上海宝钢新世纪学校初一数学压轴题专题

上海宝钢新世纪学校初一数学压轴题专题
一、七年级上册数学压轴题
1．阅读绝对值拓展材料：a 表示数a 在数轴上的对应点与原点的距离如：5表示5在数轴上的对应点到原点的距离而550=-，即50-表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：()5353+=--表示5、3-在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 之间的距离可表示为a b -． 回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是 ，如果A 、B 两点之间的距离为2，那么x = ．
（3）2x +可以理解为数轴上表示x 和 的两点之间的距离．
（4）23x x -+-可以理解为数轴上表示x 的点到表示 和 这两点的距离之和．21x x ++-可以理解为数轴上表示x 的点到表示 和 这两点的距离之和． （5）23x x -+-最小值是 ，21x x ++-的最小值是 ．
答案：（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3
【分析】
（1）根据两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）根据绝
解析：（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3
【分析】
（1）根据两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）根据绝对值的意义可得；
（4）根据绝对值的意义可得；
（5）分别得出23x x -+-和21x x ++-的意义，再根据数轴的性质可得．
【详解】
解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4；
（2）数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是|x+1|，
如果|AB|=2，即|x+1|=2，
∴x=1或-3；
（3）|x+2|可以理解为数轴上表示x 和-2的两点之间的距离；
（4）|x-2|+|x-3|可以理解为数轴上表示x 的点到表示2和3这两点的距离之和，
|x+2|+|x-1|可以理解为数轴上表示x的点到表示-2和1这两点的距离之和；
（5）由（4）可知：
当x在2和3之间时，|x-2|+|x-3|最小值是1，
当x在-2和1之间时，|x+2|+|x-1|的最小值是3．
【点睛】
本题考查的是绝对值的问题，涉及到数轴应用问题，只要理解绝对值含义和数轴上表示数值的关系（如：|x+2|表示x与-2的距离），即可求解．
2．已知数轴上，M表示－10，点N在点M的右边，且距M点40个单位长度，点P，点Q是数轴上的动点．
（1）直接写出点N所对应的数；
（2）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒向左运动，设点P、Q在数轴上的D点相遇，求点D的表示的数；（3）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒向右运动，问经过多少秒时，P，Q两点重合？
答案：（1）30；（2）15；（3）20秒
【分析】
（1）根据数轴上两点之间的距离得出结果；
（2）利用时间=路程÷速度和算出相遇时间，再计算出点D表示的数；
（3）利用时间=路程÷速度差算出相遇时间即
解析：（1）30；（2）15；（3）20秒
【分析】
（1）根据数轴上两点之间的距离得出结果；
（2）利用时间=路程÷速度和算出相遇时间，再计算出点D表示的数；
（3）利用时间=路程÷速度差算出相遇时间即可．
【详解】
解：（1）-10+40=30，
∴点N表示的数为30；
（2）40÷（3+5）=5秒，
-10+5×5=15，
∴点D表示的数为15；
（3）40÷（5-3）=20，
∴经过20秒后，P，Q两点重合．
【点睛】
本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握相遇问题和追击问题之间的数量关系．
3．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，其中39
、．若点
a c
==
A 与点
B 之间的距离表示为AB a b ，点B 与点
C 之间的距离表示为BC b c =-，点B 在点A C 、之间，且满足2BC AB = ．
（1）b = ； （2）若点M N 、分别从A 、C 同时出发，相向而行，点M 的速度是1个单位/秒，点N 的速度是2个单位秒，经过多久后M N 、相遇．
（3）动点M 从A 点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C 运动，设运动时间为t 秒，当点M 运动到B 点时，点N 从A 点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向C 点运动，N 点到达C 点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A ，问：在点N 开始运动后，M N 、两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出运动的时间t 的值以及此时对应的M 点所表示的数；如果不能，请说明理由．
