高考数学模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷理科大纲版附详细答案9

高考数学模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（大纲版）（附详细答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1.（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）
A.（0，4]
B.[0，4）
C.[﹣1，0）
D.（﹣1，0]
2.（5分）设z=，则z的共轭复数为（）
A.﹣1+3i
B.﹣1﹣3i
C.1+3i
D.1﹣3i
3.（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）
A.a＞b＞c
B.b＞c＞a
C.c＞b＞a
D.c＞a＞b
4.（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）
A.2
B.
C.1
D.
5.（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）
A.60种
B.70种
C.75种
D.150种
6.（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过
F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）
A.+=1
B.+y2=1
C.+=1
D.+=1
7.（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）
A.2e
B.e
C.2
D.1
8.（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）
A. B.16π C.9π D.
9.（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）
A. B. C. D.
10.（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（）
A.6
B.5
C.4
D.3
11.（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
12.（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）
A.y=g（x）
B.y=g（﹣x）
C.y=﹣g（x）
D.y=﹣g（﹣x）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13.（5分）的展开式中x2y2的系数为.（用数字作答）
14.（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为.
15.（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于.
16.（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是.
三、解答题
17.（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B.
18.（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=13，a2为整数，且Sn≤S4.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.
19.（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2.
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小.
20.（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立.
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.
21.（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C 的交点为Q，且|QF|=|PQ|.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.
22.（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）.
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：＜an≤（n∈N*）.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（大纲版）（附详细答案）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1.（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）
A.（0，4]
B.[0，4）
C.[﹣1，0）
D.（﹣1，0]
【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解.
【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4.
∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，
又N={x|0≤x≤5}，
∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）.
故选：B.
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题.
2.（5分）设z=，则z的共轭复数为（）
A.﹣1+3i
B.﹣1﹣3i
C.1+3i
D.1﹣3i
【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求.
【解答】解：∵z==，
∴.
故选：D.
【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题.
3.（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）
A.a＞b＞c
B.b＞c＞a
C.c＞b＞a
D.c＞a＞b
【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得.
【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，
由正弦函数的单调性可知b＞a，
而c=tan35°=＞sin35°=b，
∴c＞b＞a
故选：C.
【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题.
4.（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）
A.2
B.
C.1
D.
【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•=0，（2+）•=0，由此求得||.
【解答】解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；
（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，
则||=，
故选：B.
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题.
5.（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）
A.60种
B.70种
C.75种
D.150种
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.
【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，
则不同的选法共有15×5=75种；
故选：C.
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同.
6.（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）
A.+=1
B.+y2=1
C.+=1
D.+=1
【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程.
【解答】解：∵△AF1B的周长为4，
∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4，
∴a=，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b==，
∴椭圆C的方程为+=1.
故选：A.
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题.
7.（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）
A.2e
B.e
C.2
D.1
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率.
【解答】解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，
当x=1时，f′（1）=2，
即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，
故选：C.
【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础.
8.（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）
A. B.16π C.9π D.
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积.
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2=（4﹣R）2+（）2，
∴R=，
∴球的表面积为4π•（）2=.
故选：A.
【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题.
9.（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）
A. B. C. D.
【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论.
【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，
∴e=，即c=2a，
点A在双曲线上，
则|F1A|﹣|F2A|=2a，
又|F1A|=2|F2A|，
∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，
则由余弦定理得cos∠AF2F1===
.
故选：A.
【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力.
10.（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（）
A.6
B.5
C.4
D.3
【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.再利用对数的运算性质即可得出.
【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，
∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.
∴lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1a2•…•a8）
=
4lg10
=4.
故选：C.
【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题.
11.（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案.
【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，
∵AE⊥l
∴∠EAC=90°
∵CD∥AF
又∠ACD=135°
∴∠FAC=45°
∴∠EAF=45°
在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，
在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，
在Rt△BEF中，则BF=2a，
∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，
∴cos∠BAF===.
故选：B.
【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题.
12.（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）
A.y=g（x）
B.y=g（﹣x）
C.y=﹣g（x）
D.y=﹣g（﹣x）
【分析】设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得.
【解答】解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，
则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，
又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，
∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，
∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）
∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）
故选：D.
【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13.（5分）的展开式中x2y2的系数为 70 .（用数字作答）
