高三数学一轮复习课件：三角函数的图象与性质 新人教A

课堂互动讲练
(2)∵
－
π 6
≤x≤
π 3
，
∴
－
π 6
≤2x
＋
π 6
≤56π.
∴－12≤sin(2x＋π6)≤1.8 分
当 x∈[－π6，π3]时，原函数的最大值
与最小值的和(1＋a＋12)＋(－12＋a＋12)＝
32，∴a＝0.12 分
规律方法总结
1．三角函数的周期性 求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝ Atan(ωx＋φ)的周期，通常有三种方 法： (1)定义法；(2)公式法：由公式 T ＝|2ωπ|或 T＝|ωπ|求之；
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考点四 求三角函数的单调区间
函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0) 的单调区间的确定，基本思想是把 ωx＋φ 看做一个整体，比如：由 2kπ－π2≤ωx＋ φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出 x 的范围，所得区间 即为增区间；由 2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32 π(k∈Z)解出 x 的范围，所得区间即为减 区间．
A．(－π4，π4) C．(π，32π)
B．(π4，34π) D．(32π，2π)
答案：C
三基能力强化
2．(2009 年高考江西卷改编)若函数
f(x)＝(1＋ 3tanx)cosx，－π2≤x≤0，则 f(x) 的最大值为( )
A．1 C. 3＋1
答案：A
B．2 D. 3＋2
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
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高考检阅
(本题满分12分)设函数f(x)＝ sinxcosx＋cos2x＋a.
(1)写出函数f(x)的最小正周期及 单调递减区间；
(2)当 x∈[－π6，π3]时，函数 f(x)的 最大值与最小值的和为32，求 a 的值．
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解：(1)f(x)＝ 23sin2x＋1＋c2os2x＋a ＝sin(2x＋π6)＋a＋12，2 分 ∴T＝π.4 分 由π2＋2kπ≤2x＋π6≤32π＋2kπ，k∈Z， 得π6＋kπ≤x≤23π＋kπ，k∈Z. 故函数 f(x)的单调递减区间是[π6＋kπ，23π ＋kπ](k∈Z).6 分
【 解 】 (1)f(x) ＝ (cos2x － sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x ＝cos2x－sin2x＝ 2cos(2x＋π4)，T＝ 22π＝π.4 分
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(2)由 2kπ－π≤2x＋π4≤2kπ，k∈Z 解得 kπ－58π≤x≤kπ－π8，k∈Z， 函数 f(x)的单调增区间为[kπ－58π，kπ －18π](k∈Z).6 分 由 2kπ≤2x＋π4≤2kπ＋π 解得 kπ－18 π≤x≤kπ＋38π，函数 f(x)的单调减区间为 [kπ－18π，kπ＋38π](k∈Z).8 分
•
三基能力强化
3．f(x)＝1－2cos2ωx(ω>0)的周期与 g(x)
＝tanx2的周期相等，则 ω 等于(
)
A．2 1
C.2
B．1 1
D.4
答案：C
三基能力强化
4．(教材习题改编)求函数 y＝－ tan(2x＋π6)＋2 的定义域是________．
答案：{x|x≠12kπ＋π6，k∈Z}
规律方法总结
(3)图象法．三种方法各有所长， 要根据函数式的结构特征，选择适当 方法求之．
2．三角函数值大小的比较 比较三角函数值大小的一般步骤 是： (1)先判断正负； (2)利用奇偶性或周期性转化为属 于同一单调区间上的两个同名函数； (3)利用单调性比较．
基础知识梳理
1.如果函数y＝f(x)的周期是T，那 么函数y＝f(ωx)的周期是多少？
【思考·提示】 函数 y＝f(ωx)的 周期是|ωT|，而不是ωT.
基础知识梳理
2．正弦函数、余弦函数、正切 函数的图象和性质
基础知识梳理
{x|x∈R 且
x≠
π 2
＋
kπ
，
k∈Z}
{y|－1≤y≤1}
基础知识梳理
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【解】 (1)∵f(x)＝sinx2＋ 3(1－2sin2x4) ＝sinx2＋ 3cosx2＝2sin(x2＋π3)， ∴f(x)的最小正周期 T＝21π＝4π.
2 当 sin(x2＋π3)＝－1 时，f(x)取得最小值－2； 当 sin(x2＋π3)＝1 时，f(x)取得最大值 2.
x∈[
－
π3 ，
π 3
]或
x∈[53π，6)．
即 0<x<π2或 π≤x≤4.
所以函数的定义域为(0，π2)∪[π，4]．
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即所求的定义域为 (－6，－53π]∪[－π3，π3]∪[53π， 6)． (2) 要 使 函 数 有 意 义 ， 只 要
2＋log12x≥0， tanx≥0.
0<x≤4， 即kπ≤x<kπ＋π2(k∈Z).
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(2)由(1)知 f(x)＝2sin(x2＋π3)， 又 g(x)＝f(x＋π3)， ∴g(x)＝2sin[12(x＋π3)＋π3] ＝2sin(x2＋π2)＝2cosx2. ∵g(－x)＝2cos(－x2)＝2cosx2＝g(x)， ∴函数 g(x)是偶函数．
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【思维总结】 (1)最小正周期是 指能使函数值重复出现的自变量x要加 上的那个最小正数，这个正数是对x而 言的．(2)不是所有的周期函数都有最 小正周期，如周期函数f(x)＝C(C为常 数)就没有最小正周期．
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【名师点评】 (1)小题中－1＜ sinx≤1而不是－1≤sinx≤1.