答案：（1）5；（2）2秒；（3）当t 的值为6或2时，M 、N 两点之间的距离为2个单位，此时点M 表示的数为5或9．
【分析】
（1）用b 表示BC 、AB 的长度，结合BC=2AB 可求出b 值；
（2）根据相遇时间
解析：（1）5；（2）2秒；（3）当t 的值为6或2时，M 、N 两点之间的距离为2个单位，此时点M 表示的数为5或9．
【分析】
（1）用b 表示BC 、AB 的长度，结合BC=2AB 可求出b 值；
（2）根据相遇时间=相遇路程÷速度和，即可得出结论；
（3）用含t 的代数式表示出点M ，N 表示的数，结合MN=2，即可得出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
（1）∵39a c ==、．
又∵点B 在点A 、C 之间，且满足BC=2AB ，
∴9-b=2（b-3），
∴b=5．
（2）AC=9-3=6
6÷（2+1）=2，即两秒后相遇．
（3）M 到达B 点时t=（5-3）÷1=2（秒）；
M 到达C 点时t=（9-3）÷1=6（秒）；
N 到达C 时t=（9-3）÷2+2=5（秒）
N 回到A 点用时t=（9-3）÷2×2+2=8（秒）
当0≤t≤5时，N 没有到达C 点之前，
此时点N 表示的数为3+2（t-2）=2t-1；
M 表示的数为3+t
MN=21(3)4t t t --+=-=2
解得6t = （舍去）或2t =
此时M 表示的数为5
当5≤t≤6时，N 从C 点返回，M 还没有到达终点C
点N 表示的数为9-2（t-5）=-2t+19；
M 表示的数为3+t MN=219(3)316t t t -+-+=-=2
解得6t =或143
t =（舍去） 此时M 表示的数为9
当6≤t≤8时，N 从C 点返回，M 到达终点C
此时M 表示的数是9
点N 表示的数为9-2（t-5）=-2t+19；
MN=9(219)210t t --+=-=2
解得6t =
此时M 表示的数是9
综上所述：当t 的值为6或2时，M 、N 两点之间的距离为2个单位，此时点M 表示的数为5或9．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
4．在数轴上，点A 向右移动1个单位得到点B ，点B 向右移动()1n +（n 为正整数）个单位得到点C ，点A ，B ，C 分别表示有理数a ，b ，c ；
（1）当1n =时，
①点A ，B ，C 三点在数轴上的位置如图所示，a ，b ，c 三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能（ ）
A ．在点A 左侧或在A ，
B 两点之间 B ．在点
C 右侧或在A ，B 两点之间
C ．在点A 左侧或在B ，C 两点之间
D ．在点C 右侧或在B ，C 两点之间
②若这三个数的和与其中的一个数相等，求a 的值；
（2）将点C 向右移动()2+n 个单位得到点D ，点D 表示有理数d ，若a 、b 、c 、d 四个数的积为正数，这四个数的和与其中的两个数的和相等，且a 为整数，请写出n 与a 的关系式．
答案：（1）①C ；②-2或或；（2）当为奇数时，，当为偶数时，
【分析】
（1）把代入即可得出，，再根据、、三个数的乘积为正数即可选择出答案； （2）分两种情况讨论：当为奇数时；当为偶数时；用含的代数式表
解析：（1）①C ；②-2或32-或12-；（2）当n 为奇数时，32
n a +=-，当n 为偶数时，
22
n a +=- 【分析】
（1）把1n =代入即可得出1AB =，2BC =，再根据a 、b 、c 三个数的乘积为正数即可选择出答案；
（2）分两种情况讨论：当n 为奇数时；当n 为偶数时；用含n 的代数式表示a 即可．
【详解】
解：（1）①把1n =代入即可得出1AB =，2BC =， a 、b 、c 三个数的乘积为正数，
∴从而可得出在点A 左侧或在B 、C 两点之间．
故选C ；
②1b a =+，3c a =+，
当13a a a a ++++=时，2a =-，
当131a a a a ++++=+时，32
a =-， 当133a a a a ++++=+时，12
a =-； （2）依据题意得，1
b a =+，12
c b n a n =++=++，224
d c n a n =++=++． a 、b 、c 、d 四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，
0a c ∴+=或0b c +=．
22n a +∴=-或32
n a +=-； a 为整数， ∴当n 为奇数时，32n a +=-
，当n 为偶数时，22n a +=-． 【点睛】
本题考查了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
5．在数轴上，点A 代表的数是-12，点B 代表的数是2，AB 表示点A 与点B 之间的距离． （1）①若点P 为数轴上点A 与点B 之间的一个点，且AP=6，则BP=_____；