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数.
【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r••=•（﹣1）r••，
令 8﹣=﹣4=2，求得 r=4，
故展开式中x2y2的系数为=70，
故答案为：70.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题.
14.（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为 5 .
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得C（1，1）.
化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得.
由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大.
此时zmax=1+4×1=5.
故答案为：5.
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.
15.（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于.
【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果.
【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A与圆心O之间的距离为OA==，
圆的半径为r=，
∴sinθ==，
∴cosθ=，tanθ==，
∴tan2θ===，
故答案为：.
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题.
16.（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2].
【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t 的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围.
【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx
=﹣2sin2x+asinx+1，
令t=sinx，
则原函数化为y=﹣2t2+at+1.
∵x∈（，）时f（x）为减函数，
则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，
∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=.
∴，解得：a≤2.
∴a的取值范围是（﹣∞，2].
故答案为：（﹣∞，2].
【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题.
三、解答题
17.（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B.
【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出.
【解答】解：∵3acosC=2ccosA，
由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，
∴3tanA=2tanC，
∵tanA=，
∴2tanC=3×=1，解得tanC=.
∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，
∵B∈（0，π），
∴B=
【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.
18.（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=13，a2为整数，且Sn≤S4.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.
【分析】（1）通过Sn≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1=13、a2为整数可得d=﹣4，进而可得结论；
（2）通过an=13﹣3n，分离分母可得bn=（﹣），并项相加即可.
【解答】解：（1）在等差数列{an}中，由Sn≤S4得：
a4≥0，a5≤0，
又∵a1=13，
∴，解得﹣≤d≤﹣，
∵a2为整数，∴d=﹣4，
∴{an}的通项为：an=17﹣4n；
（2）∵an=17﹣4n，
∴bn===﹣（﹣），
于是Tn=b1+b2+……+bn
=﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]
=﹣（﹣）
=.
【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题.
19.（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2.
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小.
【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得. 【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，
∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC
∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，
由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，
又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，
∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，
∴AC1⊥A1B；
（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，
∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，
作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，
又直线AA1∥平面BCC1B1，
∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，
∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，
作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，
又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，
∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF
∴A1F⊥AB，
∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，
由AD==1可知D为AC中点，
∴DF==，
∴tan∠A1FD==，
∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan
【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题.
21.（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C 的交点为Q，且|QF|=|PQ|.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.
【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程.
（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|.把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|.由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程.
【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p ＞0），
可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=.
又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，
∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）.
故C的方程为 y2=4x.
（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），
设l的方程为 x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4. ∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）.
又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m2+3.
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）.
故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，
∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，
∴+DE2=MN2，
∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣
1=0，
∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0.
【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题.
22.（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）.
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：＜an≤（n∈N*）.
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式.
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，
①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，
若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，
若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数.
②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，
若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，
若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，
即ln（x+1）＞，（x＞0），
又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，
当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，
下面用数学归纳法进行证明＜an≤成立，
①当n=1时，由已知
，故结论成立.
②假设当n=k时结论成立，即，
则当n=k+1时，an+1=ln（an+1）＞ln（），
ak+1=ln（ak+1）＜ln（），
即当n=k+1时，成立，
综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立.
【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大.
20.（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立.
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.
【分析】记Ai表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备
（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求. （Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PXi，再利用数学期望公式计算即可. 【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31.
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06
P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25 P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，
P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，
P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38.
故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2
【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题.
高考数学试卷解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合
{124}
A =，，，
{246}
B =，，，则
A B =
▲．
【答案】{}1,2,4,6。

