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
基本要求
通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。
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5 页
考虑到实际信号都是有起因信号：
所以
采用0系统, 相应的单边拉氏变换为
F ω f t e jω t d t
0
F s L f t f t e s t d t 0 1 σ j 1 f t L f t F s e s t d s 2π j σ j
F s
f t e s t dt
X
2．拉氏逆变换
对于f t e t 是F j 的傅里叶逆变换 1 t f t e F j e j t d 2π 两边同乘以 e t 1 f t F j e j t d 2π 其中: s j ; 若取常数， d s jd 则
X
三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
Lu( t )
0
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1 s t
2.指数函数
Le
α t
0
e
α t st
3.单位冲激信号
0
1 e e dt α s 0 α s
X
第
3．拉氏变换对
F s L f t f t e s t d t 正变换 1 σ j 1 F s e s t d s 逆变换 f t L f t 2π j σ j 记作 : f t F s f t 称为原函数， s 称为象函数。 F
§ 4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
主要内容
从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛 一些常用函数的拉氏变换
第 2 页
X
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1．拉普拉斯正变换
信号 f ( t ), 乘以衰减因子e t (为任意实数)后容易满足 绝对可积条件 依傅氏变换定义 : ,
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σ α
L t t e std t 1
0
全s域平面收敛
L t t0 t t0 e std t e st0
表4—1一些常见函数的拉氏变换
X
X
二．拉氏变换的收敛
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；
lim f ( t ) e σ t 0
t
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σ σ 0
收敛区
jω
收敛轴
收敛坐标 σ0
O
σ
X
例题及说明
1.满足 lim f ( t ) e t 0σ σ 0 的信号成为指数阶信号 ；
积分限：对 : 对s :
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F j
f t e
j t
dt F s
f t e s t dt
j
所以
1 f t F s e s t d s 2π j j
j j
F1 F f ( t ) e
t
f (t ) e e
t
j t
dt
f ( t ) e ( j ) t d t F ( j )
令 : j s , 具有频率的量纲 称为复频率。 ,
则
t
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2.有界的非周期信号的拉 氏变换一定存在；
3. lim t ne t 0
t
0
4. lime t e t 0
t
t2
α
5. e 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标 ， 为非指数阶信号，无法 进行拉氏变换。
6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。