②若点P 为数轴上一点，且BP=2，则AP=_____；
（2）若C 点为数轴上一点，且点C 到点A 点的距离与点C 到点B 的距离的和是20，求C 点表示的数；
（3）若点M 从点A 出发，点N 从点B 出发，且M 、N 同时向数轴负方向运动，M 点的运动速度是每秒6个单位长度，N 点的运动速度是每秒8个单位长度，当MN=2时求运动时间t 的值．
答案：（1）①8；②16；（2）-15或5；（3）6或8
【分析】
（1）①根据题目要求，P 在数轴上点A 与B 之间，所以根据BP=AB-AP 进行求
解
②需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在
解析：（1）①8；②16；（2）-15或5；（3）6或8
【分析】
（1）①根据题目要求，P在数轴上点A与B之间，所以根据BP=AB-AP进行求解
②需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在数轴上点A与B之间时．当P在数轴上点A与B之间时，AP=AB-BP．当P不在数轴上点A与B之间时，此时有两种情况，一种是超越A点，在A点左侧，此时BP＞14，不符合题目要求．另一种情况是P在B点右侧，此时根据AP=AB+BP作答．
（2）根据前面分析，C不可能在AB之间，所以，C要么在A左侧，要么在B右侧．根据这两种情况分别进行讨论计算．
（3）分点M在点N的左侧和点M在点N的右侧，两种情况分别列出方程求解．
【详解】
解：（1）①∵AB总距离是2-（-12）=14，P在数轴上点A与B之间，
∴BP=AB-AP=14-6=8，
故答案为：8．
②P在数轴上点A与B之间时，AP=AB-BP=14-2=12；
当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB=14，所以P只能在B右侧，此时BP=2，
AP=AB+BP=14+2=16，
故答案为：16．
（2）假设C为x，
当C在A左侧时，AC=-12-x，BC=2-x，AC+BC=20，
则-12-x+2-x=20，解得x=-15，
当C在B右侧时，AC=x-（-12），BC=x-2，AC+BC=20，
则x-（-12）+x-2=20，解得x=5，
∴点C表示的数为-15或5；
（3）当M在点N左侧时，
2-8t-（-12-6t）=2，
解得：t=6；
当M在点N右侧时，
-12-6t-（2-8t）=2，
解得：t=8，
∴MN=2时，t的值为6或8．
【点睛】
本题考查了动点问题，一元一次方程的应用．在充分理解题目要求的基础上，可借助数轴用数形结合的方法求解．在解答过程中，注意动点问题的多解可能，并针对每一种可能进行讨论分析．
6．已知a是最大的负整数，b是1
5
的倒数，c比a小1，且a、b、c分别是A、B、C在数
轴上对应的数．若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．
（1）在数轴上标出点A、B、C的位置；
（2）运动前P、Q两点间的距离为；运动t秒后，点P，点Q运动的路程分别为
和；
（3）求运动几秒后，点P与点Q相遇？
（4）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于11，直接写出所有点M 对应的数．
答案：（1）见解析；（2）6，3t，t；（3）1.5；（4）3或-3．
【分析】
（1）理解与整数、倒数有关概念，能够正确在数轴上找到所对应的点；
（2）根据数轴上两点间的距离的求法，以及路程=速度×时间
解析：（1）见解析；（2）6，3t，t；（3）1.5；（4）3或-3．
【分析】
（1）理解与整数、倒数有关概念，能够正确在数轴上找到所对应的点；
（2）根据数轴上两点间的距离的求法，以及路程=速度×时间进行求解；
（3）根据速度和×时间=路程和，列出方程求解即可；
（4）分当M在C点左侧，当M在线段AC上，当M在线段AB上（不含点A），当M在点B的右侧，四种情况列出方程求解．
【详解】
解：（1）∵a是最大的负整数，
∴a=-1，
∵b是1
的倒数，
5
∴b=5，
∵c比a小1，
∴c=-2，
如图所示：
（2）运动前P、Q两点之间的距离为5-（-1）=6；
运动t秒后，点P，点Q运动的路程分别为3t和t，
故答案为：6，3t，t；
（3）依题意有3t+t=6，
解得t=1.5．
故运动1.5秒后，点P与点Q相遇；
（4）设点M表示的数为x，使P到A、B、C的距离和等于11，
①当M 在C 点左侧，（-1）-x+5-x+（-2）-x=11．
解得x=-3，即M 对应的数是-3．
②当M 在线段AC 上，x-（-2）-1-x+5-x=11，
解得：x=-5（舍）；
③当M 在线段AB 上（不含点A ），x-（-1）+5-x+x-（-2）=11，
解得x=3，即M 对应的数是3．
④当M 在点B 的右侧，x-（-1）+x-5+x-（-2）=11，
解得：x=133
（舍）， 综上所述，点M 表示的数是3或-3．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离．