【主要错误】{2,4}，{1,6}。

2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生． 【答案】15。

【主要错误】24,25,20等。

3．设a b ∈R ，，117i
i 12i
a b -+=-（i 为虚数单位），则
a b +的值为▲．
【答案】8。

【主要错误】4，2，4，5+3i ，40/3，6，等。

【分析】由117i
i 12i
a b -+=
-得
()()()()117i 12i 117i 1115i 14
i ===53i 12i 12i 12i 14
a b -+-+++=
+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。

4．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲．
【答案】5。

【主要错误】4，10，1，3，等。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：
是否继续循环 k 2k 5k 4-+
循环前
0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4
第六圈
否
输出5
∴最终输出结果k=5。

5．函数
x x f 6log 21)(-=的定义域为▲．
【答案】
(0。

【主要错误】（0，6），(]{}6
,
0，
{}
6/≤x x ，
{}
6,0/≠>x x x 等。

【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
⎩⎪⎪⎩⎩
6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．
【答案】
3
5。

【主要错误】
52，43，54，21，107。

【解析】∵以1为首项，3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，
∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是
63
=105。

7．如图，在长方体
1111
ABCD A B C D -中，
3cm
AB AD ==，
12cm
AA =，则四棱锥
11A BB D D -的体积为▲cm3．
【答案】6。

【主要错误】
26，3，72，30。

【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD 中=32BD cm ，BD 边上的高是
3
22
cm （它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）。

∴四棱锥11A BB D D -的体积为13
3222=632
⨯⨯⨯。

8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
22
214
x y m m -=+的离心率为5，
则m 的值为▲．
【答案】2。

【主要错误】2，5，3，1。

【解析】由22
214x y m m -=+得22==4=4a m b m c m m +++，，。

∴24
==
=5c m m e a m
++，即244=0m m -+，解得=2m 。

9．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中
点，点F 在边CD 上，若
2AB AF =，则AE BF 的值是▲．
【答案】
2。

【主要错误】
22-，22，3，2,32
，2，1，
2等20余种。

【解析】由2AB AF =，得cos 2AB AF FAB ∠=，由矩形的性质，得
cos =AF FAB DF ∠。

∵AB
=2DF =，∴1
DF =。

∴1CF =。

记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。

又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。

∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE
BF AE
BF AE BF
θαβαβαβ
+-
(
)
=cos cos sin sin =122
1AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯-
本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

10．设
()
f x 是定义在
R
上且周期为2的函数，在区间
[11]-，上，
0111()2
01
x x ax f x bx x <+-⎧⎪
=+⎨⎪+⎩≤≤≤，
，，，其中
a b ∈R
，．
若
1322f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则3a b +的值为▲． 【答案】10。

【主要错误】2，3，4，10，5等十余种。

【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，
即2
1=
2
b a +-+① 又∵311=1222f f a ⎛⎫⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴1
4
1=
23
b a +-+② 联立①②，解得，=2. =4a b -。

∴3=10a b +-。

11．设
α
为锐角，若
4cos 65απ⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭，则
)
12
2sin(π
+
a 的值为▲．
【答案】
，
50
578。

【主要错误】
2524，25
2
17，
50
231，
53，50
587
，等30余种。

【解析】∵α为锐角，即02
<<
π
α，∴
2=
66
2
6
3
<<
π
π
π
π
πα+
+。

∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭。

∴3424sin 22sin cos =2
=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭。

∴7cos 2325απ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭。

∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12
343434a a a a π
π
πππππ⎛⎫⎛
⎫+
+
-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2427217
=
=225225250
-。

12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为
228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共
点，则K 的最大值是▲．
【答案】
4
3。

【主要错误】1，2，43，2
1
，
5等。

【解析】∵圆C 的方程可化为：()2
241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。

∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；
∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤。

∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-的距离
2
421
k k -+，∴
2
4221
k k -≤+，解得
403
k ≤≤。

∴k 的最大值是
43。

13．已知函数
2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若
关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，
，则实数c 的值为▲． 【答案】9。

【主要错误】1，2，3，4，7，6，等。

【解析】由值域为[0)+∞，，当2
=0x ax b ++时有2
40a b =-=，即2
4
a b =
， ∴2
222
()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++
=+ ⎪⎝⎭。

∴2
()2a f x x c ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭解得2a c x c -<+<，22a a c x c --<<-。

∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，， ∴()()2622
a a c c c ----==，解得9c =。

14
．
已
知
正
数
a b c
，，满足：
4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，
则
b
a 的取值范围是▲．
【答案】
[] 7e ，。

