高一数学复习知识点专题讲义35---函数模型的应用

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1．如表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可能
的函数模型是( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y 15 17 A.一次函数模型
19 21 23 B．二次函数模型
25 27
C．指数函数模型
D．对数函数模型
A [自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一
次函数模型．故选A.]
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[解] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．
根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性 的体重与身高关系的函数模型．
取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得： 7.9＝a·b70， 47.25＝a·b160， 用计算器算得a≈2，b≈1.02.
(t∈N*)
设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－
t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金
额最大是第几天？
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[解] 设日销售金额为y(元)，则y＝PQ， 所以y＝－ t2－t2＋ 14020t＋t＋480000002<5t≤<2t5≤，30. (t∈N*) ①当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900， 所以当t＝10时，ymax＝900(元)． ②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900， 所以当t＝25时，ymax＝1 125(元)． 结合①②得ymax＝1 125(元)． 因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售 金额达到最大．
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) y＝acxx＋＋dbxx≥<mm，
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2.建立函数模型解决问题的基本过程
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思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？ 提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个 步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图：
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这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x. 将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现， 这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地 区未成年男性体重与身高的关系． (2)将 x＝175 代入 y＝2×1.02x 得 y＝2×1.02175，由计算器算得 y≈63.98.由于 78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．
常用 函数 模型
(1)一次函数 模型
(2)二次函数 模型
(3)指数函数 模型
y＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0) y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) y＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
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常用 函数 模型
(4)对数函数 模型
(5)幂函数模 型
(6)分段函数 模型
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【例 3】 某企业常年生产一种出口产品，自 2015 年以来，每年在
正常情况下，该产品产量平稳增长．已知 2015 年为第 1 年，前 4 年年产
量 f(x)(万件)如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00 8.44
(1)画出 2015～2018 年该企业年产量的散点图；
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000) C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
数为(2 000－x)辆 次，则总收入y＝ 0.5x＋(2 000－ x)×0.8＝－0.3x ＋1 600(0≤x≤2 000)．]
A．300只
B．400只
所以 x＝7 时，y
C．600只
D．700只
＝100log2(7＋1)
＝300.]
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3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量
பைடு நூலகம்
D [由题意
为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普 知，变速车存车
通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆 次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是 ()
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[解] 先设定半衰期h，由题意知 40－24＝(88－24)×122h0， 即14＝122h0， 解之，得h＝10，故原式可化简为 T－24＝(88－24)×121t0，
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当T＝32时，代入上式，得 32－24＝(88－24)×121t0， 即121t0＝684＝18＝123，∴t＝30. 因此，需要30 min，可降温到32 ℃.
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1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般 方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质 的研究，从而间接求出所需要的结论．
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2．解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数 学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语 言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．
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已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需 要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化 为已知函数解析式求函数值或自变量的值.
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1．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关 系为：
t＋200<t<25， P＝－t＋10025≤t≤30.
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2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
/cm 体重
6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 /kg
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2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一
A [将 x＝
种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数 1，y＝100 代入 y
量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该 动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展 到( )
＝alog2(x＋1)得， 100＝alog2(1＋ 1)，解得 a＝100.
[思路点拨]
畜养率
―→
空闲率
―→
y与x之间 的函数关系
单――调→性
求最值
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[解] (1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则 畜养率为mx ，故空闲率为1－mx ，由此可得y＝kx1－mx (0<x<m)．
(2)对原二次函数配方，得y＝－mk (x2－mx) ＝－mk x－m2 2＋k4m，即当x＝m2 时，y取得最大值k4m.
高一数学复习知识点专题讲义
函数模型的应用
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学习目标
核心素养
1.会利用已知函数模型解决实际问
题．(重点) 通过本节内容的学习，使学生认识函
2．能建立函数模型解决实际问 数模型的作用，提高学生数学建模、
题．(重点、难点) 数据分析的素养.
3．了解拟合函数模型并解决实际问
题．(重点)
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1．常用函数模型
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拟合数据构建函数模型解决实际问题 [探究问题] 1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？ 提示：不一定． 2．对于收集的一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…， (xn，yn)我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？ 提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已 学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．
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2．(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k 的取值范围．
[解] 由题意知为给羊群留有一定的生长空间， 则有实际畜养量与 年增长量的和小于最大畜养量，即0<x＋y<m.
因为当x＝m2 时，ymax＝k4m，所以0<m2 ＋k4m<m，解得－2<k<2.又因为 k>0，所以0<k<2.
(2)建立一个能基本反映(误差小于 0.1)这一时期该企业年产量变化的
函数模型，并求出函数解析式；
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(3)2019 年(即 x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量 减少 30%，试根据所建立的函数模型，确定 2019 年的年产量为多少？
[ 思 路 点 拨 ] 描点 依―散―点→图 选模 待定――系→数法 求模 ―误―差→ 验模 → 用模
________年．
11，所以有营运利润的时间为 2 11.
又 6<2 11<7，所以有营运利润的时
间不超过 7 年．]
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合作探究 提素养
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利用已知函数模型解决实际问题 【例 1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设 物体的初始温度是 T0，经过一定时间 t 后的温度是 T，则 T－Ta＝(T0－ Ta)×12ht，其中 Ta 表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用 88 ℃热水冲 的速溶咖啡，放在 24 ℃的房间中，如果咖啡降温到 40 ℃需要 20 min，那 么降温到 32 ℃时，需要多长时间？
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自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制 什么”.
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务. 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核 心因素为自变量.
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列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函 数、不等式等.
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除 了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.
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[解] (1)画出散点图，如图所示． (2)由散点图知，可选用一次函数模型． 设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得a3＋ a＋b＝ b＝4， 7， 解得ab＝＝12..55，， ∴f(x)＝1.5x＋2.5. 检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1， f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1. ∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
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自建确定性函数模型解决实际问题
【例2】 牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空
间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊
群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为
k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值．
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4．某汽车运输公司购买了一批
7 [设二次函数 y＝a(x－6)2＋
豪华大客车投入运营．据市场分 11，又过点(4,7)，
析，每辆客车营运的利润y与营运年
所以 a＝－1，即 y＝－(x－6)2＋
数x(x∈N)为二次函数关系(如图)， 11.
则客车有营运利润的时间不超过
解 y≥0，得 6－ 11≤x≤6＋
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(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5 ＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量 为7万件．
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函数拟合与预测的一般步骤： 1根据原始数据、表格，绘出散点图. 2通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线. 3求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. 4利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策 和管理提供依据.
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1．(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的 乘积成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式？
[解] 根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜 养率为mx ，故空闲率为1－mx ，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只 与空闲率的乘积成反比，由此可得y＝x1－k mx (0<x<m)．
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(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近 似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这 个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍 为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体 重是否正常？