7．如图，数轴上有A 、B 、C 、D 四个点，分别对应的数为a 、b 、c 、d ，且满足a ，b 是方程|9|1x +=的两根()a b <，2(16)c -与|20|d -互为相反数，
（1）求a 、b 、c 、d 的值；
（2）若A 、B 两点以6个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时C 、D 两点以2个单位长度/秒向左匀速运动，并设运动时间为t 秒，问t 为多少时，6AC =？
（3）在（2）的条件下，A 、B 、C 、D 四个点继续运动，当点B 运动到点D 的右侧时，问是否存在时间t ，使B 与C 的距离是A 与D 的距离的4倍？若存在，求时间t ；若不存在，请说明理由．
答案：（1）a=-10，b=-8，c=16，d=20；（2）t 为或4时，；（3）存在，时间t=或4时，B 与C 的距离是A 与D 的距离的4倍．
【分析】
（1）解含绝对值的方程即可求出a 和b ，根据平方和绝对值的
解析：（1）a=-10，b=-8，c=16，d=20；（2）t 为2.5或4时，6AC =；（3）存在，时间t=3.6或4时，B 与C 的距离是A 与D 的距离的4倍．
【分析】
（1）解含绝对值的方程即可求出a 和b ，根据平方和绝对值的非负性即可求出c 和d ； （2）用含t 的式子表示出点A 、B 、C 、D 表示的数，然后根据点A 和点C 的位置关系分类讨论，分别列出方程即可求出结论；
（3）先根据题意求出t 的取值范围，然后根据点A 和点D 的位置关系分类讨论，分别列出对应的方程即可分别求出结论．
【详解】
解：（1）|9|1x +=
∴91x +=±
解得：x=-10或x=-8
∵a ，b 是方程|9|1x +=的两根()a b <，
∴a=-10，b=-8
∵2(16)c -与|20|d -互为相反数
∴22(16)|20|0,(16)0,|20|0c d c d -+-=-≥-≥
∴160,200c d -=-=
解得：c=16，d=20；
（2）由运动时间为t 秒，则点A 表示的数为6t －10，点B 表示的数为6t －8，点C 表示的数为16－2t ，点D 表示的数为20－2t
若点A 在点C 左侧时，
根据题意可得（16－2t ）－（6t －10）=6
解得：t=2.5；
若点A 在点C 右侧时，
根据题意可得（6t －10）－（16－2t ）=6
解得：t=4；
答：t 为2.5或4时，6AC =；
（3）存在，
当B 与D 重合时，即6t －8=20－2t
解得：t=3.5
∵点B 运动到点D 的右侧
∴t ＞3.5，点B 一定在点C 右侧
当点A 与点D 重合时，即6t －10=20－2t
解得：t=3.75
①若点A 在点D 左侧或与D 重合时，即3.5＜t≤3.75时，
AD=（20－2t ）－（6t －10）=30－8t ，BC=（6t －8）－（16－2t ）=8t －24
根据题意可得8t －24=4（30－8t ）
解得：t=3.6；
②若点A 在点D 右侧时，即t ＞3.75时，
AD=（6t －10）－（20－2t ）=8t －30，BC=（6t －8）－（16－2t ）=8t －24
根据题意可得8t －24=4（8t －30）
解得：t=4；
综上：存在，时间t=3.6或4时，B 与C 的距离是A 与D 的距离的4倍．
【点睛】
此题考查的是一元一次方程的应用、数轴与动点问题，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题关键．
8．数轴上有,,A B C 三点，给出如下定义；若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的：“关联点”
（1）例图，数轴上点,,A B C 三点所表示的数分别为1,3,4，点B 到点A 的距离
AB = ，点B 到点C 的距离是 ，因为AB 是BC 的两倍，所以称点B 是点,A C 的“关联点”．
（2）若点A 表示数2,-点B 表示数1，下列各数1,2,4,6-所对应的点分别是1234,,,C C C C ，其中是点,A B 的“关联点”的是 ；
（3）点A 表示数10-，点B 表示数为15,P 数轴上一个动点；若点P 在点B 的左侧，且点P
是点A
B 、的“关联点”，求此时点Р表示的数；若点P 在点B 的右侧，点P A B 、、中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”．请直接写出此时点Р表示的数
答案：（1）2，1；（2）；；（3）当P 在点B 的左侧时，P 表示的数为-35或或；若点P 在点B 的右侧，P 表示的数为40或或．
【分析】
（1）利用数轴上两点之间的距离公式直接可求得；
（2）根据题意求得CA
解析：（1）2，1；（2）13,C C ；；（3）当P 在点B 的左侧时，P 表示的数为-35或5-3
或203；若点P 在点B 的右侧，P 表示的数为40或65或552
． 【分析】
（1）利用数轴上两点之间的距离公式直接可求得；
（2）根据题意求得CA 与BC 的关系，得到答案；
（3）根据PA=2PB 或PB=2PA 列方程求解；分当P 为A 、B 关联点、A 为P 、B 关联点、B 为A 、P 关联点三种情况列方程解答．
【详解】