【主要错误】（0,1），[1,+∞)，(1, 2)，[0,7]，[1/e ，e],(1，e) ，1，2。

【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：354a c a b c c a b
c c
b e c
⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩。

设
==a b
x y c c
，，则题目转化为： 已知x y ，满足35
4
00x
x y x y y e
x >y >+≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪⎩
，，求y x 的取值范围。

作出（x y ，）所在平面区域（如图）。

求出=x y e 的切线的斜率e ，设过切点()00P x y ，的
切线为()=0y ex m m +≥，则
00000
==y ex m m
e x x x ++
，要使它最小，须=0m 。

∴
y
x
的最小值在()00P x y ，处，为e 。

此时，点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间。

当（x y ，）对应点C 时，=45=205=7=7=534=2012y x y x y
y x y x y x
x --⎧⎧⇒⇒⇒⎨
⎨--⎩⎩， ∴y
x
的最大值在C 处，为7。

∴
y x 的取值范围为[] 7e ，
，即b
a
的取值范围是[] 7e ，。

【注】最小值e 的主要求法：
法一，c c a b c ln ln +≥⇒c
b
c c c b c a ln ln ln =-≤⇒c b c a ln ≤ ⇒c
b
c b
c a c b a b ln ≥=。

令x c b =，x x c
b c b ln ln
=，导数法e x x ≥ln 。

法二，c b c a ln ≤，令x c a =，则c b e x ≤，b ce x ≤， x
e e a c a b x
x =≥，令x e y x
=
，则0)
1(2
'
=-=x
x e y x ， 驻点x=1，x>1⇒
0'>y ; x<1⇒0'<y
故
e x
e y x ≥=。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15．在
ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．
（1）求证：
tan 3tan B A
=；
（2
）若
cos 5C =，求A 的值．
【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即
cos =3cos AC A BC B 。

……2分
由正弦定理，得
=
sin sin AC BC
B A
，∴sin cos =3sin cos B A A B 。

……2分 又∵0<A B<π+，∴cos 0 cos 0A>B>，。

∴
sin sin =3cos cos B A
B A
即tan 3tan B A =。

……2分
（2）∵cos 0C <C <π=
，∴sin C = ∴tan 2C =。

……2分
∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦，即()tan 2A B +=-。

……2分
∴
tan tan 21tan tan A B
A B
+=--。

由（1），得
24tan 213tan A A =--，解得1
tan =1 tan =3
A A -
，。

∵cos 0A>，∴tan =1A 。

∴=
4
A π。

……4分
【典型错误】（1）①由结论tan 3tan B A =分析，而又不按分析法书写。

②∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B 。

∵AC=sinB ，BC=sinA ，∴sin cos =3sin cos B A A B ，∴tan 3tan B A =。

③误用余弦定理。

(2)典型解法近10种，除用正切公式的两种方法外，其余(如,正余弦加法公式、余弦定理等)方法得不偿失。

解法的优化是关键。

16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为
11B C 的中点．
求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．
证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。

又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。

……3分
又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，
，平面111BCC B CC DE E =，，
∴AD ⊥平面11BCC B 。

……3分
又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。

……2分 （2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。

……2分 又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。

又∵111 CC B C ⊂，
平面11BCC B ，1111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C 。

由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。

……2分
又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ， ∴直线1//A F 平面ADE 。

……2分 【典型错误】A.概念含混不清
由直三棱柱111ABC A B C -得到∆ABC 是直角三角形。

B.思维定势致错
由AD BC ⊥和1A F BC ⊥直接得出1//A F AD ，忽视了该命题在立体几何中并不一定成立。

C ．想当然使用条件
在第(1)小题证明线面垂直时，不少考生直接根据图形的特点将D 点当作是BD 的中点，从而得到AD BC ⊥，再由条件得出AD ⊥平面11BCC B 。

（一般仅能得7分）
17．如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程
221
(1)(0)20
y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的
射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐
标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解：（1）在
22
1(1)(0)20
y kx k x k =-+>中，
令0y =，得221
(1)=020
kx k x -
+。