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互动探究
例 2 中若 x∈[0，π2]，试求函数的值域． 解：(1)y＝－2(sinx－12)2＋12， ∵0≤x≤π2，∴0≤sinx≤1， ∴y∈[0，12]，即函数值域为[0，12]，
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若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝ 0，则f(x)为偶函数．
若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝ 0，则f(x)为奇函数．
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2．周期函数f(x)的最小正周期T 必须满足下列两个条件：
(1)当x取定义域内的每一个值 时，都有f(x＋T)＝f(x)；
(2)T是不为零的最小正数． 一般地，若T为f(x)的周期，则 nT(n∈Z)也为f(x)的周期，即f(x)＝f(x ＋nT)．
(2)y＝ 2sin(2x＋π4)＋2， ∵0≤x≤π2，∴π4≤2x＋π4≤54π， ∴－ 22≤sin(2x＋π4)≤1， ∴1≤y≤2＋ 2， 所以函数值域为[1,2＋ 2]．
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考点三 三角函数的奇偶性与周期性
1．定义域在数轴上关于原点对 称，是函数具有奇偶性的前提．因 此，在判断函数奇偶性时，应首先判 断函数定义域的对称性．
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【误区警示】 例题中出现分段 区间和定区间的 交集，要对k正确三角函数的值域与最值
1．三角函数属于初等函数，因 而前面学过的求函数值域的一般方 法，也适用于三角函数．但涉及正 弦、余弦函数的值域时，应注意正 弦、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1， |cosx|≤1对值域的影响．
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【解】 (1)由题意得 －2cos2x＋3cosx－1≥0， 36－x2>0.
即(－2c6o<sxx<－6.1)(cosx－1)≤0， 也即12≤cosx≤1，
－6<x<6.
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解得
－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)， －6<x<6.
取 k＝－1,0,1，可分别得到
x∈(－ 6， － 53π]或
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例4 (解题示范)(本题满分 12 分) 已 知 函 数 f(x) ＝ cos4x －
2sinxcosx－sin4x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的单调区间； (3)若 x∈[0，π2]，求 f(x)的最大
值及最小值．
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【思路点拨】 首先要进行化 简，化成一个角的三角函数．
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2．解答此类题目首先应进行三 角恒等变形，将函数式化为只含一个 三角函数式的形式，再根据定义域求 解．
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例2 求下列函数的值域：
(1)y＝
2sinx·cos2x 1＋sinx
；
(2)y ＝ sin2x ＋ 2sinx·cosx ＋
3cos2x.
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【思路点拨】 首先要进行等价 变化，目的是化为一个角的三角函 数．
第5课时 三角函数的图象与性质
基础知识梳理
1．周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零 常数T，使得当x取定义域内的每一个值 时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就 叫做周期函数． 非零常数T 叫做这个函 数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数 ，那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期．
【解】 (1)y＝2s1in＋x·scinosx2x＝2sinx(1 －sinx)
＝－2(sinx－12)2＋12. ∵－1<sinx≤1， ∴y∈(－4，12]，即值域为(－4，12]．
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(2)y＝sin2x＋2sinx·cosx＋3cos2x ＝1－c2os2x＋sin2x＋3(1＋2cos2x) ＝sin2x＋cos2x＋2 ＝ 2sin(2x＋π4)＋2. 故函数值域为[2－ 2，2＋ 2]．
基础知识梳理
基础知识梳理
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2.正弦函数和余弦函数的图象的 对称轴及对称中心与函数图象的关键 点有什么关系？
【思考·提示】 y＝sinx与y＝ cosx的对称轴方程中的x都是它们取得 最大值或最小值时相应的x，对称中 心的横坐标都是它们的零点．
三基能力强化
1．函数y＝|sinx|的一个单调增区 间是( )
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(3)∵x∈[0，π2]，∴2x＋π4∈[π4，54π]， ∴cos(2x＋π4)∈[－1， 22]．∴f(x)∈[－ 2，1].10 分 ∴当 x＝0 时，f(x)的最大值为 1， 当 x＝38π 时， f(x)的最小值为－ 2.12 分
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【规律小结】 求三角函数y＝ Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)或y＝ Atan(ωx＋φ)的单调区间时，一定要注 意到函数中A与ω的符号，一般是将ω 化为正或用复合函数单调性来求解， 否则极易出现将单调区间求反的错 误．
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2．求三角函数的定义域通常使 用三角函数线，三角函数图象和数 轴．
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例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝ －2cos2x＋3cosx－1
＋lg(36－x2)； (2)y＝ 2＋log12x＋ tanx.
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【思路点拨】 本题求函数的定 义域．(1)需注意对数的真数大于零， 然后利用弦函数的图象求解．(2)需注 意偶次根式的被开方数大于或等于 零，然后利用函数的图象或三角函数 线求解．
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例3 (2008 年高考陕西卷)已知函数 f(x)＝2sinx4cosx4－2 3sin2x4＋ 3. (1)求函数 f(x)的最小正周期及
最值； (2)令 g(x)＝f(x＋π3)，判断函数
g(x)的奇偶性，并说明理由．
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【思路点拨】 恒等变形→由 T＝2ωπ确定周期，代入求 g(x)→验 证 g(－x)与 g(x)的关系．
三基能力强化
5．函数 y＝cos(x＋π3)，x∈(0，π3]的 值域是________．
答案：[－12，12)
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考点一 求三角函数的定义域
1．求三角函数的定义域，既要注意 一般函数的定义域的规律，又要注意三 角函数本身的特有属性，如题中出现 tanx，则一定有 x≠kπ＋π2，k∈Z.