解：（1）,,A B C 三点所表示的数分别为1,3,4，
∴AB=3-1=2；BC=4-3=1，
故答案是：2，1；
（2）点A 表示的数为-2，点B 表示的数为1，1C 表示的数为-1
∴1AC =1 ,1BC =2
∴1C 是点A,B 的“关联点”
点A 表示的数为-2，点B 表示的数为1，2C 表示的数为2
∴2AC =4 ,2BC =1
∴2C 不是点A,B 的“关联点”
点A 表示的数为-2，点B 表示的数为1，3C 表示的数为4
∴3AC =6 ,3BC =3
∴3C 是点A,B 的“关联点”
点A 表示的数为-2，点B 表示的数为1，4C 表示的数为6
∴4AC =8 ,4BC =5
∴4C 不是点A,B 的“关联点”
故答案为：13,C C
（3）①若点P 在点B 的左侧，且点P 是点A,B 的“关联点”，设点P 表示的数为x （I ） 当P 在点A 的左侧时，则有：2PA=PB ，即2（-10-x ）=15-x
解得 x =-35
（II ）当点P 在A,B 之间时，有2PA=PB 或PA=2PB
既有2（x +10）=15-x 或x +10=2（15-x ）
解得x =5-3或203
x = 因此点P 表示的数为-35或5-3或203
②若点P 在点B 的右侧
（I ）若点P 是A,B 的“关联点”则有2PB=PA
即2（x -15）=x +10
解得x =40
（II ）若点B 是A,P 的“关联点”则有2AB=PB 或AB=2PB
即2（15+10）=x -15或15+10=2（x-15）
解得x =65或552
x = （III ）若点A 是B,P 的“关联点”则有2AB=AP
即2（15+10）=x +10
解得x =40
因此点P 表示的数为40或65或
552
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解关联点的概念，分情况讨论列式是解题关键．
9．已知：b 是最小的正整数，且a 、b 、c 满足()250c a b -++=，请回答问题．
(1)请直接写出a 、b 、c 的值．
a =
b =
c =
(2) a 、b 、c 所对应的点分别为A 、B 、C ，点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在0到2
x x x (请写出化简过程)．
之间运动时(即0≤x≤2时)，请化简式子：1125
(3)在(1)(2)的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
答案：（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不变，理由见解析
【分析】
（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b
解析：（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不变，理由见解析
【分析】
（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；
（2）根据x的范围，确定x+1，x-3，5-x的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2．
【详解】
解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．
根据题意得：c-5=0且a+b=0，
∴a=-1，b=1，c=5．
故答案是：-1；1；5；
（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x-1≤0，x+5＞0，
则：|x+1|-|x-1|+2|x+5|
=x+1-（1-x）+2（x+5）
=x+1-1+x+2x+10
=4x+10；
当1＜x≤2时，x+1＞0，x-1＞0，x+5＞0．
∴|x+1|-|x-1|+2|x+5|=x+1-（x-1）+2（x+5）
=x+1-x+1+2x+10
=2x+12；
（3）不变．理由如下：
t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5．
∴BC=（5t+5）-（2t+1）=3t+4，AB=（2t+1）-（-1-t）=3t+2，
∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2，
即BC-AB值的不随着时间t的变化而改变．
【点睛】
本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数
形结合的数学思想．
10．已知数轴上三点M ，O ，N 对应的数分别为1-，0，3，点P 为数轴上任意一点，其对应的数为x ．
（1）如果点P 到点M 、点N 的距离相等，那么x 的值是______．
（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点M 、点N 的距离之和是8？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点P 以每分钟1个单位长度的速度从点O 向右运动，同时另一点Q 从点N 以每分钟2个单位长度的速度向左运动．设t 分钟时点P 和点Q 到点M 的距离相等，则t 的值为______．（直接写出答案）