……2分
由实际意义和题设条件知00x>k >，，
2120k
k x +=， ……2分
∴2
202020===10112k x k k k
≤++，当且仅当=1k 时取等号。

∴炮的最大射程是10千米。

……2分
（2）∵0a >，∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >，使
22
1(1)=3.2
20ka k a -+
成立，……2分
即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根。

……2分 由()()
2
22=204640a a a ∆--+≥得6a ≤。

……2分
此时，
0k （不考虑另一根）。

∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标。

……2分 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。

【典型错误】（1）①说对称轴是2
120k
k
x +=，得0分。

②由2
120k k
x +=
直接得10≤x ，扣2分。

（2）2.3)1(20
1
22≥+-x k kx ，06420)1(22≤+-+kx x k ，
所以
)
1(22561442022
k k k x +-+≤，…
（耗费大量时间，仅能得2分）
18．若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。

已知a b ，是实数，1和1是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点； （3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 【答案】解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。

∵1和1是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点， ∴(1)32=0f'a b =++，(1)32=0f'a b -=-+，
解得==3a b -0，。

……2分 （2）∵由（1）得，3()3f x x x =-，
∴()()2
3
()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，
解得123==1=2x x x -，。

……2分
∵当2x <-时，()0g x <'；当21<x <-时，()0g x >'， ∴=2x -是()g x 的极值点。

……2分
∵当21<x <-或1x >时，()0g x >'，∴=1x 不是()g x 的极值点。

∴()g x 的极值点是－2。

……2分 （3）令()=f x t ，则()()h x f t c =-。

先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈-
当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和2 ， ∵()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为1和2。

……2分
当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <-----， ∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根。

由（1）知()()()=311f'x x x +-。

①当()2x ∈+∞，
时，()0f'x >，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f 。

此时()=f x d 在()2+∞，
无实根。

②当()1 2
x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数。

又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，()=f x d 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③当()1
1x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数。

又∵(1)0f d >--，(1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，；当2d <时()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，。

……3分
现考虑函数()y h x =的零点：
( i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，。

而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点。

( ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，。

而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点。

综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9 个零点。

……3分
【典型错误】（2）∵
3()3f x x x =-，
∴()
()2
3
()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得123==1=2x x x -，。

所以，极值点为1，2。

（丢分情况严重）
19．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为
1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭
都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；
（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．
（i ）若12
6
AF BF -=
，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．
【答案】解：（1）由题设知，222==
c
a b c e a
+，，由点(1)e ，在椭圆上，得 2222222222222222
111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b
+=⇒+⇒+⇒⇒，∴22
=1c a -。

由点32e ⎛ ⎝⎭
，在椭圆上，得 2
2
2224222244
331311144=0=214e c a a a a a b a a -⎝⎭⎝⎭+=⇒+=⇒+=⇒-+⇒
……2分
∴椭圆的方程为2
212
x y +=。

……2分
（2）由（1）得1(10)F -，，2(10)F ，，又∵1AF ∥2BF ， ∴
设
1
AF 、
2
BF 的方程分别为=1=1my x my x +-，，
()()11221200A x y B x y y >y >，，，，，。

∴()
2
22122
11112
11
221221=0=22=1
x m m y m y my y m my x ⎧+++=⎪⇒+--⇒⎨+⎪+⎩。

……2分 ∴()()
()
)22222
2
22
1111122112210==12
m m m m m AF x y my y m m +++++++-++=+。

①
同理，
)2221=
2
m BF m +-+。

②
（i ）
由①②得，12AF BF -=
……2分
得2m =2。

∵0m >
，∴m ，∴直线1AF
的斜率为
1m 。

……2分 （ii ）
证明：∵1AF ∥2BF ，∴
2
11
BF PB PF AF =
， 即
21211111
11BF PB PF BF AF PB
PF AF PF AF +++=+⇒=。

∴1
1112
=
AF PF BF AF BF +。

由点B
在椭圆上知，12BF BF +=
()
1
1212
=
AF PF BF AF BF +。

同理。

()
2
2112
=
BF PF AF AF BF +。

∴(
)(
)
122
1221121
212
2+=
AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +=+++
由①②得，
)21
21=2
m
AF BF m +++，2
21
=2
m
AF BF m ++，……4分
∴12+2PF PF 12PF PF +
是定值。