答案：（1）1 （2）存在，或 （3）或
【分析】
（1）根据两点间的距离列方程求解即可；
（2）分两种情况求解即可；
（3）分点P 和点Q 相遇时和点Q 运动到点M 的左侧时两种情况
解析：（1）1 （2）存在，3x =-或5x = （3）1t =或5t =
【分析】
（1）根据两点间的距离列方程求解即可；
（2）分两种情况求解即可；
（3）分点P 和点Q 相遇时和点Q 运动到点M 的左侧时两种情况求解．
【详解】
解：（1）由题意得
3-x=x-(-1)，
解得
x=1；
（2）存在，
∵MN=3-(-1)=4，
∴点P 不可能在M 、N 之间．
当点P 在点M 的左侧时，
(-1-x)+(3-x)=8，
解得
x=-3；
当点P 在点N 的右侧时，
x-(-1)+(x-3)=8，
解得
x=5；
∴3x =-或5x =；
（3）当点P 和点Q 相遇时，
t+2t=3，
解得
t=1；
当点Q 运动到点M 的左侧时，
t+1=2t-4，
解得
t=5；
∴1t =或5t =．
【点睛】
此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，分类讨论得出是解题关键． 11．已知OC 是AOB ∠内部的一条射线，M N 、分别为,OA OC 上的点，线段, OM ON 同时分别以30/s, 10/s ︒︒的速度绕点O 逆时针旋转，设旋转时间为t 秒．
（1）如图①，若120AOB ∠=︒，当OM ON 、逆时针旋转到OM ON ''、处，
①若, OM ON 旋转时间t 为2时，则BON COM ''∠+∠=______；
②若OM '平分,AOC ON '∠平分,BOC M ON ''∠∠=_____；
（2）如图②，若4AOB BOC OM ON ∠=∠,,分别在,AOC BOC ∠∠内部旋转时，请猜想COM ∠与BON ∠的数量关系，并说明理由．
（3）若80AOC OM ON ∠=︒,,在旋转的过程中，当20MON ∠=︒时，求t 的值．
答案：（1）①40°；②60°；（2）∠COM=3∠BON ，理由见解析；（3）3秒或5秒
【分析】
（1）①先求出、，再表示出、，然后相加并根据计算即可得解；
②先由角平分线求出，，再求出，即；
（2）设
解析：（1）①40°；②60°；（2）∠COM =3∠BON ，理由见解析；（3）3秒或5秒
【分析】
（1）①先求出AOM ∠'、CON '，再表示出BON ∠'、COM ∠'，然后相加并根据120AOB ∠=︒计算即可得解；
②先由角平分线求出1
2AOM COM AOC ∠'=∠'=∠，12
BON CON BOC ∠'=∠'=∠，再求出
111206022COM CON AOB ∠'+∠'=∠=⨯︒=︒，即60M ON ∠''=︒； （2）设旋转时间为t ，表示出CON ∠、AOM ∠，然后列方程求解得到BON ∠、COM ∠的关系，再整理即可得解；
（3）设旋转时间为t ，表示出CON ∠、AOM ∠，然后得到COM ∠，再列方程求解得到MON ∠的关系，整理即可得解．
【详解】
解：（1）线段OM 、ON 分别以30/s ︒、10/s ︒的速度绕点O 逆时针旋转2s ，
23060AOM ∴∠'=⨯︒=︒，21020CON ∠'=⨯︒=︒，
20BON BOC ∴∠'=∠-︒，60COM AOC ∠'=∠-︒，
206080BON COM BOC AOC AOB ∴∠'+∠'=∠-︒+∠-︒=∠-︒，
120AOB ∠=︒，
1208040BON COM ∴∠'+∠'=︒-︒=︒；
故答案为：40︒；
②OM '平分AOC ∠，ON '平分BOC ∠，
12AOM COM AOC ∴∠'=∠'=∠，12
BON CON BOC ∠'=∠'=∠， 1111120602222
COM CON AOC BOC AOB ∴∠'+∠'=∠+∠=∠=⨯︒=︒， 即60M ON ''∠=︒；
（2）3COM BON ∠=∠，理由如下：
设BOC x ∠=，则4AOB x ∠=，3AOC x ∠=，
旋转t 秒后，30AOM t ∠=，10CON t ∠=，
3303(10)COM x t x t ∴∠=-=-，10NOB x t ∠=-，
3COM BON ∴∠=∠；
（3）设旋转t 秒后，30AOM t ∠=，10CON t ∠=，
8030COM t ∴∠=︒-，10NOC t ∠=，
可得MON MOC CON ∠=∠+∠，
可得：|803010|20t t ︒-+=︒，
解得：3t =秒或5t =秒，
故答案为：3秒或5秒．
【点睛】
此题考查了角的计算，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键．
12．如图，点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b 请你利用数轴回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________，数轴上表示1和2-的两点之间的距离为________．
（2）数轴上表示x 和1两点之间的距离为_______，数轴上表示x 和3-两点之间的距离为________．
（3）若x 表示一个实数，且53x -<<，化简35x x -++=________．
（4）12345x x x x x -+-+-+-+-的最小值为________．
（5）13x x +--的最大值为________．
答案：（1）4，3；（2）|x-1|，|x+3|；（3）8；（4）6；（5）4
【分析】
（1）（2）直接代入公式即可；
（3）实质是在点表示3和-5的点之间取一点，计算该点到点3和-5的距离和；
（4）
解析：（1）4，3；（2）|x-1|，|x+3|；（3）8；（4）6；（5）4
【分析】
（1）（2）直接代入公式即可；
（3）实质是在点表示3和-5的点之间取一点，计算该点到点3和-5的距离和； （4）可知x 对应点在3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|值最小；
（5）分当-1＜x ＜3时，当x≤-1时，当x≥3时，三种情况分别化简，从而求出最大值．
【详解】
解：（1）|6-2|=4，|-2-1|=3，
答案为：4，3；
（2）根据两点间距离公式可知：数轴上表示x 和1两点之间的距离为|x-1|，
数轴上表示x 和-3两点之间的距离为|x+3|，
故答案为：|x-1|，|x+3|；
（3）x 对应点在点-5和3之间时的任意一点时|x-3|+|x+5|的值都是8，
故答案为：8；
（4）|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|表示数x 到1，2，3，4，5的距离之和，
可知：当x 对应点是3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值为6，
故答案为：6；
（5）当-1＜x ＜3时，|x+1|-|x-3|=x+1+x-3=2x-2，
-4＜2x-2＜4，
当x≤-1时，|x+1|-|x-3|=-x-1+x-3=-4，
当x≥3时，|x+1|-|x-3|=x+1-x+3=4， 综上：13x x +--的最大值为4．
【点睛】
此题主要考查了绝对值、数轴等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．
13．如图：在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，C 点表示数c ，且a ，c 满足|a +3|+（c
﹣9）2＝0，b ＝1．
（1）a ＝ ，c ＝ ；
（2）若将数轴折叠，使得A 点与点C 重合，则点B 与数 表示的点重合．
（3）在（1）的条件下，若点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ，求当x 取何值时代数式|x ﹣a |﹣|x ﹣c |取得最大值，并求此最大值．
（4）点P 从点A 处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q 从点C 处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q 到达点B 后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （秒），求第几秒时，点P 、Q 之间的距离是点C 、Q 之间距离的2倍？
答案：（1）-3，9；（2）5；（3）当x≥9时，|x －a|﹣|x ﹣c|取得最大值为12；（4）第秒，第秒，第28秒时，点P 、Q 之间的距离是点C 、Q 之间距离的2倍．
【分析】
（1）根据绝对值和偶次方的非
解析：（1）-3，9；（2）5；（3）当x ≥9时，|x －a |﹣|x ﹣c |取得最大值为12；（4）第125秒，第367秒，第28秒时，点P 、Q 之间的距离是点C 、Q 之间距离的2倍． 【分析】
（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可．
（2）根据折叠点为点A 与点C 的中点，列式求解即可．
（3）将（1）中所得的a 与c 的值代入代数式|x ﹣a |﹣|x ﹣c |，再根据数轴上两点之间的距离与绝对值的关系可得出答案．
（4）先求得线段BC 的长，再求得其一半的长，然后分类计算即可：当0＜t ≤4时，点P 表示的数为﹣3﹣t ，点Q 表示的数为9﹣2t ；当t ＞4时，点P 表示的数为﹣3﹣t ，点Q 表示的数为1+2（t ﹣4）．
【详解】
解：（1）∵|a +3|+（c ﹣9）2＝0，
又∵|a +3|≥0，（c ﹣9）2≥0，
∴a +3＝0，c ﹣9＝0，
∴a ＝﹣3，c ＝9．
故答案为：﹣3，9．
（2）∵将数轴折叠，使得点A 与点C 重合，
∴折叠点表示的数为：
392
-+＝3， ∴2×3﹣1＝5，
∴点B 与数5表示的点重合．
故答案为：5．
（3）∵a ＝﹣3，c ＝9．
∴|x ﹣a |﹣|x ﹣c |＝|x +3|﹣|x ﹣9|，
∵代数式|x +3|﹣|x ﹣9|表示点P 到点A 的距离减去点P 到点C 的距离，
∴当x ≥9时，|x +3|﹣|x ﹣9|取得最大值为9﹣（﹣3）＝12．
（4）∵BC ＝9﹣1＝8，
∴8÷2＝4，