……2分 【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

【典型状况】（1）根据椭圆的性质和已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭
都在椭圆上列式求解。

计算错误严重。

（2）（ⅰ）根据已知条件12AF BF -= 含参式子的运算能力低。

十几种方法中，利用直线的参数方程、椭圆的极坐标方程相对简单些，但最简单的莫过于向量法：
设2
1BF λ=，则⎩⎨⎧=-=+2
121)1(1y y x x λλ，由122
121=+y x ，得 12
)1(2
222=++-y x λλλ。

又122
222=+y x ，故λλ2132-=x ，2
31-=λx ，而321=+x x ， 得23+=
λ，于是2131-=
x ，4
)
13(22+=x 。

所以，2
21111=
+=
x y k AF 。

（ⅱ）平几知识欠缺，解答情况很差。

20．已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+，*N n ∈，
（1）设n n n a b b +=+11
，*N n ∈，求证：数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫
⎪⎪
⎨⎬ ⎪
⎝⎭
⎪⎪⎩⎭
是等差数列； （2）设n
n
n a b b •
=
+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 【答案】解：（1）∵n n n a b b +
=+11
，∴1n a +。

∴11n n b
a ++=
∴()2
2
2
2111*n n n n n n b b b n N a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

∴数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
是以1 为公差的等差数列。

（2）∵00n n a >b >，，∴
()
()2
2
222
n n n n n n a b a b <a b +≤++。

∴
1
1n
<a+=≤
设等比数列{}
n
a的公比为q，由0
n
a>知0
q>，下面用反证法证明=1
q 若1,
q>
则2
12
=
a
a<a
q
≤
，∴当
1
log q
n>
时，11n
n
a a q
+
=，与（﹡）矛盾。

若01,
<q<则2
12
=1
a
a>a>
q
，∴当
1
1
log q
n>
a
时，111
n
n
a a q<
+
=，与（﹡）矛盾。

∴综上所述，=1
q。

∴()
1
*
n
a a n N
=∈
，∴1
1<a≤
又∵1
1
n
n n
n
b
b b
a
+
=()*
n N
∈，∴{}
n
b
1
的等比数列。

若1a≠
1
1，于是123
b<b<b。

又由
2
2
1
n
n
n
n
n
b
a
b
a
a
+
+
=
+
即
1
a=
，得
1
1
n
b
a-。

∴
123
b b b
，，中至少有两项相同，与123
b<b<b
矛盾。

∴1a。

∴
1
n
b
-
12
=
a b
【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【典型状况】（1）①写出
22
1
1
1
n n
n n
b b
a a
+
+
⎛⎫⎛⎫
-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
而不知道给出结论。

②写出了
2
2
1
1
n
n
n
n
n
b
a
b
a
a
+
=
+
+
，不能进行下一步的变换。

③根据前三项成等差，说明结论，不给分。

④罗列几个条件下结论，不给分。

（2）根据基本不等式得到
1
1n
<a+≤{}
n
a
的公比=1
q。

凭感觉下结论。

第（1）小题：32%得满分；5.4%得3分；62%得零分.在解决这个问题的过程中，约有40%的学生没有做（时间不够），在做这一问的学生中，主要错误有：①没有明确的证等差数列的方法，只是将两个条件轮流代换；②计算能力差，在代换过程中，出现了错
误；③做成了
22
n
n b a ，导致错误.
第（2）小题：没有学生全对，主要得分包括：猜对答案2分；由n n
n a b b 2
1=+利用累
乘得出
n b ，2分；得出{}n a 的范围，3分.
数学Ⅱ(附加题)
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4 1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，,D E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD DC =，连结,,AC AE DE ． 求证：E C ∠=∠．
证明：连接AD 。

∵AB 是圆O 的直径，∴090ADB ∠=（直径所对的圆周角是直角）。

∴AD BD ⊥（垂直的定义）。

又∵BD DC =，∴AD 是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）。