当0＜t ≤4时，点P 表示的数为﹣3﹣t ，点Q 表示的数为9﹣2t ，
∴PQ ＝9﹣2t ﹣（﹣3﹣t ）
＝9﹣2t +3+t
＝12﹣t ，
CQ ＝2t ，
∵PQ ＝2CQ ，
∴12﹣t ＝2×2t ，
∴5t ＝12，
∴t ＝125
． 当t ＞4时，点P 表示的数为﹣3﹣t ，点Q 表示的数为1+2（t ﹣4），
∴CQ ＝|9﹣[1+2（t ﹣4）]|，
PQ ＝1+2（t ﹣4）﹣（﹣3﹣t ）
＝1+2t ﹣8+3+t
＝3t ﹣4，
∵PQ ＝2CQ ，
∴3t ﹣4＝2|9﹣[1+2（t ﹣4）]|＝2|16﹣2t |，
∴当3t ﹣4＝2（16﹣2t ）时，
3t ﹣4＝32﹣4t ，
∴7t ＝36，
∴t ＝367
； 当3t ﹣4＝2（2t ﹣16）时，
3t ﹣4＝4t ﹣32，
∴t ＝28．
∴第125秒，第367秒，第28秒时，点P 、Q 之间的距离是点C 、Q 之间距离的2倍． 【点睛】
本题考查了数轴上的两点之间的距离、绝对值与偶次方的非负性及一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，熟练掌握相关运算性质及正确列式是解题的关键．
14．（背景知识）
数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了一些重要的规律：若数轴上点A ，B 表示的数分别为a ，b ，则A ，B 两点之间的距离| AB a b =-∣，线段AB 的中点表示的数为2
a b +．
（问题情境）
如图，数轴上点A 表示的数为2-，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒1个单位的速度向右匀速运动．设运动时间为()(0)t s t >．
（综合运用）
（1）填空：
①A ，B 两点间的距离AB =______，线段AB 的中点表示的数为________．
②用含t 的代数式表示：(s)t 后，点P 表示的数为_______，点Q 表示的数为_______． （2）求当t 为何值时，P ，Q 两点相遇，并写出相遇点表示的数．
（3）求当t 为何值时，12
PQ AB =． （4）若M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出线段MN 的长．
答案：（1）①10，3；②−2＋4t ，8+t ；（2）t ＝，相遇点表示的数为；（3）t ＝5或；（4）线段的长不发生变化，MN=5
【分析】
（1）①根据A ，B 两点之间的距离，线段的中点表示的数为，即可得到答 解析：（1）①10，3；②−2＋4t ，8+t ；（2）t ＝
103，相遇点表示的数为343；（3）t ＝5或53；（4）线段MN 的长不发生变化，MN =5 【分析】
（1）①根据A ，B 两点之间的距离| AB a b =-∣，线段AB 的中点表示的数为2
a b +，即可得到答案；②根据题意直接表示出P ，Q 所对应的数，即可；
（2）当P 、Q 两点相遇时，P 、Q 表示的数相等列方程，得到t 的值，进而得到 P 、Q 相遇的点所对应的数；
（3）由t 秒后，点P 表示的数−2＋4t ，点Q 表示的数为8+t ，于是得到PQ 的表达式，结合12
PQ AB =，列方程即可得到结论； （4）由点M 表示的数为
2(24)2t -+-+，点N 表示的数为8(24)2
t +-+，即可得到结论． 【详解】 解：（1）①A 、B 两点间的距离AB ＝|−2−8|＝10，线段AB 的中点表示的数为：2832
-+=， 故答案是：10，3；
②由题意可得，(s)t 后，点P 表示的数为：−2＋4t ，点Q 表示的数为：8+t ，
故答是：−2＋4t ，8+t ；
（2）∵当P 、Q 两点相遇时，P 、Q 表示的数相等
∴−2＋4t ＝8+t ，
解得：t ＝103， ∴当t ＝103时，P 、Q 相遇， 此时，8+t ＝8＋1034=33
， ∴相遇点表示的数为
343； （3）∵t 秒后， PQ ＝|（−2＋4t ）−（8+t ）|＝|3t −10|，
∵12
PQ AB =＝12×10＝5， ∴|3t −10|＝5，
解得：t ＝5或53
， ∴当t ＝5或53
，12PQ AB =； （4）∵M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，
∴点M 表示的数为
2(24)222t t -+-+=-+， 点N 表示的数为 8(24)322
t t +-+=+， ∴MN ＝()223255t t -+-+=-=，
即：线段MN 的长不发生变化，MN =5．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键 ． 15．已知射线OC 在AOB ∠的内部，射线OE 平分AOC ∠，射线OF 平分COB ∠．
（1）如图1，若120,32AOB AOC ∠=︒∠=︒，则EOF ∠=__________度；
（2）若,AOB AOC αβ∠=∠=，
①如图2，若射线OC 在AOB ∠的内部绕点O 旋转，求EOF ∠的度数；
②若射线OC 在AOB ∠的外部绕点O 旋转（旋转中AOC ∠、BOC ∠均是指小于180°的。